Diagonalisation : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Éléments propres d’une matrice d’ordre 2

On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 4 1 \\ 2 3 \end{pmatrix}\).

1. Calculer le polynôme caractéristique \(\chi_A\) et en déduire le spectre de \(A\).
2. Déterminer une base de chaque sous-espace propre.
3. Justifier que \(A\) est diagonalisable et donner \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que \(A = PDP^{-1}\).

Exercice 2 : Reconnaître des vecteurs propres

Soit \(M = \begin{pmatrix} 1 2 0 \\ 2 1 0 \\ 0 0 3 \end{pmatrix}\) et les vecteurs \(v_1 = (1,1,0)\), \(v_2 = (1,-1,0)\), \(v_3 = (0,0,1)\), \(v_4 = (1,0,0)\), \(v_5 = (1,1,1)\).

1. Pour chaque \(v_i\), dire s’il est vecteur propre de \(M\) et, le cas échéant, préciser la valeur propre associée.
2. Sans calculer \(\chi_M\), montrer que \(M\) est diagonalisable et donner son spectre.
3. En déduire \(\chi_M\), puis vérifier la valeur de \(\operatorname{tr}(M)\) et de \(\det M\).

Exercice 3 : Sous-espaces stables

1. Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes d’un espace vectoriel \(E\) tels que \(u \circ v = v \circ u\). Montrer que \(\ker v\) et \(\operatorname{Im} v\) sont stables par \(u\).
2. Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(D : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]\), \(P \mapsto P^{\prime}\). Montrer que, pour tout \(k \in \{0, \ldots, n\}\), le sous-espace \(\mathbb{R}_k[X]\) est stable par \(D\).
3. Soit \(R = \begin{pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\), vue comme endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\). Montrer qu’aucune droite de \(\mathbb{R}^2\) n’est stable par \(R\). Donner une interprétation géométrique.
4. Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(\begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 2 0 \\ 0 0 3 \end{pmatrix}\) dans la base canonique \((e_1, e_2, e_3)\). Montrer que \(\mathrm{Vect}(e_1, e_2)\) est stable par \(f\) et écrire la matrice de l’endomorphisme induit.

Exercice 4 : Spectre d’une matrice triangulaire et multiplicités

Soit \(T = \begin{pmatrix} 2 1 -1 \\ 0 3 1 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\).

1. Donner, sans calcul de déterminant, le polynôme caractéristique et le spectre de \(T\).
2. Pour chaque valeur propre, préciser la multiplicité algébrique et la multiplicité géométrique.
3. La matrice \(T\) est-elle diagonalisable ?

Exercice 5 : Polynôme caractéristique et invariants

1. Soit \(A = \begin{pmatrix} a b \\ c d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\). Montrer que \(\chi_A(X) = X^2 – \operatorname{tr}(A)\,X + \det A\).
2. Montrer que, pour toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), les matrices \(A\) et \(A^{T}\) ont le même polynôme caractéristique. Ont-elles les mêmes sous-espaces propres ?
3. Montrer que \(A\) est inversible si et seulement si \(0 \notin \mathrm{Sp}(A)\).
4. Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(1\) et \(2\) soient valeurs propres de \(A\) et \(\operatorname{tr}(A) = 6\). Déterminer la troisième valeur propre, \(\det A\), et justifier que \(A\) est diagonalisable.

Exercice 6 : Puissances d’une matrice d’ordre 2

On reprend la matrice \(A = \begin{pmatrix} 4 1 \\ 2 3 \end{pmatrix}\) de l’exercice 1.

1. Calculer \(P^{-1}\), où \(P\) est la matrice de passage obtenue à l’exercice 1.
2. En déduire l’expression de \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. Vérifier le résultat pour \(n = 0\) et \(n = 1\), puis calculer \(A^3\).

Exercice 7 : Diagonalisation d’une matrice d’ordre 3

Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 1 1 \\ -1 2 1 \\ -1 1 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\) sous forme factorisée.
2. Déterminer les sous-espaces propres de \(A\) et leurs dimensions.
3. Montrer que \(A\) est diagonalisable et expliciter \(P\) et \(D\).
4. Vérifier que \((A – I_3)^2 = A – I_3\), puis en déduire que \(A^n = I_3 + (2^n – 1)(A – I_3)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 8 : Une matrice non diagonalisable

Soit \(B = \begin{pmatrix} 3 0 -1 \\ 2 2 -1 \\ 2 0 0 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_B\) en développant selon une colonne bien choisie.
2. Déterminer les sous-espaces propres de \(B\).
3. La matrice \(B\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ? dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) ?

Exercice 9 : Diagonalisabilité selon un paramètre

Pour \(a \in \mathbb{R}\), on pose \(A_a = \begin{pmatrix} 1 a 1 \\ 0 1 1 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\).

1. Déterminer le spectre de \(A_a\) et les multiplicités algébriques.
2. Calculer le rang de \(A_a – I_3\) selon les valeurs de \(a\).
3. En déduire les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(A_a\) est diagonalisable.
4. Dans ce cas, diagonaliser \(A_a\).

Exercice 10 : Diagonalisation sur R et sur C

Soit \(B = \begin{pmatrix} 1 -2 \\ 1 -1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ?
2. Montrer que \(B\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) et déterminer une base de vecteurs propres.
3. Calculer \(B^2\), puis \(B^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 11 : Matrices de rang 1

Soit \(n \geq\, 2\), et soient \(U, V \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) deux colonnes non nulles. On pose \(A = UV^{T}\).

1. Montrer que \(A\) est de rang 1 et que \(\operatorname{tr}(A) = V^{T}U\).
2. Montrer que \(A^2 = \operatorname{tr}(A)\, A\).
3. Déterminer \(\dim E_0(A)\). Montrer que si \(\operatorname{tr}(A) \neq 0\), alors \(\operatorname{tr}(A)\) est valeur propre de \(A\).
4. En déduire que \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\operatorname{tr}(A) \neq 0\).
5. Application : diagonaliser la matrice \(J_n\) dont tous les coefficients valent 1, et montrer que \(\begin{pmatrix} 1 -1 \\ 1 -1 \end{pmatrix}\) n’est pas diagonalisable.

Exercice 12 : Éléments propres d’endomorphismes de polynômes

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Pour \(P \in \mathbb{R}_n[X]\), on pose \(u(P) = (X+1)P^{\prime}\).

1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. Écrire la matrice de \(u\) dans la base canonique \((1, X, \ldots, X^n)\). En déduire le spectre de \(u\) et justifier que \(u\) est diagonalisable.
3. Calculer \(u\big((X+1)^k\big)\) et en déduire une base de vecteurs propres de \(u\).
4. Montrer en revanche que la dérivation \(D : P \mapsto P^{\prime}\) de \(\mathbb{R}_n[X]\) n’est pas diagonalisable.

Exercice 13 : La transposition dans les matrices carrées

Soit \(n \geq\, 2\) et \(\tau : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(M \mapsto M^{T}\).

1. Montrer que \(\tau\) est linéaire et calculer \(\tau \circ \tau\).
2. En déduire que \(\mathrm{Sp}(\tau) \subset \{-1, 1\}\), puis identifier \(E_1(\tau)\) et \(E_{-1}(\tau)\).
3. Montrer que \(\tau\) est diagonalisable. Donner les dimensions des sous-espaces propres.
4. En déduire \(\operatorname{tr}(\tau)\) et \(\det(\tau)\).

Exercice 14 : Projecteurs et symétries

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie.

1. Soit \(p \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(p \circ p = p\). Montrer que \(\mathrm{Sp}(p) \subset \{0, 1\}\), puis que \(E = \ker p \oplus \ker(p – \mathrm{id}_E)\). En déduire que \(p\) est diagonalisable.
2. Soit \(s \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(s \circ s = \mathrm{id}_E\). Montrer de même que \(s\) est diagonalisable.
3. Dans \(\mathbb{R}^2\), on considère \(P = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 2 \\ 2 1 \end{pmatrix}\). Vérifier que \(P^2 = P\), puis déterminer \(E_1(P)\) et \(E_0(P)\).
4. Calculer \(S = 2P – I_2\), vérifier que \(S^2 = I_2\) et donner ses sous-espaces propres. Calculer \(P x\) et \(S x\) pour \(x = (1,3)\).

La figure suivante représente la situation de la question 4 : la droite \(D\), la droite \(D^{\prime}\), le vecteur \(x\) et ses images.

Exercice 15 : Une famille d’exponentielles

Soit \(E = C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) et \(D : f \mapsto f^{\prime}\).

1. Montrer que tout réel \(\lambda\) est valeur propre de \(D\) et que \(E_\lambda(D)\) est la droite engendrée par \(f_\lambda : x \mapsto e^{\lambda x}\).
2. En déduire que, pour des réels \(\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_p\), la famille \((f_{\lambda_1}, \ldots, f_{\lambda_p})\) est libre.
3. En utilisant l’endomorphisme \(D^2 = D \circ D\), montrer que la famille \((c_0, c_1, \ldots, c_n)\), où \(c_k(x) = \cos(kx)\), est libre.

Exercice 16 : Suite récurrente linéaire d’ordre 2

On considère la suite définie par \(u_0 = 0\), \(u_1 = 3\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. On pose \(X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ u_{n+1} \end{pmatrix}\). Déterminer la matrice \(C\) telle que \(X_{n+1} = CX_n\).
2. Diagonaliser \(C\).
3. En déduire une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). Vérifier pour \(n \leq\, 3\).
4. Donner un équivalent de \(u_n\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 17 : Système de suites récurrentes

Une population se répartit entre deux villes A et B. Chaque année, 20 % des habitants de A partent vivre en B et 30 % des habitants de B partent vivre en A ; les autres restent. On note \(x_n\) et \(y_n\) les parts de la population totale vivant en A et en B l’année \(n\), avec \(x_0 = 1\) et \(y_0 = 0\). Le schéma ci-dessous résume les flux annuels.

1. Écrire le système liant \((x_{n+1}, y_{n+1})\) à \((x_n, y_n)\), puis la matrice \(M\) correspondante.
2. Déterminer les valeurs propres et des vecteurs propres de \(M\).
3. En déduire \(x_n\) et \(y_n\) en fonction de \(n\), puis leurs limites.
4. Calculer \(M^n\) et sa limite quand \(n \to +\infty\). Interpréter les colonnes de la limite.

Exercice 18 : Système différentiel d’ordre 2

On cherche les couples de fonctions dérivables \((x, y)\) sur \(\mathbb{R}\) tels que \(x^{\prime} = x + 2y\) et \(y^{\prime} = 2x + y\).

1. Écrire le système sous la forme \(X^{\prime} = AX\) et diagonaliser \(A\).
2. Déterminer toutes les solutions du système.
3. Déterminer la solution telle que \(x(0) = 2\) et \(y(0) = 0\).
4. Déterminer les conditions initiales \((x(0), y(0))\) pour lesquelles la solution est bornée sur \([0, +\infty[\).

Exercice 19 : Système différentiel d’ordre 3

Avec la matrice \(A\) de l’exercice 7, on étudie le système \(x^{\prime} = y + z\), \(y^{\prime} = -x + 2y + z\), \(z^{\prime} = -x + y + 2z\).

1. Vérifier que le système s’écrit \(X^{\prime} = AX\).
2. Donner la forme générale des solutions.
3. Déterminer la solution telle que \(x(0) = 1\), \(y(0) = 0\), \(z(0) = 0\). Vérifier le résultat dans la première équation.

Exercice 20 : Chemins dans un graphe

On considère le graphe ci-dessous, à trois sommets 1, 2, 3, où 1 est relié à 2 et 2 est relié à 3. Sa matrice d’adjacence est \(A = \begin{pmatrix} 0 1 0 \\ 1 0 1 \\ 0 1 0 \end{pmatrix}\). On admet que le coefficient \((i, j)\) de \(A^k\) est le nombre de chemins de longueur \(k\) allant du sommet \(i\) au sommet \(j\).

1. Calculer \(\chi_A\), les valeurs propres et une base de vecteurs propres de \(A\).
2. Justifier que \(A\) est diagonalisable, puis montrer que \(A^3 = 2A\).
3. En déduire \(A^{2k+1}\) pour \(k \in \mathbb{N}\) et \(A^{2k}\) pour \(k \in \mathbb{N}^*\).
4. Combien existe-t-il de chemins de longueur 10 allant du sommet 1 au sommet 3 ? du sommet 2 au sommet 2 ? de longueur 7 du sommet 1 au sommet 2 ?

Exercice 21 : Démonstration du critère de diagonalisabilité

Soit \(u\) un endomorphisme d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n \geq\, 1\), et soient \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\) ses valeurs propres distinctes.

1. Montrer par récurrence sur \(p\) que la somme \(E_{\lambda_1}(u) + \cdots + E_{\lambda_p}(u)\) est directe.
2. Soit \(d = \dim E_{\lambda_1}(u)\). En complétant une base de \(E_{\lambda_1}(u)\), montrer que \((X – \lambda_1)^d\) divise \(\chi_u\). Conclure que \(1 \leq\, d \leq\, m(\lambda_1)\).
3. Montrer que \(u\) est diagonalisable si et seulement si \(\sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(u) = n\).
4. En déduire que \(u\) est diagonalisable si et seulement si \(\chi_u\) est scindé et \(\dim E_{\lambda_i}(u) = m(\lambda_i)\) pour tout \(i\).

Exercice 22 : Endomorphismes qui commutent

Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), de dimension \(n\), possédant \(n\) valeurs propres distinctes \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\), et soit \((e_1, \ldots, e_n)\) une base de vecteurs propres avec \(u(e_i) = \lambda_i e_i\). On note \(\mathcal{C}(u)\) l’ensemble des endomorphismes \(v\) tels que \(u \circ v = v \circ u\).

1. Soit \(v \in \mathcal{C}(u)\). Montrer que chaque \(E_{\lambda_i}(u)\) est stable par \(v\).
2. En déduire que tout \(v \in \mathcal{C}(u)\) est diagonalisable dans la base \((e_1, \ldots, e_n)\). Réciproquement, montrer que tout endomorphisme diagonal dans cette base commute avec \(u\).
3. Soit \(v \in \mathcal{C}(u)\), avec \(v(e_i) = \mu_i e_i\). Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) de degré au plus \(n – 1\) tel que \(v = Q(u)\).
4. En déduire que \(\mathcal{C}(u)\) est un sous-espace vectoriel de dimension \(n\), de base \((\mathrm{id}_E, u, \ldots, u^{n-1})\).

Exercice 23 : Racines carrées d’une matrice

Soit \(A = \begin{pmatrix} 5 4 \\ 4 5 \end{pmatrix}\). On cherche toutes les matrices \(B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telles que \(B^2 = A\).

1. Diagonaliser \(A\).
2. Soit \(B\) telle que \(B^2 = A\). Montrer que \(AB = BA\).
3. En déduire que les sous-espaces propres de \(A\) sont stables par \(B\), puis que \(P^{-1}BP\) est diagonale.
4. Déterminer toutes les solutions \(B\) et les écrire explicitement.

Exercice 24 : Problème : matrices compagnons et récurrences d’ordre 3

Soient \(c_0, c_1, c_2\) des réels et \(C = \begin{pmatrix} 0 1 0 \\ 0 0 1 \\ c_0 c_1 c_2 \end{pmatrix}\).

Partie A : étude générale.

1. Montrer que \(\chi_C(X) = X^3 – c_2 X^2 – c_1 X – c_0\).
2. Soit \(\lambda\) une valeur propre réelle de \(C\). Montrer que \(E_\lambda(C)\) est la droite engendrée par \((1, \lambda, \lambda^2)\).
3. En déduire que \(C\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) si et seulement si \(\chi_C\) possède trois racines réelles distinctes.

Partie B : application. On considère la suite définie par \(u_0 = 3\), \(u_1 = 2\), \(u_2 = 6\) et \(u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} – 2u_n\).

1. Écrire \(X_{n+1} = CX_n\) avec \(X_n = (u_n, u_{n+1}, u_{n+2})^{T}\) et préciser \(c_0, c_1, c_2\).
2. Factoriser \(\chi_C\) et diagonaliser \(C\).
3. En déduire que \(u_n = 1 + (-1)^n + 2^n\) pour tout \(n\). Vérifier pour \(n = 3\).
4. La matrice compagnon de la récurrence \(v_{n+3} = 3v_{n+2} – 3v_{n+1} + v_n\) est-elle diagonalisable ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : diagonalisation, cours de maths en L2
• Chapitre précédent : Intégrales généralisées
• Chapitre suivant : Polynômes d'endomorphismes et trigonalisation
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3