Séries de Fourier : QCM de maths en L2 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des séries de Fourier en L2 : coefficients exponentiels et trigonométriques, orthogonalité, inégalité de Bessel, théorème de Dirichlet, convergence normale, formule de Parseval et calcul de sommes numériques. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Séries de Fourier du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Séries de Fourier - QCM de maths en L2

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Pour \(f\) continue par morceaux et \(2\pi\)-périodique, comment est défini le coefficient \(c_n(f)\) ?

A \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\,e^{int}\,dt\)

B \(\int_0^{2\pi} f(t)\,e^{-int}\,dt\)

C \(\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\,e^{-int}\,dt\)

D \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\,e^{-int}\,dt\)

Question 2

Si \(f\) est impaire, \(2\pi\)-périodique et continue par morceaux, que peut-on dire de ses coefficients trigonométriques ?

A \(a_n(f) = b_n(f)\) pour tout \(n\)

B \(b_n(f) = 0\) pour tout \(n\)

C \(a_n(f) = 0\) seulement pour \(n\) pair

D \(a_n(f) = 0\) pour tout \(n\)

Question 3

Soit \(f\) \(2\pi\)-périodique avec \(f(x) = x\) sur \(]-\pi, \pi[\). Que vaut \(b_n(f)\) pour \(n \geqslant 1\) ?

A \(\frac{2(-1)^{n+1}}{n^2}\)

B \(\frac{(-1)^{n}}{n}\)

C \(\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\)

D \(\frac{2}{n}\)

Question 4

Pour cette même fonction (\(f(x) = x\) sur \(]-\pi, \pi[\), \(2\pi\)-périodique), vers quoi converge sa série de Fourier au point \(x = \pi\) ?

A Elle diverge en ce point.

B \(\pi\)

C \(-\pi\)

D \(0\)

Question 5

En appliquant Parseval à \(f(x) = x\) sur \(]-\pi, \pi[\) (dont \(b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\)), quelle somme obtient-on ?

A \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{3}\)

B \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)

C \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \frac{\pi}{4}\)

D \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{8}\)

Question 6

Quelle est la formule de Parseval pour \(f\) continue par morceaux et \(2\pi\)-périodique ?

A \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)| = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(t)|\,dt\)

B \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)|^2 = \int_0^{2\pi} |f(t)|^2\,dt\)

C \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(t)|^2\,dt\)

D \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)|^2 \leqslant \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(t)|^2\,dt\), avec inégalité stricte en général

Question 7

Quelle conséquence de l’inégalité de Bessel est correcte pour \(f\) continue par morceaux et \(2\pi\)-périodique ?

A \(c_n(f) \to 0\) quand \(|n| \to +\infty\).

B \(\sum |c_n(f)|\) converge toujours.

C La série de Fourier de \(f\) converge vers \(f\) en tout point.

D La série de Fourier de \(f\) converge normalement.

Question 8

Pourquoi la série de Fourier de \(f(x) = x\) sur \(]-\pi, \pi[\) (prolongée par périodicité) ne converge-t-elle pas uniformément sur \(\mathbb{R}\) ?

A Parce que ses coefficients ne tendent pas vers \(0\).

B Sa somme est discontinue alors que les sommes partielles sont continues.

C Parce que \(f\) n’est pas de classe \(C^1\) par morceaux.

D Parce que la série diverge en \(x = \pi\).

Question 9

La série de Fourier de \(g(x) = |x|\) sur \([-\pi, \pi]\) est \(\frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k \geqslant 0} \frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}\). Quelle somme obtient-on en \(x = 0\) ?

A \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}\)

B \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{6}\)

C \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi}{8}\)

D \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{4}\)

Question 10

Que vaut \(\int_0^{2\pi} \cos^2(3t)\,dt\) ?

A \(\frac{\pi}{3}\)

B \(\pi\)

C \(2\pi\)

D \(0\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de séries de Fourier en L2

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les coefficients de Fourier \(c_n(f)\), \(a_n(f)\), \(b_n(f)\) et l’usage de la parité ;
l’orthogonalité des exponentielles \(e_n : t \mapsto e^{int}\) et l’interprétation comme projection ;
l’inégalité de Bessel et la formule de Parseval ;
le théorème de Dirichlet et la valeur aux points de discontinuité ;
la convergence normale pour une fonction continue et \(C^1\) par morceaux ;
le calcul de sommes comme \(\sum \frac{1}{n^2}\) ou \(\sum \frac{1}{(2k+1)^2}\).

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire que la série de Fourier converge vers \(f(x)\) en un point de discontinuité. Le théorème de Dirichlet donne la demi-somme \(\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}\) des limites à droite et à gauche.

Comment réviser avant de refaire le test

Avant tout calcul de coefficients, tracez \(f\) sur deux périodes pour voir sa parité et ses discontinuités : une fonction impaire n’a que des \(b_n\), une fonction paire que des \(a_n\), et les sauts vous disent où Dirichlet donne une demi-somme. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Séries de Fourier, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L2

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Espaces euclidiens, Isométries et théorème spectral, Formes quadratiques, Intégrales multiples. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L2 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Quelle convention choisir pour \(a_0\) ?

Avec \(a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt\) pour tout \(n\), le terme constant de la série est \(\frac{a_0}{2}\), qui est la valeur moyenne de \(f\). Certains cours posent \(a_0\) égal à cette moyenne : vérifiez toujours la convention utilisée.

Parseval ou Dirichlet : lequel utiliser pour calculer une somme ?

Dirichlet évalue la série en un point et fait apparaître des sommes de coefficients ; Parseval somme les carrés des coefficients. Pour \(f(x) = x\), Parseval donne \(\sum \frac{1}{n^2}\), alors que Dirichlet en \(\frac{\pi}{2}\) donne la série de Leibniz.