Espaces euclidiens : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Reconnaître un produit scalaire sur R²

Pour \(x = (x_1, x_2)\) et \(y = (y_1, y_2)\) dans \(\mathbb{R}^2\), on considère les trois applications suivantes :

\[ \varphi(x,y) = 2x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2, \quad \psi(x,y) = x_1 y_1 + 2x_1 y_2 + 2x_2 y_1 + x_2 y_2, \quad \chi(x,y) = x_1 y_2 . \]

1. Écrivez la matrice de \(\varphi\) et celle de \(\psi\) dans la base canonique.
2. Montrez que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\).
3. Montrez que \(\psi\) est bilinéaire et symétrique, mais n’est pas un produit scalaire.
4. L’application \(\chi\) est-elle un produit scalaire ?

Exercice 2 : Produit scalaire par évaluation sur les polynômes

Pour \(P, Q \in \mathbb{R}_2[X]\), on pose \(\langle P, Q \rangle = P(-1)Q(-1) + P(0)Q(0) + P(1)Q(1)\).

1. Montrez que l’on définit ainsi un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_2[X]\).
2. Calculez \(\|1\|^2\), \(\|X\|^2\), \(\langle 1, X^2 \rangle\) et \(\langle X, X^2 \rangle\).
3. La même formule définit-elle un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_3[X]\) ? Justifiez.

Exercice 3 : Applications de l’inégalité de Cauchy-Schwarz

1. Soit \(x_1, \ldots, x_n\) des réels. Montrez que \(( \sum_{k=1}^{n} x_k )^2 \leq\, n \sum_{k=1}^{n} x_k^2\). Précisez le cas d’égalité.
2. Soit \(f\) continue et strictement positive sur \([0,1]\). Montrez que \(\int_0^1 f \times \int_0^1 \frac{1}{f} \geq\, 1\).
3. Déterminez le maximum de \(x + 2y + 2z\) lorsque \((x,y,z)\) parcourt la sphère d’équation \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\), et le point où il est atteint.
4. Déterminez toutes les fonctions \(f\) continues sur \([0,1]\) telles que \(\int_0^1 f = 1\) et \(\int_0^1 f^2 = 1\).

Exercice 4 : Identité du parallélogramme et normes non euclidiennes

Soit \(E\) un espace préhilbertien réel.

1. Démontrez l’identité du parallélogramme et l’identité de polarisation.
2. Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \(\|x\|_\infty = \max(|x_1|, |x_2|)\). En utilisant les vecteurs \(x = (1,0)\) et \(y = (0,1)\), montrez que cette norme ne provient d’aucun produit scalaire.
3. Même question pour \(\|x\|_1 = |x_1| + |x_2|\).

La figure ci-dessous représente les cercles unités des normes \(\|\cdot\|_2\) et \(\|\cdot\|_\infty\), ainsi que les vecteurs \(x\), \(y\), \(x + y\) et \(x – y\).

Exercice 5 : Coordonnées dans une base orthogonale de R³

Dans \(\mathbb{R}^3\) muni du produit scalaire canonique, on pose \(u = (1,1,0)\), \(v = (1,-1,2)\) et \(w = (-1,1,1)\).

1. Montrez que \((u, v, w)\) est une base orthogonale de \(\mathbb{R}^3\).
2. Déduisez-en une base orthonormée \((e_1, e_2, e_3)\).
3. Calculez les coordonnées de \(x = (1,2,3)\) dans cette base, sans résoudre de système.
4. Vérifiez le résultat à l’aide de la formule \(\|x\|^2 = \sum \langle e_i, x \rangle^2\).

Exercice 6 : Gram-Schmidt dans R³

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, on considère \(v_1 = (1,1,0)\), \(v_2 = (1,0,1)\) et \(v_3 = (0,1,1)\).

1. Vérifiez que \((v_1, v_2, v_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
2. Appliquez le procédé de Gram-Schmidt à cette base.
3. Soit \(P\) la matrice dont les colonnes sont \(v_1, v_2, v_3\) et \(Q\) celle dont les colonnes sont \(e_1, e_2, e_3\). Déterminez la matrice \(R\) telle que \(P = QR\), et observez sa forme.

Exercice 7 : Gram-Schmidt dans un espace de polynômes

On munit \(\mathbb{R}_2[X]\) du produit scalaire \(\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t) Q(t) \, dt\).

1. Justifiez rapidement qu’il s’agit d’un produit scalaire.
2. Montrez que si \(P\) est pair et \(Q\) impair, alors \(\langle P, Q \rangle = 0\).
3. Orthonormalisez la base \((1, X, X^2)\) par le procédé de Gram-Schmidt.

Exercice 8 : Distance de X³ à un espace de polynômes

On reprend le produit scalaire \(\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t) Q(t) \, dt\), cette fois sur \(\mathbb{R}_3[X]\), et le sous-espace \(F = \mathbb{R}_2[X]\).

1. Déterminez la projection orthogonale de \(X^3\) sur \(F\).
2. Calculez \(\displaystyle m = \min_{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3} \int_{-1}^{1} ( t^3 – a – bt – ct^2 )^2 dt\).
3. Pour quel triplet \((a,b,c)\) ce minimum est-il atteint ?

Exercice 9 : Orthogonal et projection dans R⁴

Dans \(\mathbb{R}^4\) canonique, on considère le sous-espace

\[ F = \{ x \in \mathbb{R}^4 : x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \ \text{ et } \ x_1 – x_2 + x_3 – x_4 = 0 \} . \]

1. Déterminez \(F^{\perp}\) et donnez-en une base orthogonale.
2. Calculez la projection orthogonale de \(x = (1,2,3,4)\) sur \(F^{\perp}\), puis sur \(F\).
3. Calculez la distance de \(x\) à \(F\).

Le schéma ci-dessous rappelle la décomposition \(x = p_F(x) + p_{F^{\perp}}(x)\) à utiliser : ici, les deux sous-espaces sont de dimension 2.

Exercice 10 : Distance à un plan de R³

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, soit \(P\) le plan d’équation \(x + 2y – 2z = 0\) et \(u = (1,1,1)\).

1. Donnez un vecteur normal \(n\) à \(P\), puis déterminez \(P^{\perp}\).
2. Calculez la projection orthogonale de \(u\) sur \(P\).
3. Calculez la distance de \(u\) à \(P\), puis retrouvez-la par la formule \(d(u, P) = \frac{|\langle n, u \rangle|}{\|n\|}\).
4. Écrivez la matrice, dans la base canonique, de la projection orthogonale sur \(P\).

Exercice 11 : Matrices de projection et de symétrie orthogonales

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, soit \(D\) la droite dirigée par \(a = (1,1,1)\), et \(J\) la matrice de taille 3 dont tous les coefficients valent 1.

1. Montrez que la matrice de la projection orthogonale \(p_D\) dans la base canonique est \(\frac{1}{3} J\).
2. Déduisez-en la matrice de la projection orthogonale sur le plan \(D^{\perp}\).
3. Vérifiez que ces deux matrices \(M\) sont symétriques et vérifient \(M^2 = M\).
4. Déterminez la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à \(D^{\perp}\), puis l’image de \((1,0,0)\) par cette symétrie.

Exercice 12 : Fonctions paires et impaires

Soit \(E = C([-1,1], \mathbb{R})\) muni de \(\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(t) g(t) \, dt\). On note \(\mathcal{P}\) le sous-espace des fonctions paires et \(\mathcal{I}\) celui des fonctions impaires.

1. Montrez que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{I}\) sont orthogonaux et que \(E = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}\).
2. Montrez que \(\mathcal{I} = \mathcal{P}^{\perp}\).
3. Montrez que la fonction paire la plus proche de \(\exp\) est \(\cosh\), puis calculez \(d(\exp, \mathcal{P})\).

Exercice 13 : Un sous-espace d’orthogonal nul

Soit \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) muni de \(\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt\), et \(F = \{ f \in E : f(0) = 0 \}\).

1. Vérifiez que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), distinct de \(E\).
2. Soit \(g \in F^{\perp}\). En considérant \(f : t \mapsto t\, g(t)\), montrez que \(g = 0\).
3. Déduisez-en \((F^{\perp})^{\perp}\) et comparez avec \(F\). A-t-on \(E = F \oplus F^{\perp}\) ?
4. Expliquez pourquoi ce phénomène est impossible si \(E\) est euclidien.

Exercice 14 : Un produit scalaire hermitien sur C²

Pour \(x = (x_1, x_2)\) et \(y = (y_1, y_2)\) dans \(\mathbb{C}^2\), on pose

\[ \varphi(x,y) = \overline{x_1} y_1 + i\, \overline{x_1} y_2 – i\, \overline{x_2} y_1 + 2\, \overline{x_2} y_2 . \]

1. Montrez que \(\varphi\) est linéaire en \(y\) et à symétrie hermitienne.
2. Vérifiez que \(\varphi(x,x) = |x_1 + i x_2|^2 + |x_2|^2\), puis concluez que \(\varphi\) est un produit scalaire hermitien.
3. Orthonormalisez la base canonique \((\varepsilon_1, \varepsilon_2)\) pour \(\varphi\).
4. Trouvez deux vecteurs \(x, y\) tels que \(\varphi(x,x) + \varphi(y,y) = \varphi(x+y, x+y)\) sans que \(\varphi(x,y)\) soit nul.

Exercice 15 : Droite de régression par moindres carrés

On dispose des quatre mesures \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,2)\) et \((3,4)\), représentées ci-dessous.

1. Écrivez le système surdéterminé \(A \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = Y\) traduisant que les quatre points sont sur la droite \(y = ax + b\).
2. Résolvez les équations normales et donnez la droite des moindres carrés.
3. Calculez les résidus et vérifiez qu’ils sont orthogonaux aux colonnes de \(A\).
4. Calculez la valeur minimale de \(\sum_{i} (y_i – a x_i – b)^2\).

Exercice 16 : Système surdéterminé

On considère le système

\[ \begin{cases} x + y = 1 \\ x – y = 2 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \]

1. Montrez que ce système n’a pas de solution.
2. Déterminez la solution au sens des moindres carrés, c’est-à-dire le couple \((x,y)\) qui minimise \((x+y-1)^2 + (x-y-2)^2 + (x+2y-4)^2\).
3. Calculez l’erreur minimale et interprétez-la comme une distance dans \(\mathbb{R}^3\).

Exercice 17 : Meilleure approximation affine de x² en moyenne quadratique

On munit \(C([0,1], \mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \int_0^1 f g\).

1. Montrez que \(\displaystyle \min_{(a,b) \in \mathbb{R}^2} \int_0^1 ( t^2 – at – b )^2 dt\) est atteint en un unique couple \((a,b)\).
2. Déterminez ce couple à l’aide des équations normales.
3. Calculez la valeur du minimum.

Exercice 18 : Produit scalaire sur les matrices

Sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on pose \(\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}(A^{T} B)\). On note \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques.

1. Montrez que \(\langle A, B \rangle = \sum_{i,j} a_{ij} b_{ij}\), puis qu’il s’agit d’un produit scalaire.
2. Montrez que \(\mathcal{A}_n = \mathcal{S}_n^{\perp}\).
3. Montrez que, pour toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \((\operatorname{tr} A)^2 \leq\, n \operatorname{tr}(A^{T} A)\). Étudiez le cas d’égalité.
4. Calculez la distance de \(M = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 0 1 \end{pmatrix}\) à \(\mathcal{S}_2\).

Exercice 19 : Problème, déterminant de Gram et distance

Soit \(E\) un espace préhilbertien réel. Pour \(x_1, \ldots, x_p \in E\), on note \(G(x_1, \ldots, x_p) = \det ( \langle x_i, x_j \rangle )_{1 \leq\, i,j \leq\, p}\) le déterminant de Gram de la famille.

1. Soit \(V = \operatorname{Vect}(x_1, \ldots, x_p)\), \((\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_m)\) une base orthonormée de \(V\), et \(M \in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{R})\) la matrice des coordonnées des \(x_j\) dans cette base. Montrez que la matrice de Gram vaut \(M^{T} M\).
2. Déduisez-en que \(G(x_1, \ldots, x_p) \geq\, 0\), avec égalité si et seulement si la famille est liée.
3. Soit \(F = \operatorname{Vect}(x_1, \ldots, x_p)\) avec \((x_1, \ldots, x_p)\) libre, et \(x \in E\). Montrez que \(\displaystyle d(x, F)^2 = \frac{G(x_1, \ldots, x_p, x)}{G(x_1, \ldots, x_p)}\).
4. Application : calculez la distance de \((1,1,1)\) au plan de \(\mathbb{R}^3\) engendré par \((1,0,1)\) et \((0,1,1)\). Vérifiez avec un vecteur normal.
5. Application : retrouvez la valeur du minimum de l’exercice 17 en calculant deux déterminants de Gram.

Exercice 20 : Problème, polynômes orthogonaux de Legendre

On munit \(\mathbb{R}[X]\) du produit scalaire \(\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t) Q(t) \, dt\).

1. Montrez qu’il existe une unique suite \((P_n)_{n \geq\, 0}\) de polynômes unitaires, avec \(\deg P_n = n\), deux à deux orthogonaux.
2. Montrez que \(P_n\) est orthogonal à \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\) pour \(n \geq\, 1\).
3. Montrez que \(P_n(-X) = (-1)^n P_n(X)\).
4. Calculez \(P_0\), \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\).
5. Soit \(n \geq\, 1\). On note \(x_1 < \cdots < x_k\) les racines de \(P_n\) situées dans \(]-1,1[\) et d’ordre de multiplicité impair, et \(Q = \prod_{j=1}^{k} (X – x_j)\), avec \(Q = 1\) si \(k = 0\). Montrez que \(P_n Q\) garde un signe constant sur \([-1,1]\), puis que \(k = n\).
6. Concluez : \(P_n\) possède \(n\) racines réelles simples, toutes dans \(]-1,1[\). Vérifiez-le sur \(P_2\) et \(P_3\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : espaces euclidiens, cours de maths en L2
• Chapitre précédent : Intégrales dépendant d'un paramètre
• Chapitre suivant : Isométries, endomorphismes symétriques et théorème spectral
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3