Groupes et actions : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Sous-groupes distingués de S3

On considère le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_3\) des permutations de \(\{1, 2, 3\}\).

1. Donnez la liste des six éléments de \(\mathfrak{S}_3\) avec leur ordre, puis la liste de tous ses sous-groupes.
2. Déterminez, parmi ces sous-groupes, ceux qui sont distingués.
3. Montrez que \(\mathfrak{S}_3/\mathfrak{A}_3\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) à l’aide d’un morphisme bien choisi.
4. Existe-t-il un morphisme surjectif de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) ? Justifiez.

Exercice 2 : Le groupe spécial linéaire

Soit \(n \geq\, 1\). On note \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices de déterminant 1, et \(\mathrm{GL}_n^+(\mathbb{R})\) celui des matrices de déterminant strictement positif.

1. Montrez que \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\) est un sous-groupe distingué de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\).
2. Montrez que \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\) est isomorphe à \(\mathbb{R}^*\).
3. Montrez que \(\mathrm{GL}_n^+(\mathbb{R})\) est distingué dans \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), et identifiez le quotient \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})/\mathrm{GL}_n^+(\mathbb{R})\).
4. Pour \(n = 2\), montrez que le sous-groupe \(T\) des matrices triangulaires supérieures inversibles n’est pas distingué dans \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\).

Exercice 3 : Sous-groupes d’indice 2

Soit \(G\) un groupe et \(H\) un sous-groupe d’indice 2 de \(G\).

1. Montrez que \(H\) est distingué dans \(G\).
2. Déduisez-en que \(\mathfrak{A}_n\) est distingué dans \(\mathfrak{S}_n\) pour \(n \geq\, 2\), et que le sous-groupe des rotations est distingué dans le groupe diédral \(D_n\).
3. Montrez que \(g^2 \in H\) pour tout \(g \in G\).
4. Application : montrez que \(\mathfrak{A}_4\) n’a aucun sous-groupe d’ordre 6. On pourra observer que tout 3-cycle est le carré d’un 3-cycle.

Exercice 4 : Centre et quotient cyclique

Soit \(G\) un groupe de centre \(Z(G)\), et \(p\) un nombre premier.

1. Rappelez pourquoi \(Z(G)\) est un sous-groupe distingué de \(G\).
2. On suppose que \(G/Z(G)\) est cyclique, engendré par la classe de \(a\). Montrez que tout élément de \(G\) s’écrit \(a^k z\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) et \(z \in Z(G)\). Déduisez-en que \(G\) est abélien.
3. Soit \(G\) un groupe d’ordre \(p^2\). En utilisant la formule des classes, montrez que \(G\) est abélien.
4. Montrez qu’un groupe d’ordre \(p^2\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\) ou à \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\).

Exercice 5 : Isomorphismes par passage au quotient

On note \(\mathbb{U}\) le groupe multiplicatif des complexes de module 1, et \(\mathbb{U}_n\) celui des racines \(n\)-ièmes de l’unité. Pour chaque cas, construisez un morphisme surjectif adapté et appliquez le premier théorème d’isomorphisme.

1. \(\mathbb{C}^*/\mathbb{U} \simeq \mathbb{R}_+^*\).
2. \(\mathbb{C}^*/\mathbb{R}_+^* \simeq \mathbb{U}\).
3. \(\mathbb{U}/\mathbb{U}_n \simeq \mathbb{U}\) pour tout \(n \geq\, 1\).
4. \(\mathbb{Z}^2/H \simeq \mathbb{Z}\), où \(H = \{(k, k) \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

Exercice 6 : Quotients de Z/12Z

On pose \(G = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) et \(K = \langle \,\overline{4} \rangle\).

1. Donnez les éléments de \(K\) et son ordre. Pourquoi \(K\) est-il distingué ?
2. Écrivez les classes de \(G/K\). Montrez que \(G/K\) est cyclique d’ordre 4.
3. Montrez directement que l’application \(\,\overline{x} \mapsto x \bmod 4\), de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\), est bien définie. Retrouvez alors \(G/K \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) et interprétez ce résultat avec le troisième théorème d’isomorphisme.
4. Identifiez de même \(G/\langle \,\overline{6} \rangle\) et \(G/\langle \,\overline{3} \rangle\).
5. À l’aide du lemme chinois, écrivez un isomorphisme \(G \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) et déterminez l’image de \(K\).

Exercice 7 : Générateurs et sous-groupes de Z/20Z

On travaille dans \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\).

1. Calculez l’ordre de \(\,\overline{6}\), de \(\,\overline{8}\) et de \(\overline{15}\).
2. Combien \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\) a-t-il de générateurs ? Donnez-les.
3. Donnez la liste de tous les sous-groupes de \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\), avec un générateur de chacun, et décrivez leurs inclusions.
4. Déterminez les éléments d’ordre 10. Montrez que \(\langle \,\overline{6} \rangle = \langle \,\overline{2} \rangle\).

Exercice 8 : Produits de groupes cycliques

Soit \(m, n \geq\, 1\) deux entiers.

1. Montrez que l’ordre de \((a, b)\) dans \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est le ppcm des ordres de \(a\) et de \(b\).
2. Montrez que \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est cyclique si et seulement si \(m \wedge n = 1\).
3. Le groupe \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) est-il cyclique ? Montrez qu’il est isomorphe à \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\).
4. Combien \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) contient-il d’éléments d’ordre 2 ? Déduisez-en qu’il n’est pas isomorphe à \(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}\) par un second argument.

Exercice 9 : Orbites de quatre actions

Pour chaque action, vérifiez les axiomes, puis déterminez les orbites et les stabilisateurs. La figure ci-dessous illustre les deux premières actions.

1. Le groupe \(\mathrm{SO}(2)\) des rotations vectorielles agit sur \(\mathbb{R}^2\) par \(R \cdot x = Rx\).
2. Le groupe \(\mathbb{R}^*\) agit sur \(\mathbb{R}^2\) par \(\lambda \cdot x = \lambda x\).
3. Le groupe \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\) agit sur \(\mathbb{R}^2\) par \(A \cdot x = Ax\). Déterminez le stabilisateur de \(e_1 = (1, 0)\).
4. Le groupe \((\mathbb{Z}, +)\) agit sur \(\mathbb{R}\) par \(k \cdot x = x + k\). Montrez que chaque orbite rencontre \([0, 1[\) en exactement un point.

Exercice 10 : Classes de conjugaison dans S4

On étudie l’action de \(\mathfrak{S}_4\) sur lui-même par conjugaison.

1. Donnez les types de permutations de \(\mathfrak{S}_4\) et le nombre d’éléments de chaque type.
2. Déduisez-en la formule des classes de \(\mathfrak{S}_4\) et l’ordre du centralisateur de chaque type d’élément. Que vaut \(Z(\mathfrak{S}_4)\) ?
3. Soit \(V_4 = \{\mathrm{id}, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}\). Montrez que \(V_4\) est un sous-groupe distingué de \(\mathfrak{S}_4\), isomorphe à \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
4. Vérifiez que \(\mathfrak{A}_4\) est réunion de classes de conjugaison de \(\mathfrak{S}_4\).
5. Déterminez le nombre \(n_3\) de 3-sous-groupes de Sylow de \(\mathfrak{S}_4\), et vérifiez qu’il satisfait les conditions des théorèmes de Sylow.

Exercice 11 : Une permutation de S9

Soit \(\sigma \in \mathfrak{S}_9\) définie par le tableau suivant.

\[\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 5 & 1 & 8 & 9 & 2 & 4 & 7 & 6 \end{pmatrix}\]

1. Décomposez \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints.
2. Calculez l’ordre et la signature de \(\sigma\). Appartient-elle à \(\mathfrak{A}_9\) ?
3. Calculez \(\sigma^{2026}\).
4. Écrivez \(\sigma\) comme produit de transpositions.
5. Trouvez \(\tau \in \mathfrak{S}_9\) telle que \(\tau \sigma \tau^{-1} = (1\,2)(3\,4\,5\,6)(7\,8\,9)\).

Exercice 12 : Parties génératrices de Sn

Soit \(n \geq\, 3\).

1. Montrez que les transpositions \((1\,k)\), pour \(2 \leq\, k \leq\, n\), engendrent \(\mathfrak{S}_n\).
2. On pose \(c = (1\,2\,\ldots\,n)\) et \(t = (1\,2)\). Montrez que \(c^k t c^{-k} = (k+1\ \ k+2)\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n-2\).
3. Déduisez-en que \(\mathfrak{S}_n = \langle t, c \rangle\).
4. Montrez que le centre de \(\mathfrak{S}_n\) est réduit à \(\{\mathrm{id}\}\).

Exercice 13 : Colorier un carré avec la formule de Burnside

On colorie les quatre sommets \(A_1, A_2, A_3, A_4\) d’un carré. Deux coloriages sont considérés comme identiques s’ils se déduisent l’un de l’autre par une isométrie d’un groupe \(G\) donné. On compte donc les orbites de \(G\) agissant sur l’ensemble \(X\) des coloriages.

1. On prend deux couleurs et \(G = \langle r \rangle\), le groupe des quatre rotations du carré. Calculez \(|\mathrm{Fix}(g)|\) pour chaque \(g \in G\), puis le nombre d’orbites. Décrivez chaque orbite et son cardinal.
2. Même question, sans description des orbites, avec trois couleurs.
3. On prend trois couleurs et \(G = D_4\), le groupe des huit isométries du carré. Combien y a-t-il de coloriages différents ?
4. Avec deux couleurs et \(G = D_4\), comparez avec la question 1 et expliquez le résultat.

Exercice 14 : Le groupe diédral D4

Le carré \(A_1A_2A_3A_4\) de centre \(O\) est représenté ci-dessous. On note \(r\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\pi/2\), qui envoie \(A_1\) sur \(A_2\), et \(s_i\) la réflexion d’axe \(\Delta_i\) pour \(1 \leq\, i \leq\, 4\).

1. Écrivez \(s_2\), \(s_3\) et \(s_4\) sous la forme \(s_1 r^k\).
2. Déterminez le centre de \(D_4\).
3. Déterminez les classes de conjugaison de \(D_4\) et écrivez sa formule des classes.
4. Donnez les trois sous-groupes d’ordre 4 de \(D_4\). Sont-ils distingués ?
5. Identifiez le groupe quotient \(D_4/Z(D_4)\).
6. En faisant agir \(D_4\) sur les quatre sommets, montrez que \(D_4\) est isomorphe à un 2-sous-groupe de Sylow de \(\mathfrak{S}_4\).

Exercice 15 : Rotations du tétraèdre régulier

Soit \(T\) un tétraèdre régulier de sommets \(S_1, S_2, S_3, S_4\) et de centre \(O\). On note \(G\) le groupe des rotations de l’espace qui conservent \(T\). La figure montre deux types d’axes de rotation.

1. Décrivez les rotations d’axe passant par un sommet et le centre de la face opposée, puis les demi-tours d’axe joignant les milieux de deux arêtes opposées. Combien en obtient-on, en comptant l’identité ?
2. Montrez que \(G\) agit transitivement sur les sommets. Déterminez le stabilisateur de \(S_4\) et déduisez-en \(|G|\).
3. Montrez que l’action sur les sommets fournit un morphisme injectif \(G \to \mathfrak{S}_4\), puis que \(G \simeq \mathfrak{A}_4\).
4. Déterminez l’orbite et le stabilisateur de l’arête \([S_1S_2]\) pour l’action de \(G\) sur les six arêtes.

Exercice 16 : Action sur les classes à gauche

Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe d’indice \(n\). Le groupe \(G\) agit sur \(G/H\) par \(g \cdot (xH) = gxH\). On note \(\rho : G \to \mathfrak{S}(G/H)\) le morphisme associé et \(K = \ker \rho\).

1. Montrez que \(K = \bigcap_{x \in G} xHx^{-1}\). Déduisez-en que \(K\) est un sous-groupe distingué de \(G\) contenu dans \(H\).
2. Montrez que \([G : K]\) divise \(n!\).
3. On suppose \(H \neq G\) et \(|G|\) ne divisant pas \(n!\). Montrez que \(G\) n’est pas simple. Application : un groupe d’ordre 36 possédant un sous-groupe d’ordre 9.
4. Soit \(p\) le plus petit nombre premier divisant \(|G|\). Montrez que tout sous-groupe d’indice \(p\) est distingué.
5. Application : un groupe d’ordre 45 possède-t-il un sous-groupe d’ordre 15 non distingué ?

Exercice 17 : Théorème de Cauchy par une action

Soit \(G\) un groupe fini et \(p\) un nombre premier divisant \(|G|\). On pose \[X = \{(x_1, \ldots, x_p) \in G^p \mid x_1 x_2 \cdots x_p = e\}.\]

1. Montrez que \(|X| = |G|^{p-1}\).
2. Montrez que \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) agit sur \(X\) par permutation circulaire : \(\,\overline{1} \cdot (x_1, x_2, \ldots, x_p) = (x_2, \ldots, x_p, x_1)\).
3. Quels sont les cardinaux possibles des orbites ? Décrivez les points fixes de l’action.
4. Démontrez le théorème de Cauchy : \(G\) possède un élément d’ordre \(p\).
5. Application : soit \(q\) un nombre premier impair et \(G\) un groupe d’ordre \(2q\). Montrez que \(G\) possède un unique sous-groupe d’ordre \(q\), et que celui-ci est distingué.

Exercice 18 : Groupes d’ordre 35

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(35\).

1. Déterminez \(n_5\) et \(n_7\).
2. Soit \(P\) le 5-Sylow et \(Q\) le 7-Sylow. Montrez que \(P\) et \(Q\) sont distingués et que \(P \cap Q = \{e\}\).
3. Montrez que tout élément de \(P\) commute avec tout élément de \(Q\).
4. Déduisez-en que \(G\) est cyclique.
5. Généralisation : soit \(p < q\) deux nombres premiers tels que \(p\) ne divise pas \(q – 1\). Montrez que tout groupe d’ordre \(pq\) est cyclique.

Exercice 19 : Groupes d’ordre 20 et 30 non simples

1. Montrez qu’un groupe d’ordre 20 possède un sous-groupe distingué d’ordre 5.
2. Soit \(G\) un groupe d’ordre 30. Donnez les valeurs possibles de \(n_3\) et de \(n_5\).
3. En comptant les éléments d’ordre 3 et d’ordre 5, montrez que \(n_3 = 1\) ou \(n_5 = 1\).
4. Soit \(P_3\) un 3-Sylow et \(P_5\) un 5-Sylow. Montrez que \(P_3 P_5\) est un sous-groupe d’ordre 15, distingué dans \(G\).
5. Montrez finalement que \(n_3 = n_5 = 1\).

Exercice 20 : Problème, simplicité de A5

Ce problème démontre que le groupe alterné \(\mathfrak{A}_5\), d’ordre 60, est simple.

1. Donnez les types de permutations paires de \(\mathfrak{S}_5\) et le nombre d’éléments de chaque type.
2. Soit \(\sigma \in \mathfrak{A}_5\). On note \(C_S(\sigma)\) son centralisateur dans \(\mathfrak{S}_5\) et \(C_A(\sigma) = C_S(\sigma) \cap \mathfrak{A}_5\) son centralisateur dans \(\mathfrak{A}_5\). Montrez que :
   • si \(C_S(\sigma)\) contient une permutation impaire, la classe de \(\sigma\) dans \(\mathfrak{A}_5\) est égale à sa classe dans \(\mathfrak{S}_5\) ;
   • sinon, la classe de \(\sigma\) dans \(\mathfrak{A}_5\) a deux fois moins d’éléments que sa classe dans \(\mathfrak{S}_5\).
3. Déduisez-en les classes de conjugaison de \(\mathfrak{A}_5\) et leurs cardinaux : \(1, 20, 15, 12, 12\).
4. Soit \(N\) un sous-groupe distingué de \(\mathfrak{A}_5\). Expliquez pourquoi \(|N|\) est une somme de cardinaux de classes contenant 1, et divise 60.
5. Concluez que \(\mathfrak{A}_5\) est simple. Déduisez-en que \(\mathfrak{A}_5\) n’a pas de sous-groupe d’ordre 30.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : groupes et actions, cours de maths en L3
• Chapitre précédent : Espaces L^p
• Chapitre suivant : Anneaux, idéaux et arithmétique
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3