Nombres complexes : cours de maths sup en PDF.

Tout nombre complexe \(z\) s’écrit de manière unique \(z = a + ib\) avec \((a, b) \in \mathbb{R}^2\). Le réel \(a = \mathrm{Re}(z)\) est la partie réelle de \(z\), le réel \(b = \mathrm{Im}(z)\) sa partie imaginaire. Un complexe de partie réelle nulle est dit imaginaire pur ; on note \(i\mathbb{R}\) leur ensemble.

Pour mettre \(z = \dfrac{2 + i}{1 – 2i}\) sous forme algébrique, on multiplie par la quantité conjuguée du dénominateur : \[z = \frac{(2 + i)(1 + 2i)}{(1 – 2i)(1 + 2i)} = \frac{2 + 4i + i – 2}{5} = \frac{5i}{5} = i.\] Ainsi, \(z\) est imaginaire pur.

Le conjugué de \(z = a + ib\) est \(\overline{z} = a – ib\). Géométriquement, le point d’affixe \(\overline{z}\) est le symétrique de \(M(z)\) par rapport à l’axe réel.

Pour tous complexes \(z\) et \(w\) : \(\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}\), \(\overline{zw} = \overline{z}\,\overline{w}\) et, si \(w \neq 0\), \(\overline{z / w} = \overline{z} / \overline{w}\). De plus, \[\mathrm{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}, \qquad \mathrm{Im}(z) = \frac{z – \overline{z}}{2i}.\] Par conséquent, \(z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z} = z\) et \(z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z} = -z\).

Le module de \(z = a + ib\) est le réel positif \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). On a \(|z|^2 = z\overline{z}\). Dans le plan, \(|z| = OM\) et \(|b – a| = AB\).

Pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\) : \(|zw| = |z|\,|w|\), \(|\overline{z}| = |z|\), \(|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0\), et \(|\mathrm{Re}(z)| \leq\, |z|\). Si \(z \neq 0\), alors \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}\).

(Inégalité triangulaire) Pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\), \[\big||z| – |w|\big| \leq\, |z + w| \leq\, |z| + |w|.\] De plus, si \(w \neq 0\), on a \(|z + w| = |z| + |w|\) si et seulement s’il existe un réel \(\lambda \geq\, 0\) tel que \(z = \lambda w\).

On développe \(|z + w|^2 = (z + w)(\overline{z} + \overline{w}) = |z|^2 + |w|^2 + 2\,\mathrm{Re}(z\overline{w})\). Or \(\mathrm{Re}(z\overline{w}) \leq\, |z\overline{w}| = |z|\,|w|\). Donc \(|z + w|^2 \leq\, (|z| + |w|)^2\), d’où l’inégalité de droite. L’égalité a lieu exactement quand \(\mathrm{Re}(z\overline{w}) = |z\overline{w}|\), c’est-à-dire quand \(z\overline{w}\) est un réel positif. Si \(w \neq 0\), cela revient à \(z = \dfrac{z\overline{w}}{|w|^2}\,w\) avec \(\dfrac{z\overline{w}}{|w|^2} \geq\, 0\). Enfin, l’inégalité de gauche s’obtient en appliquant celle de droite à \(z = (z + w) + (-w)\), puis en échangeant les rôles.

Le cas d’égalité ne dit pas « \(z\) et \(w\) sont colinéaires » mais « colinéaires et de même sens ». Par exemple, \(|1 + (-1)| = 0\) alors que \(|1| + |-1| = 2\).

On note \(\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C},\ |z| = 1\}\), représenté par le cercle unité. Pour \(t \in \mathbb{R}\), on pose \(e^{it} = \cos t + i \sin t\), qui appartient à \(\mathbb{U}\).

Pour tous réels \(t\) et \(t^{\prime}\), \(e^{i(t + t^{\prime})} = e^{it}\,e^{it^{\prime}}\). De plus, \(\overline{e^{it}} = e^{-it} = \dfrac{1}{e^{it}}\), et \(e^{it} = 1 \Leftrightarrow t \in 2\pi\mathbb{Z}\). Enfin, l’application \(t \mapsto e^{it}\) est surjective de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{U}\).

Pour tout réel \(t\) et tout entier \(n \in \mathbb{Z}\) : \[\cos t = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2}, \qquad \sin t = \frac{e^{it} – e^{-it}}{2i}, \qquad (\cos t + i \sin t)^n = \cos(nt) + i\sin(nt).\] Les deux premières sont les formules d’Euler, la troisième est la formule de Moivre.

Pour linéariser \(\cos^n t\) ou \(\sin^n t\) (l’écrire comme combinaison de \(\cos(kt)\) et \(\sin(kt)\)), on remplace chaque facteur par la formule d’Euler, on développe avec le binôme de Newton, puis on regroupe les termes conjugués \(e^{ikt} + e^{-ikt} = 2\cos(kt)\). À l’inverse, pour exprimer \(\cos(nt)\) en fonction de \(\cos t\), on part de la formule de Moivre, on développe \((\cos t + i\sin t)^n\) et on garde la partie réelle.

Linéarisons \(\cos^3 t\). D’abord, \[\cos^3 t = \frac{(e^{it} + e^{-it})^3}{8} = \frac{e^{3it} + 3e^{it} + 3e^{-it} + e^{-3it}}{8}.\] Ensuite, on regroupe : \(\cos^3 t = \dfrac{\cos(3t) + 3\cos t}{4}\). Dans l’autre sens, la partie réelle de \((\cos t + i\sin t)^3\) donne \(\cos(3t) = \cos^3 t – 3\cos t \sin^2 t = 4\cos^3 t – 3\cos t\).

Pour tous réels \(p\) et \(q\), \[e^{ip} + e^{iq} = 2\cos(\frac{p – q}{2}) e^{i\frac{p + q}{2}}, \qquad e^{ip} – e^{iq} = 2i\sin(\frac{p – q}{2}) e^{i\frac{p + q}{2}}.\] En particulier, \(1 + e^{it} = 2\cos(t/2)\,e^{it/2}\) et \(1 – e^{it} = -2i\sin(t/2)\,e^{it/2}\).

On met en facteur \(e^{i\frac{p + q}{2}}\) : il reste \(e^{i\frac{p – q}{2}} \pm e^{-i\frac{p – q}{2}}\). Or, d’après les formules d’Euler, cette quantité vaut \(2\cos(\frac{p – q}{2})\) ou \(2i\sin(\frac{p – q}{2})\).

Pour calculer \(C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos(kt)\) et \(S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin(kt)\), on étudie \(C_n + iS_n = \sum_{k=0}^{n} (e^{it})^k\). C’est une somme géométrique de raison \(e^{it}\). Ensuite, on factorise numérateur et dénominateur par l’angle moitié, puis on sépare parties réelle et imaginaire.

Pour \(t \notin 2\pi\mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\), \[\sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \frac{\cos(\frac{nt}{2})\sin(\frac{(n+1)t}{2})}{\sin(\frac{t}{2})}, \qquad \sum_{k=0}^{n} \sin(kt) = \frac{\sin(\frac{nt}{2})\sin(\frac{(n+1)t}{2})}{\sin(\frac{t}{2})}.\]

Comme \(e^{it} \neq 1\), on a \[\sum_{k=0}^{n} e^{ikt} = \frac{1 – e^{i(n+1)t}}{1 – e^{it}} = \frac{-2i\sin(\frac{(n+1)t}{2})e^{i\frac{(n+1)t}{2}}}{-2i\sin(\frac{t}{2})e^{i\frac{t}{2}}} = \frac{\sin(\frac{(n+1)t}{2})}{\sin(\frac{t}{2})}\,e^{i\frac{nt}{2}}.\] Il suffit alors de prendre les parties réelle et imaginaire.

Soit \(z \in \mathbb{C}^*\). Il existe un réel \(\theta\) tel que \(z = |z|\,e^{i\theta}\) : c’est une forme trigonométrique de \(z\). Un tel \(\theta\) est un argument de \(z\) ; il est unique modulo \(2\pi\). On note \(\arg z \equiv \theta \ [2\pi]\).

Pour \(z, w \in \mathbb{C}^*\) et \(n \in \mathbb{Z}\) : \(\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w\), \(\arg(z / w) \equiv \arg z – \arg w\), \(\arg \overline{z} \equiv -\arg z\) et \(\arg(z^n) \equiv n \arg z\), toutes ces relations étant modulo \(2\pi\).

Soit \(z = 1 + i\sqrt{3}\). On a \(|z| = 2\), puis \(z = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{i\pi/3}\). Par conséquent, \(z^6 = 2^6 e^{2i\pi} = 64\). Le calcul par la forme algébrique aurait été bien plus long.

Pour trouver un argument de \(a + ib\), on calcule \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), puis on cherche \(\theta\) avec \(\cos\theta = a / r\) et \(\sin\theta = b / r\). Les deux conditions sont nécessaires : le cosinus seul ne détermine l’angle qu’au signe près.

Tout complexe \(w\) non nul possède exactement deux racines carrées, opposées l’une de l’autre. Si \(w = re^{i\theta}\) avec \(r > 0\), ce sont \(\pm\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\).

Pour résoudre \((x + iy)^2 = a + ib\) avec \(x, y\) réels, on écrit trois équations. D’abord, l’identification donne \(x^2 – y^2 = a\) et \(2xy = b\). Ensuite, l’égalité des modules donne \(x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2}\). On en tire \(x^2\) et \(y^2\) par demi-somme et demi-différence. Enfin, le signe de \(b\) indique si \(x\) et \(y\) sont de même signe.

Cherchons les racines carrées de \(3 + 4i\). On a \(x^2 – y^2 = 3\), \(x^2 + y^2 = 5\) et \(2xy = 4\). Donc \(x^2 = 4\) et \(y^2 = 1\), avec \(xy > 0\). Les racines carrées sont \(2 + i\) et \(-2 – i\).

Soient \(a, b, c \in \mathbb{C}\) avec \(a \neq 0\), et \(\Delta = b^2 – 4ac\). Si \(\delta\) est une racine carrée de \(\Delta\), les solutions de \(az^2 + bz + c = 0\) sont \[z_1 = \frac{-b + \delta}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b – \delta}{2a}.\] Elles sont confondues si et seulement si \(\Delta = 0\).

On écrit la forme canonique : \(az^2 + bz + c = a[(z + \frac{b}{2a})^2 – \frac{\Delta}{4a^2}]\). Comme \(\Delta = \delta^2\), le crochet vaut \((z + \frac{b}{2a} – \frac{\delta}{2a})(z + \frac{b}{2a} + \frac{\delta}{2a})\). Or un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs l’est.

(Somme et produit des racines) Avec les notations précédentes, \(z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(z_1 z_2 = \dfrac{c}{a}\). Réciproquement, deux complexes de somme \(s\) et de produit \(p\) sont les racines de \(z^2 – sz + p = 0\).

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On appelle racine \(n\)-ième de l’unité tout complexe \(z\) tel que \(z^n = 1\). On note \(\mathbb{U}_n\) leur ensemble.

\(\mathbb{U}_n\) possède exactement \(n\) éléments : \[\mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ k \in \{0, 1, \ldots, n – 1\}\} = \{1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}\} \quad \text{avec } \omega = e^{2i\pi/n}.\] De plus, si \(n \geq\, 2\), la somme des racines \(n\)-ièmes de l’unité est nulle.

Si \(z^n = 1\), alors \(|z|^n = 1\), donc \(|z| = 1\) et \(z = e^{i\theta}\). L’équation devient \(e^{in\theta} = 1\), soit \(n\theta \in 2\pi\mathbb{Z}\), donc \(\theta = 2k\pi/n\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). Deux entiers congrus modulo \(n\) donnent la même valeur ; ainsi \(k \in \{0, \ldots, n-1\}\) suffit. Ces \(n\) valeurs sont distinctes, car leurs arguments diffèrent de moins de \(2\pi\). Enfin, pour \(n \geq\, 2\), \(\omega \neq 1\), d’où \(\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = \frac{1 – \omega^n}{1 – \omega} = 0\).

Soit \(a = re^{i\alpha}\) avec \(r > 0\). Les solutions de \(z^n = a\) sont les \(n\) complexes \(r^{1/n}e^{i\alpha/n}\,\omega^k\) pour \(k \in \{0, \ldots, n-1\}\). Autrement dit, on obtient toutes les solutions en multipliant l’une d’entre elles par les racines \(n\)-ièmes de l’unité.

Résolvons \(z^3 = 8i\). On a \(8i = 8e^{i\pi/2}\), donc une solution est \(2e^{i\pi/6} = \sqrt{3} + i\). Les deux autres sont \(2e^{i5\pi/6} = -\sqrt{3} + i\) et \(2e^{i3\pi/2} = -2i\).

Pour \(z = x + iy\) avec \(x, y\) réels, on pose \(e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\).

Pour tous \(z, z^{\prime} \in \mathbb{C}\) : \(e^{z + z^{\prime}} = e^z e^{z^{\prime}}\), \(|e^z| = e^{\mathrm{Re}(z)}\) et \(\mathrm{Im}(z)\) est un argument de \(e^z\). En particulier, \(e^z\) ne s’annule jamais. De plus, \(e^z = e^{z^{\prime}}\) si et seulement si \(z – z^{\prime} \in 2i\pi\mathbb{Z}\).

Soit \(a \in \mathbb{C}^*\), de module \(r\) et d’argument \(\alpha\). Les solutions de \(e^z = a\) sont les complexes \(z = \ln r + i(\alpha + 2k\pi)\), avec \(k \in \mathbb{Z}\). Si \(a = 0\), l’équation n’a pas de solution.

On écrit \(z = x + iy\). L’égalité \(e^x e^{iy} = re^{i\alpha}\) impose d’abord l’égalité des modules, \(e^x = r\), donc \(x = \ln r\). Ensuite, elle impose \(e^{iy} = e^{i\alpha}\), c’est-à-dire \(y \equiv \alpha \ [2\pi]\). Réciproquement, ces complexes conviennent.

Soient \(A, B, C\) trois points d’affixes \(a, b, c\), avec \(A \neq B\) et \(A \neq C\). Alors \[|\frac{c – a}{b – a}| = \frac{AC}{AB} \qquad \text{et} \qquad \arg(\frac{c – a}{b – a}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) \ [2\pi].\]

Avec les mêmes hypothèses : \(A, B, C\) sont alignés si et seulement si \(\dfrac{c – a}{b – a} \in \mathbb{R}\). Les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\dfrac{c – a}{b – a} \in i\mathbb{R}\). Enfin, le triangle \(ABC\) est équilatéral direct si et seulement si \(c – a = e^{i\pi/3}(b – a)\).

Avec \(a = 0\), \(b = 2\) et \(c = 1 + i\), on trouve \(\frac{c – a}{b – a} = \frac{1 + i}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\pi/4}\). Ainsi \(AC = \frac{\sqrt{2}}{2}AB\) et l’angle \(\widehat{BAC}\) mesure \(\pi/4\).

On appelle similitude directe toute application du plan qui s’écrit, en affixes, \(z \mapsto az + b\) avec \(a \in \mathbb{C}^*\) et \(b \in \mathbb{C}\).

Soit \(f : z \mapsto az + b\) avec \(a \neq 0\). Si \(a = 1\), \(f\) est la translation de vecteur d’affixe \(b\). Si \(a \neq 1\), \(f\) possède un unique point fixe \(\Omega\) d’affixe \(\omega = \frac{b}{1 – a}\), et \(f(z) – \omega = a(z – \omega)\). Dans ce cas, \(f\) est la composée de la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\arg a\), et de l’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(|a|\). On dit que \(|a|\) est le rapport et \(\arg a\) l’angle de \(f\).

Si \(a \neq 1\), l’équation \(\omega = a\omega + b\) a pour unique solution \(\omega = \frac{b}{1 – a}\). En soustrayant \(\omega = a\omega + b\) à \(f(z) = az + b\), on obtient \(f(z) – \omega = a(z – \omega)\). Or multiplier \(z – \omega\) par \(a = |a|e^{i\theta}\) revient à le tourner de \(\theta\), puis à multiplier sa longueur par \(|a|\).

Considérons \(f(z) = iz + 2\). Ici \(a = i\), de module \(1\) et d’argument \(\pi/2\). Le centre vaut \(\omega = \frac{2}{1 – i} = 1 + i\). Par conséquent, \(f\) est la rotation de centre \(1 + i\) et d’angle \(\pi/2\).