Dérivabilité et convexité : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Dérivabilité en un point délicat

Étudiez la dérivabilité en \(0\) des fonctions suivantes. Précisez, le cas échéant, les nombres dérivés à gauche et à droite.

1. \(f(x) = x|x|\) sur \(\mathbb{R}\).
2. \(g(x) = \sqrt{1 – \cos x}\) sur \(\mathbb{R}\). On pourra utiliser \(1 – \cos x = 2\sin^2(x/2)\).
3. \(k(x) = x\sin(1/x)\) pour \(x \neq 0\), et \(k(0) = 0\). Vérifiez d’abord que \(k\) est continue en \(0\).

Exercice 2 : Limites et tangentes par le nombre dérivé

1. En reconnaissant des taux d’accroissement, calculez les limites suivantes :
   \[\text{a) } \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \qquad \text{b) } \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x – 1} \qquad \text{c) } \lim_{x \to \pi/4} \frac{\tan x – 1}{x – \pi/4} \qquad \text{d) } \lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{2x} – \cos x}{x}\]
2. Donnez l’équation de la tangente à la courbe de \(\arctan\) au point d’abscisse \(1\), puis l’ordonnée de son point d’intersection avec l’axe des ordonnées.

Exercice 3 : Dérivée d’une bijection réciproque

On pose \(f(x) = x + \mathrm{e}^{x}\) pour \(x \in \mathbb{R}\). La figure ci-dessous représente \(f\), sa réciproque et leurs tangentes aux points \((0,1)\) et \((1,0)\).

1. Montrez que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(g = f^{-1}\).
2. Justifiez que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculez \(g^{\prime}(1)\).
3. Montrez que pour tout réel \(y\), \(g^{\prime}(y) = \dfrac{1}{1 + y – g(y)}\).
4. Justifiez que \(g\) est deux fois dérivable et calculez \(g^{\prime\prime}(1)\).
5. Donnez l’équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(1\).

Exercice 4 : Extremums locaux et points critiques

On pose \(f(x) = x^3 – 3x\).

1. Déterminez les points critiques de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Précisez s’ils correspondent à des extremums locaux, puis globaux.
2. Déterminez le maximum et le minimum de \(f\) sur le segment \([0,2]\). Le maximum est-il atteint en un point critique ? Expliquez pourquoi ce n’est pas contradictoire.
3. Montrez que \(0\) est un point critique de \(x \mapsto x^3\) qui n’est pas un extremum local.
4. Montrez que \(x \mapsto |x|\) admet un minimum en \(0\) sans que \(0\) soit un point critique.

Exercice 5 : Théorème de Rolle et racines d’un polynôme

1. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dérivable qui s’annule en \(n \geq\, 2\) réels distincts. Montrez que \(f^{\prime}\) s’annule en au moins \(n – 1\) réels distincts.
2. On pose \(P(x) = x^5 – 5x + 1\). Déduisez de la question 1 que \(P\) a au plus trois racines réelles.
3. Montrez que \(P\) a exactement trois racines réelles, et localisez chacune d’elles entre deux entiers consécutifs.

Exercice 6 : Rolle itéré et polynômes de Legendre

1. Soient \(n \geq\, 1\) et \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) \(n\) fois dérivable, qui s’annule en \(n + 1\) points distincts de \([a,b]\). Montrez que \(f^{(n)}\) s’annule au moins une fois sur \(]a,b[\).
2. Soit \(n \geq\, 1\). On pose \(Q(x) = (x^2 – 1)^n = (x-1)^n(x+1)^n\) et \(L_n = Q^{(n)}\). À l’aide de la formule de Leibniz, montrez que \(Q^{(k)}(1) = Q^{(k)}(-1) = 0\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n – 1\).
3. Montrez par récurrence que pour \(0 \leq\, k \leq\, n\), \(Q^{(k)}\) s’annule en au moins \(k\) points distincts de \(]-1,1[\).
4. Déduisez-en que \(L_n\) est de degré \(n\) et possède \(n\) racines réelles distinctes, toutes dans \(]-1,1[\).

Exercice 7 : Encadrements par les accroissements finis

1. Montrez que pour tout \(x > 0\) : \(\dfrac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x\).
2. Déduisez-en la limite de \(n\ln(1 + \dfrac{1}{n})\) quand \(n \to +\infty\).
3. Montrez que pour \(0 < a < b\) : \(\dfrac{b-a}{1+b^2} < \arctan b – \arctan a < \dfrac{b-a}{1+a^2}\).
4. Montrez que pour tous réels \(a, b\) : \(|\sin b – \sin a| \leq\, |b – a|\). Déduisez-en que \(|\sin x| \leq\, |x|\) pour tout réel \(x\).

Exercice 8 : Fonctions lipschitziennes

1. Montrez que \(x \mapsto |x|\) est 1-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\), bien qu’elle ne soit pas dérivable en \(0\).
2. Montrez que \(x \mapsto \sqrt{x}\) est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne sur \([1,+\infty[\).
3. Montrez que \(x \mapsto \sqrt{x}\) n’est lipschitzienne sur \([0,1]\) pour aucune constante \(K\).
4. Soit \(f : I \to \mathbb{R}\) dérivable et \(K\)-lipschitzienne. Montrez que \(|f^{\prime}(x)| \leq\, K\) pour tout \(x \in I\).
5. Montrez qu’une fonction de classe \(C^1\) sur un segment \([a,b]\) y est lipschitzienne.

Exercice 9 : Suite récurrente et inégalité des accroissements finis

On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \cos(u_n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). La figure ci-dessous représente \(y = \cos x\) et \(y = x\) sur le carré \([0,1]^2\).

1. Montrez que l’intervalle \([0,1]\) est stable par \(\cos\). Déduisez-en que \(u_n \in [0,1]\) pour tout \(n\).
2. Montrez que l’équation \(\cos x = x\) admet une unique solution \(\ell\) dans \([0,1]\).
3. Montrez que \(|u_{n+1} – \ell| \leq\, \sin(1)\,|u_n – \ell|\) pour tout \(n\). Déduisez-en que \(|u_n – \ell| \leq\, (\sin 1)^n\), puis que \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
4. On donne \(\ln 10 \approx 2{,}3026\) et \(\ln(\sin 1) \approx -0{,}1726\). Trouvez un entier \(N\) tel que \(u_N\) soit une valeur approchée de \(\ell\) à \(10^{-6}\) près.

Exercice 10 : Théorème de la limite de la dérivée

1. Soit \(f(x) = \dfrac{\sin^2 x}{x}\) pour \(x \neq 0\), et \(f(0) = 0\). Montrez que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et donnez \(f^{\prime}(0)\).
2. Soit \(g(x) = x\ln|x|\) pour \(x \neq 0\), et \(g(0) = 0\). Montrez que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\) mais pas dérivable en \(0\). Interprétez géométriquement.
3. Soit \(h(x) = \arctan x + \arctan\dfrac{1}{x}\) pour \(x \neq 0\). Calculez \(h^{\prime}(x)\), puis \(h(x)\) selon le signe de \(x\). La dérivée \(h^{\prime}\) a une limite en \(0\) : pourquoi ne peut-on pas prolonger \(h\) en une fonction dérivable en \(0\) ? Quelle hypothèse du théorème manque ?

Exercice 11 : Une fonction plate indéfiniment dérivable

On pose \(f(x) = \mathrm{e}^{-1/x}\) si \(x > 0\), et \(f(x) = 0\) si \(x \leq\, 0\).

1. Montrez que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe un polynôme \(P_n\) tel que \(f^{(n)}(x) = P_n(1/x)\,\mathrm{e}^{-1/x}\) pour tout \(x > 0\). On vérifiera que \(P_0 = 1\) et \(P_{n+1}(X) = X^2(P_n(X) – P_n^{\prime}(X))\).
2. Montrez que pour tout polynôme \(Q\), \(Q(1/x)\,\mathrm{e}^{-1/x} \to 0\) quand \(x \to 0^+\).
3. Montrez par récurrence sur \(n\) que \(f\) est de classe \(C^n\) sur \(\mathbb{R}\) et que \(f^{(n)}(0) = 0\).
4. Concluez : \(f\) est de classe \(C^\infty\), toutes ses dérivées sont nulles en \(0\), mais \(f\) n’est nulle sur aucun intervalle \(]-\eta, \eta[\) avec \(\eta > 0\).

Exercice 12 : Dérivées n-ièmes par la formule de Leibniz

Calculez la dérivée \(n\)-ième des fonctions suivantes.

1. \(f(x) = x^2\mathrm{e}^{3x}\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
2. \(g(x) = (x^2 + 1)\cos x\), pour \(n \geq\, 2\). On rappelle que \(\cos^{(k)}(x) = \cos(x + \frac{k\pi}{2})\).
3. \(h(x) = x^3\ln x\) sur \(]0,+\infty[\), pour \(n \geq\, 4\). Simplifiez le résultat, puis vérifiez-le en calculant directement \(h^{(4)}\).

Exercice 13 : Formule de Leibniz et dérivées de arctan en 0

On note \(f = \arctan\).

1. Justifiez que \(f\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) et que \((1 + x^2)f^{\prime}(x) = 1\).
2. Montrez que pour tout \(n \geq\, 1\) et tout réel \(x\) :
   \[(1+x^2)f^{(n+1)}(x) + 2nx\,f^{(n)}(x) + n(n-1)f^{(n-1)}(x) = 0.\]
3. Déduisez-en \(f^{(n)}(0)\) pour tout \(n\) : montrez que \(f^{(2p)}(0) = 0\) et \(f^{(2p+1)}(0) = (-1)^p(2p)!\).

Exercice 14 : Fonctions à valeurs complexes

On pose \(\varphi(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\) pour \(t \in [0, 2\pi]\).

1. Vérifiez que \(\varphi(0) = \varphi(2\pi)\) et que \(\varphi^{\prime}\) ne s’annule pas. Qu’en concluez-vous ?
2. Appliquez le théorème de Rolle à \(\cos = \mathrm{Re}\,\varphi\) et à \(\sin = \mathrm{Im}\,\varphi\) sur \([0,2\pi]\). Expliquez pourquoi on ne peut pas recoller les deux résultats.
3. Montrez que pour tous réels \(a, b\) : \(|\mathrm{e}^{\mathrm{i}b} – \mathrm{e}^{\mathrm{i}a}| = 2|\sin\dfrac{b-a}{2}|\). Déduisez-en que \(t \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\) est 1-lipschitzienne, conformément à l’inégalité des accroissements finis.
4. Calculez la dérivée \(n\)-ième de \(g(x) = \mathrm{e}^{x}\sin x\) en l’écrivant comme partie imaginaire d’une exponentielle complexe.

Exercice 15 : Inégalités classiques par convexité

Démontrez les inégalités suivantes en justifiant la convexité ou la concavité utilisée.

1. \(\mathrm{e}^{x} \geq\, 1 + x\) pour tout réel \(x\).
2. \(\ln(1 + x) \leq\, x\) pour tout \(x > -1\).
3. \(\dfrac{2}{\pi}x \leq\, \sin x \leq\, x\) pour tout \(x \in [0, \dfrac{\pi}{2}]\).
4. \(2^{x} \leq\, 1 + x\) pour tout \(x \in [0,1]\).

Exercice 16 : Inégalité de Jensen et moyennes

Soient \(n \geq\, 2\) et \(x_1, \ldots, x_n\) des réels strictement positifs.

1. Montrez l’inégalité arithmético-géométrique : \(\sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \leq\, \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\).
2. Déduisez-en l’inégalité entre moyennes harmonique et géométrique : \(\dfrac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}} \leq\, \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}\).
3. Montrez que \((\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}) \geq\, n^2\).
4. Soient \(a, b, c > 0\) tels que \(a + b + c = 3\). Montrez que \(abc \leq\, 1\) et que \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq\, 3\).
5. Par convexité de \(x \mapsto x^2\), montrez que \((\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 \leq\, \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2\).

Exercice 17 : Inégalités de Young et de Hölder

Soient \(p, q > 1\) tels que \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\).

1. (Young) Montrez que pour tous \(a, b \geq\, 0\) : \(ab \leq\, \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}\). On utilisera la concavité de \(\ln\).
2. (Hölder) Soient \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n \geq\, 0\). Montrez que
   \[\sum_{i=1}^{n} x_i y_i \leq\, (\sum_{i=1}^{n} x_i^p)^{1/p}(\sum_{i=1}^{n} y_i^q)^{1/q}.\]
3. Quelle inégalité obtient-on pour \(p = q = 2\) ?
4. Montrez que pour tous \(x, y, z \geq\, 0\) : \(x + y + z \leq\, 3^{2/3}(x^3 + y^3 + z^3)^{1/3}\).

Exercice 18 : Dérivées à gauche et à droite d’une fonction convexe

Soient \(I\) un intervalle ouvert et \(f : I \to \mathbb{R}\) convexe. On admet le lemme des trois pentes : pour tout \(a \in I\), le taux \(\tau_a : x \mapsto \frac{f(x) – f(a)}{x – a}\) est croissant sur \(I \setminus \{a\}\).

1. Soit \(a \in I\). Montrez que \(f\) est dérivable à gauche et à droite en \(a\), avec \(f^{\prime}_g(a) \leq\, f^{\prime}_d(a)\).
2. Déduisez-en que \(f\) est continue sur \(I\).
3. Soient \(a < b\) dans \(I\). Montrez que \(f^{\prime}_d(a) \leq\, \dfrac{f(b) – f(a)}{b – a} \leq\, f^{\prime}_g(b)\). Déduisez-en que \(f^{\prime}_d\) est croissante sur \(I\).
4. Donnez une fonction convexe sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f^{\prime}_g(0) < f^{\prime}_d(0)\).
5. On pose \(u(x) = 0\) pour \(x \in [0,1[\) et \(u(1) = 1\). Montrez que \(u\) est convexe sur \([0,1]\) mais pas continue. Quelle hypothèse de l’énoncé est essentielle ?

Exercice 19 : Convexité et point d’inflexion

On pose \(f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

1. Calculez \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\). Dressez le tableau de variations de \(f\) et montrez que \(f(x) \leq\, \mathrm{e}^{-1}\) pour tout réel \(x\).
2. Déterminez les intervalles sur lesquels \(f\) est convexe ou concave, et le point d’inflexion de la courbe.
3. Donnez l’équation de la tangente \(T\) au point d’inflexion. Précisez la position de la courbe par rapport à \(T\).
4. Déduisez-en que \(x\,\mathrm{e}^{-x} \geq\, \mathrm{e}^{-2}(4 – x)\) pour tout \(x \geq\, 2\).

Exercice 20 : Fonction convexe majorée sur R

1. Soit \(f\) convexe sur \(\mathbb{R}\). On suppose qu’il existe \(x < y\) tels que \(f(x) < f(y)\). Montrez que \(f(z) \to +\infty\) quand \(z \to +\infty\).
2. Déduisez-en qu’une fonction convexe et majorée sur \(\mathbb{R}\) est constante.
3. Montrez que ce résultat devient faux sur \(]0,+\infty[\).
4. Soit \(f\) convexe sur \(\mathbb{R}\) admettant une limite finie en \(+\infty\). Montrez que \(f\) est décroissante.

Exercice 21 : Problème : méthode de Newton et convexité

Partie A. Soient \(a < b\) et \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) de classe \(C^2\). On suppose \(f(a) < 0 < f(b)\), \(f^{\prime} > 0\) et \(f^{\prime\prime} \geq\, 0\) sur \([a,b]\). Pour \(x \in [a,b]\), on pose \(N(x) = x – \dfrac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\) : c’est l’abscisse du point où la tangente en \(x\) coupe l’axe des abscisses. La figure ci-dessous illustre la méthode.

1. Montrez que \(f\) s’annule en un unique point \(c \in ]a,b[\).
2. Soit \(x \in [c,b]\). En utilisant la convexité de \(f\), montrez que \(c \leq\, N(x) \leq\, x\).
3. On pose \(u_0 = b\) et \(u_{n+1} = N(u_n)\). Montrez que la suite est bien définie, décroissante, minorée par \(c\), et qu’elle converge vers \(c\).

Partie B. On prend \(f(x) = x^2 – 2\) sur \([1,2]\), donc \(u_0 = 2\).

1. Vérifiez les hypothèses de la partie A. Montrez que \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n + \dfrac{2}{u_n})\), puis calculez \(u_1\) et \(u_2\).
2. On pose \(e_n = u_n – \sqrt{2}\). Montrez que \(e_{n+1} = \dfrac{e_n^2}{2u_n}\), puis que \(0 \leq\, e_{n+1} \leq\, \dfrac{e_n^2}{2}\).
3. En utilisant \(e_0 \leq\, 0{,}6\), montrez que \(e_2 \leq\, 3 \times 10^{-3}\), puis que \(e_4 \leq\, 10^{-10}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : dérivabilité et convexité, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Limites et continuité des fonctions, Suites particulières et suites récurrentes
• Chapitre précédent : Limites et continuité des fonctions
• Chapitre suivant : Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé