Ce QCM vérifie la maîtrise des séries entières en L2 : lemme d’Abel, rayon de convergence, régularité de la somme, développements usuels, fonctions développables en série entière et équations différentielles. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Séries entières du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Séries entières - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quel est le rayon de convergence de \(\sum_{n \geqslant 0} 2^n z^{2n}\) ?
A\(\frac{1}{\sqrt 2}\)
B\(\sqrt 2\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(2\)
Question 2
Que dit le lemme d’Abel pour une série entière \(\sum a_n z^n\) ?
ASi \((a_n z_0^n)\) est bornée, alors \(\sum a_n z^n\) converge absolument pour tout \(|z| \leqslant |z_0|\).
BSi \((a_n z_0^n)\) tend vers \(0\), alors \(\sum a_n z_0^n\) converge.
CSi \(\sum a_n z_0^n\) converge, alors elle converge absolument en \(z_0\).
DSi \((a_n z_0^n)\) est bornée, alors \(\sum a_n z^n\) converge absolument pour tout \(|z| < |z_0|\).
Question 3
Pour \(|x| < 1\), que vaut \(\sum_{n \geqslant 1} n x^n\) ?
A\(\frac{x}{(1 - x)^2}\)
B\(-\ln(1 - x)\)
C\(\frac{1}{(1 - x)^2}\)
D\(\frac{x}{1 - x}\)
Question 4
Quel est le développement en série entière de \(\ln(1 + x)\), et son rayon ?
A\(\sum_{n \geqslant 1} \frac{x^n}{n}\), de rayon \(1\)
B\(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\), de rayon \(1\)
C\(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} x^n\), de rayon \(+\infty\)
D\(\sum_{n \geqslant 0} (-1)^n x^n\), de rayon \(1\)
Question 5
Que vaut \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n\,2^n}\) ?
A\(1\)
B\(\ln \frac{3}{2}\)
C\(\frac{1}{2}\ln 2\)
D\(\ln 2\)
Question 6
Soit \(\sum a_n z^n\) de rayon \(R \in ]0, +\infty[\). Que peut-on dire en général de la convergence en un point \(z\) tel que \(|z| = R\) ?
ARien de général : selon la série et le point, elle peut converger ou diverger.
BElle converge toujours absolument, par le lemme d’Abel.
CElle diverge toujours, en tout point du cercle.
DElle converge toujours, mais pas absolument.
Question 7
Quel est le rayon de convergence de la série dérivée \(\sum n a_n z^{n-1}\) par rapport à celui \(R\) de \(\sum a_n z^n\) ?
AIl est inférieur ou égal à \(R\), parfois strictement.
BIl est supérieur ou égal à \(R\), parfois strictement.
CIl vaut \(R - 1\).
DIl est égal à \(R\).
Question 8
On cherche une série entière \(y = \sum a_n x^n\) solution de \(y' = 2xy\) avec \(y(0) = 1\). Laquelle obtient-on ?
A\(\sum_{n \geqslant 0} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\)
B\(\sum_{n \geqslant 0} \frac{x^{2n}}{n!}\)
C\(\sum_{n \geqslant 0} \frac{2^n x^n}{n!}\)
D\(\sum_{n \geqslant 0} \frac{(2x)^{2n}}{n!}\)
Question 9
Une fonction de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) est-elle toujours développable en série entière au voisinage de \(0\) ?
AOui, sa série de Taylor converge toujours vers elle.
BOui, dès que sa série de Taylor a un rayon de convergence non nul.
CNon : la fonction \(e^{-1/x^2}\) prolongée par \(0\) en est un contre-exemple.
DNon, car sa série de Taylor a toujours un rayon de convergence nul.
Question 10
Quel est le développement en série entière de \(\arctan x\) sur \(]-1, 1[\) ?
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le lemme d’Abel et la définition du rayon de convergence ;
le calcul du rayon par la règle de d’Alembert et par comparaison ;
la convergence normale sur tout compact du disque ouvert et la régularité de la somme ;
la dérivation et l’intégration terme à terme, qui conservent le rayon ;
les développements usuels et la série de Taylor ;
la résolution d’équations différentielles par séries entières.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : appliquer d’Alembert au rapport \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\) quand la série est lacunaire, par exemple \(\sum 2^n z^{2n}\) où les coefficients impairs sont nuls. On applique alors d’Alembert au terme général \(2^n |z|^{2n}\) lui-même.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour calculer une somme, ramenez-vous à une série connue en dérivant ou en intégrant terme à terme (\(\sum x^n\), \(\sum \frac{x^n}{n}\), exponentielle), en précisant à chaque fois l’intervalle ouvert de convergence. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
On ne peut rien dire en général : \(\sum z^n\) diverge en tout point du cercle unité, \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) converge partout, et \(\sum \frac{z^n}{n}\) diverge en \(1\) mais converge en \(-1\). Chaque cas s’étudie à part.
Une fonction de classe \(C^{\infty}\) est-elle toujours développable en série entière ?
Non : la fonction égale à \(e^{-1/x^2}\) pour \(x \neq 0\) et à \(0\) en \(0\) a toutes ses dérivées nulles en \(0\) ; sa série de Taylor est nulle, mais la fonction ne l’est pas au voisinage de \(0\).
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