Espaces de Hilbert : exercices de maths en L3 corrigés

Sommaire

Ces exercices Hilbert L3 couvrent tout le chapitre, des vérifications directes jusqu’aux problèmes de partiel. Vous montrerez d’abord qu’un espace est complet ou qu’il ne l’est pas, puis vous calculerez des projections orthogonales sur des convexes, des sous-espaces de dimension finie et des hyperplans fermés.

Ensuite, vous utiliserez le théorème de Riesz pour représenter des formes linéaires et construire un adjoint. Plusieurs exercices portent sur les bases hilbertiennes : sinus sur \([0,\pi]\), exponentielles complexes, polynômes de Legendre. Les séries de Fourier et l’égalité de Parseval fournissent des sommes classiques, et le noyau de Fejér est étudié en détail. Enfin, quelques calculs de transformées de Fourier complètent la série.

Cherchez chaque exercice au moins vingt minutes avant de consulter le corrigé : c’est ainsi que les méthodes s’installent.

Avant de commencer, relisez le cours de maths en L3 sur espaces de Hilbert.

Exercice 1 : Identité du parallélogramme

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme \(\|(x_1,x_2)\|_1=|x_1|+|x_2|\).

Soit \(H\) un espace préhilbertien réel. Démontrer que \(\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2\) pour tous \(x,y\in H\).
En testant les vecteurs \(u=(1,0)\) et \(v=(0,1)\), montrer que \(\|\cdot\|_1\) ne provient d’aucun produit scalaire.
Même question pour la norme \(\|(x_1,x_2)\|_{\infty}=\max(|x_1|,|x_2|)\).
Dans un espace préhilbertien réel, exprimer \(\langle x, y \rangle\) à l’aide de \(\|x+y\|\) et \(\|x-y\|\).

Exercice 2 : Complétude de l’espace des suites de carré sommable

On note \(\ell^2\) l’espace des suites complexes \(u=(u_n)_{n\geq\, 0}\) telles que \(\sum|u_n|^2 < \infty\).

Montrer que \(\langle u, v \rangle=\sum_{n=0}^{\infty}u_n\overline{v_n}\) est bien défini et définit un produit scalaire sur \(\ell^2\).
Soit \((u^{(p)})_{p\geq\, 0}\) une suite de Cauchy de \(\ell^2\). Montrer que, pour chaque \(n\), la suite \((u^{(p)}_n)_p\) converge vers un nombre \(u_n\).
Montrer que \(u=(u_n)\) appartient à \(\ell^2\) et que \(u^{(p)}\to u\) dans \(\ell^2\). Conclure.

Exercice 3 : Un espace préhilbertien non complet

On munit \(E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle f, g \rangle=\int_0^1 f(x)g(x)\,dx\). Pour \(n\geq\, 2\), on définit \(f_n\) par \(f_n(x)=0\) sur \([0,\frac{1}{2}]\), \(f_n(x)=n(x-\frac{1}{2})\) sur \([\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]\) et \(f_n(x)=1\) sur \([\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1]\). La figure ci-dessous représente quelques-unes de ces fonctions.

Montrer que \(\|f_m-f_n\|_2^2\leq\,\frac{1}{n}\) pour \(m\geq\, n\geq\, 2\). En déduire que \((f_n)\) est de Cauchy dans \(E\).
Montrer que \((f_n)\) converge dans \(L^2([0,1])\) vers \(\mathbf{1}_{]1/2,1]}\).
En déduire que \((f_n)\) ne converge pas dans \(E\), puis que \(E\) n’est pas un espace de Hilbert.

Exercice 4 : Projection sur une boule et sur un cône

Soit \(H\) un espace de Hilbert réel et \(B=\{y\in H : \|y\|\leq\, 1\}\).

Justifier que \(B\) est convexe, fermée et non vide.
Montrer que \(P_B(x)=x\) si \(\|x\|\leq\, 1\) et \(P_B(x)=\frac{x}{\|x\|}\) si \(\|x\| > 1\).
Dans \(L^2([0,1])\) réel, on note \(C\) l’ensemble des fonctions positives presque partout. Montrer que \(C\) est un convexe fermé.
Montrer que \(P_C(f)=f^{+}\) et que \(d(f,C)=\|f^{-}\|_2\). Calculer \(d(f,C)\) pour \(f(x)=x-\frac{1}{2}\).

Exercice 5 : Meilleure approximation affine dans L²

Dans \(L^2([0,1])\) réel, on note \(F\) le sous-espace des fonctions affines \(x\mapsto a+bx\).

Justifier que \(F\) est fermé.
Calculer la projection orthogonale \(p\) de \(f(x)=x^2\) sur \(F\).
En déduire \(\min_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\int_0^1(x^2-a-bx)^2dx\).

Exercice 6 : Projection sur un hyperplan fermé de L²

Dans \(H=L^2([0,1])\) réel, on considère \(G=\{f\in H : \int_0^1 f(x)\,dx=0\}\).

Montrer que \(G\) est un hyperplan fermé de \(H\).
Déterminer \(G^{\perp}\).
Donner l’expression de \(P_G(f)\) pour \(f\in H\).
Calculer \(P_G(f)\) et \(d(f,G)\) pour \(f(x)=e^x\).

Exercice 7 : Sous-espace dense et orthogonal trivial

Soit \(H\) un espace de Hilbert.

Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(H\). Montrer que \(F^{\perp}=\overline{F}^{\perp}\), puis que \((F^{\perp})^{\perp}=\overline{F}\).
Dans \(H=\ell^2\), on note \(c_{00}\) le sous-espace des suites à support fini. Déterminer \(c_{00}^{\perp}\).
Montrer que \(c_{00}\) n’est pas fermé, en considérant \(u=(\frac{1}{n+1})_{n\geq\, 0}\).
Montrer que \(c_{00}\oplus c_{00}^{\perp}\neq\ell^2\). Quelle hypothèse du cours est en défaut ?

Exercice 8 : Représentation de Riesz dans L²

Sur \(L^2([0,1])\) réel, on pose \(\varphi(f)=\int_0^1 x f(x)\,dx\). Montrer que \(\varphi\) est une forme linéaire continue, donner son représentant de Riesz et calculer \(\|\varphi\|\).
Même question pour \(\psi(f)=\int_0^{1/2}f(x)\,dx-\int_{1/2}^{1}f(x)\,dx\).
Sur \(\mathcal{C}([0,1])\) muni de la norme de \(L^2\), on pose \(\theta(f)=f(\frac{1}{2})\). En construisant des fonctions en « chapeau » de hauteur \(1\) et de support de longueur \(\frac{2}{n}\), montrer que \(\theta\) n’est pas continue.

Exercice 9 : Formes linéaires sur l’espace des suites

On travaille dans \(\ell^2\) réel, indexé par \(n\geq\, 1\).

Montrer que \(\varphi(u)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{n}\) définit une forme linéaire continue sur \(\ell^2\). Donner son représentant et sa norme.
Montrer que toute forme linéaire continue sur \(\ell^2\) s’écrit \(u\mapsto \sum_{n\geq\, 1}a_nu_n\) avec \(a\in\ell^2\).
Sur \(c_{00}\), on pose \(\psi(u)=\sum_{n\geq\, 1}u_n\). À l’aide de \(u^{(N)}=\frac{1}{N}(1,\ldots,1,0,0,\ldots)\) (\(N\) termes non nuls), montrer que \(\psi\) n’est pas continue pour \(\|\cdot\|_2\).

Exercice 10 : Adjoint du décalage

Dans \(\ell^2=\ell^2(\mathbb{N})\) complexe, on définit le décalage \(S(u_0,u_1,u_2,\ldots)=(0,u_0,u_1,\ldots)\).

Montrer que \(S\) est linéaire et isométrique. Est-il surjectif ?
À l’aide du théorème de Riesz, justifier l’existence d’un opérateur \(S^{*}\) tel que \(\langle Su, v \rangle=\langle u, S^{*}v \rangle\) pour tous \(u,v\).
Calculer \(S^{*}v\) explicitement.
Calculer \(S^{*}S\) et \(SS^{*}\). Interpréter \(SS^{*}\) comme une projection orthogonale.

Exercice 11 : Inégalité de Bessel dans l’espace des suites

Dans \(\ell^2(\mathbb{N})\) réel, on note \(\varepsilon_n\) la suite dont seul le terme d’indice \(n\) vaut \(1\), et \(x=(2^{-n})_{n\geq\, 0}\).

Montrer que \((\varepsilon_{2n})_{n\geq\, 0}\) est orthonormale mais n’est pas une base hilbertienne.
Calculer \(\|x\|^2\) et \(\sum_{n\geq\, 0}\langle x, \varepsilon_{2n} \rangle^2\). Vérifier l’inégalité de Bessel.
Calculer la distance de \(x\) au sous-espace fermé engendré par les \(\varepsilon_{2n}\).

Exercice 12 : Base hilbertienne des sinus

Dans \(L^2([0,\pi])\) muni de \(\langle f, g \rangle=\int_0^{\pi}f\overline{g}\), on pose \(s_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(nx)\) pour \(n\geq\, 1\). On admet que \((e^{inx})_{n\in\mathbb{Z}}\) est une base hilbertienne de \(L^2(\mathbb{T})\).

Montrer que \((s_n)_{n\geq\, 1}\) est orthonormale.
Soit \(f\in L^2([0,\pi])\) orthogonale à tous les \(s_n\). En prolongeant \(f\) en une fonction impaire sur \([-\pi,\pi]\), montrer que \(f=0\) presque partout. Conclure.
Développer la fonction constante \(1\) dans cette base.
En déduire, par Parseval, la valeur de \(\sum_{k\geq\, 0}\frac{1}{(2k+1)^2}\).

Exercice 13 : Série de Fourier de l’identité

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie par \(f(x)=x\) sur \(]-\pi,\pi[\) et \(f(\pi)=0\). Son graphe en « dents de scie » est représenté ci-dessous.

Calculer les coefficients \(c_n(f)\) pour \(n\in\mathbb{Z}\).
Écrire la série de Fourier de \(f\) sous forme réelle. En quel sens converge-t-elle vers \(f\) ?
Appliquer l’égalité de Parseval et en déduire \(\sum_{n\geq\, 1}\frac{1}{n^2}\).
La série de Fourier de \(f\) peut-elle converger uniformément sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 14 : Série de Fourier de la valeur absolue

Soit \(g\) la fonction \(2\pi\)-périodique égale à \(|x|\) sur \([-\pi,\pi]\).

Calculer les coefficients \(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\cos(nx)\,dx\) pour \(n\geq\, 0\), et justifier que les coefficients en sinus sont nuls.
Montrer que la série de Fourier de \(g\) converge uniformément vers \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
En évaluant en \(0\), retrouver \(\sum_{k\geq\, 0}\frac{1}{(2k+1)^2}\).
À l’aide de Parseval, calculer \(\sum_{k\geq\, 0}\frac{1}{(2k+1)^4}\), puis \(\sum_{n\geq\, 1}\frac{1}{n^4}\).

Exercice 15 : Noyau de Fejér

Pour \(n\geq\, 0\), on pose \(D_n(t)=\sum_{|k|\leq\, n}e^{ikt}\) et, pour \(N\geq\, 0\), \(K_N=\frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^{N}D_n\).

Montrer que \(D_n(t)=\frac{\sin((n+\frac{1}{2})t)}{\sin(t/2)}\) pour \(t\notin 2\pi\mathbb{Z}\).
Montrer que \(K_N(t)=\frac{1}{N+1}\,\frac{\sin^2(\frac{(N+1)t}{2})}{\sin^2(t/2)}\). En déduire que \(K_N\geq\, 0\).
Montrer que \(K_N(t)=\sum_{|k|\leq\, N}(1-\frac{|k|}{N+1})e^{ikt}\) et que \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}K_N=1\).
Soit \(0 < \delta < \pi\). Montrer que \(\sup_{\delta\leq\,|t|\leq\,\pi}K_N(t)\to 0\) quand \(N\to\infty\).
Pour \(f\in L^1(\mathbb{T})\), exprimer \(\sigma_Nf=f*K_N\) à l’aide des coefficients \(c_k(f)\).

Exercice 16 : Unicité des coefficients de Fourier

On note \(\mathcal{C}(\mathbb{T})\) l’espace des fonctions continues \(2\pi\)-périodiques à valeurs complexes. On utilise le théorème de Fejér.

Soit \(f\in\mathcal{C}(\mathbb{T})\) dont tous les coefficients de Fourier sont nuls. Montrer que \(f=0\).
Soit \(f\in\mathcal{C}(\mathbb{T})\) telle que \(\sum_{n\in\mathbb{Z}}|c_n(f)| < \infty\). Montrer que \(f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n(f)e^{inx}\) pour tout \(x\), la convergence étant uniforme.
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(2\pi\)-périodique. Montrer que \(c_n(f^{\prime})=in\,c_n(f)\), puis que \(\sum|c_n(f)| < \infty\). Conclure.
On admet que \(\mathcal{C}(\mathbb{T})\) est dense dans \(L^2(\mathbb{T})\). Déduire du théorème de Fejér que \((e^{inx})_{n\in\mathbb{Z}}\) est une base hilbertienne de \(L^2(\mathbb{T})\).

Exercice 17 : Transformée de Fourier d’une indicatrice

Pour \(f\in L^1(\mathbb{R})\), on pose \(\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi}dx\). Soit \(a > 0\) et \(f=\mathbf{1}_{[-a,a]}\).

Calculer \(\widehat{f}(\xi)\) pour tout \(\xi\in\mathbb{R}\).
Vérifier que \(\widehat{f}\) est continue, bornée par \(\|f\|_1\) et tend vers \(0\) à l’infini.
Montrer que \(\widehat{f}\) n’est pas intégrable sur \(\mathbb{R}\). Que peut-on en conclure sur l’image de \(L^1\) par la transformation de Fourier ?

Exercice 18 : Transformées de Fourier usuelles

Calculer la transformée de Fourier de \(f(x)=e^{-|x|}\).
Soit \(g(x)=e^{-x^2/2}\). Justifier que \(\widehat{g}\) est de classe \(\mathcal{C}^1\), puis montrer que \((\widehat{g})^{\prime}(\xi)=-\xi\,\widehat{g}(\xi)\).
En déduire \(\widehat{g}\), sachant que \(\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}\).
Pour \(a > 0\), calculer la transformée de Fourier de \(h(x)=e^{-ax^2}\).

Exercice 19 : Convolution et fonction triangle

On note \(I=\mathbf{1}_{[-1/2,1/2]}\) et \(\Delta(x)=\max(1-|x|,0)\). La figure ci-dessous représente ces deux fonctions.

Soit \(f,g\in L^1(\mathbb{R})\). Montrer que \(f*g(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)\,dy\) est définie presque partout, que \(\|f*g\|_1\leq\,\|f\|_1\|g\|_1\) et que \(\widehat{f*g}=\widehat{f}\,\widehat{g}\).
Montrer que \(I*I=\Delta\).
En déduire \(\widehat{\Delta}\), puis vérifier le résultat par un calcul direct.
Montrer que \(\widehat{\Delta}\) est positive et intégrable sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 20 : Inégalité de Wirtinger

Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), \(2\pi\)-périodique, telle que \(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=0\).

Exprimer \(c_n(f^{\prime})\) en fonction de \(c_n(f)\).
Démontrer l’inégalité de Wirtinger : \(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2dx\leq\,\int_{-\pi}^{\pi}f^{\prime}(x)^2dx\).
Déterminer les cas d’égalité.
Soit \(u\in\mathcal{C}^1([0,\pi],\mathbb{R})\) telle que \(u(0)=u(\pi)=0\). Montrer que \(\int_0^{\pi}u^2\leq\,\int_0^{\pi}u^{\prime 2}\), avec égalité si et seulement si \(u(x)=\lambda\sin x\).

Exercice 21 : Problème sur les polynômes de Legendre

On travaille dans \(H=L^2([-1,1])\) réel, muni de \(\langle f, g \rangle=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx\). On admet que \(\mathcal{C}([-1,1])\) est dense dans \(H\). Pour \(n\geq\, 0\), on pose \[P_n(x)=\frac{1}{2^n\,n!}\,\frac{d^n}{dx^n}\big[(x^2-1)^n\big].\]

Justifier que \(H\) est un espace de Hilbert et que les fonctions polynomiales sont denses dans \(H\).
Calculer \(P_0\), \(P_1\) et \(P_2\). Montrer que \(P_n\) est de degré \(n\).
Montrer que \(\langle P_n, Q \rangle=0\) pour tout polynôme \(Q\) de degré strictement inférieur à \(n\). On pourra intégrer \(n\) fois par parties.
En déduire que \((\frac{P_n}{\|P_n\|})_{n\geq\, 0}\) est une base hilbertienne de \(H\).
Calculer \(\|P_0\|^2\) et \(\|P_2\|^2\), puis la projection orthogonale de \(f(x)=|x|\) sur l’espace des polynômes de degré au plus \(2\).
En déduire \(\min_{a,b,c}\int_{-1}^{1}\big(|x|-a-bx-cx^2\big)^2dx\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

Le cours : espaces de Hilbert, cours de maths en L3
À maîtriser avant : Espaces L^p, Compacité et connexité
Chapitre précédent : Singularités et théorème des résidus
Chapitre suivant : Espaces probabilisés, variables aléatoires et espérance
Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3

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