Ce QCM vérifie la maîtrise des équations différentielles linéaires en Maths Spé MP : théorème de Cauchy linéaire, structure de l’ensemble des solutions, wronskien, solutions développables en série entière, raccordements et variation des constantes. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Équations différentielles linéaires du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Équations différentielles linéaires - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(X' = A(t)X + B(t)\) avec \(A\) et \(B\) continues sur l’intervalle \(I\). Pour \(t_0 \in I\) et \(X_0 \in \mathbb{K}^n\), que garantit le théorème de Cauchy linéaire ?
AUne unique solution définie sur \(I\) tout entier et vérifiant \(X(t_0) = X_0\)
BUne unique solution définie seulement au voisinage de \(t_0\)
CAu moins une solution vérifiant \(X(t_0) = X_0\), sans unicité
DUne unique solution sur \(I\), à condition que \(A\) soit constante
Question 2
Soient \(y_1, y_2\) deux solutions de \(y'' + a(t)y' + b(t)y = 0\) (\(a\), \(b\) continues sur \(I\)). À quelle condition forment-elles une base de l’espace des solutions ?
A\(y_1(t_0) \neq 0\) et \(y_2(t_0) \neq 0\) en un point \(t_0\) de \(I\)
BLeur wronskien est non nul en un point \(t_0\) de \(I\)
C\(y_1\) et \(y_2\) ne s’annulent en aucun point de \(I\)
DLeur wronskien est constant et non nul sur \(I\)
Question 3
Que vaut le wronskien \(W(t)\) des solutions \(y_1 = e^t\) et \(y_2 = e^{2t}\) de \(y'' - 3y' + 2y = 0\) ?
A\(e^{2t}\)
B\(3e^{3t}\)
C\(e^{3t}\)
D\(-e^{3t}\)
Question 4
Sachant que \(t \mapsto t\) est solution sur \(]0,+\infty[\) de \(t^2 y'' - 2t y' + 2y = 0\), laquelle de ces fonctions est une autre solution, non proportionnelle ?
A\(t \mapsto t \ln t\)
B\(t \mapsto t^2\)
C\(t \mapsto e^t\)
D\(t \mapsto \frac{1}{t}\)
Question 5
Quelle est la solution développable en série entière de \(x y'' + 2y' + x y = 0\) vérifiant \(y(0) = 1\) ?
A\(x \mapsto \cos x\)
B\(x \mapsto \frac{\operatorname{sh} x}{x}\), prolongée par \(1\) en \(0\)
C\(x \mapsto \frac{\sin x}{x}\), prolongée par \(1\) en \(0\)
D\(x \mapsto e^{-x^2/6}\)
Question 6
Quelle est la dimension de l’espace des solutions de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) de \(x y' - 2y = 0\) ?
AInfinie
B\(0\)
C\(1\)
D\(2\)
Question 7
Quelles sont les solutions de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) de \(x y' + y = 0\) ?
Pour \(y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)\) de base \((y_1,y_2)\), on cherche \(y = \lambda y_1 + \mu y_2\) par variation des constantes. Quel système vérifient \(\lambda'\) et \(\mu'\) ?
Laquelle de ces fonctions est une solution particulière de \(y'' + y = \frac{1}{\cos t}\) sur \(\left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[\) ?
A\(t \mapsto t\cos t + \sin t\,\ln(\cos t)\)
B\(t \mapsto t\sin t - \cos t\,\ln(\cos t)\)
C\(t \mapsto -t\sin t + \cos t\,\ln(\cos t)\)
D\(t \mapsto t\sin t + \cos t\,\ln(\cos t)\)
Question 10
Soient \(a\), \(b\), \(c\) continues sur \(I\), avec \(c\) non identiquement nulle. Quelle est la structure de l’ensemble des solutions sur \(I\) de \(y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)\) ?
AUn sous-espace vectoriel de dimension \(3\)
BUn sous-espace affine de dimension \(2\)
CUn sous-espace affine de dimension \(3\)
DUn sous-espace vectoriel de dimension \(2\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de équations différentielles linéaires en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le théorème de Cauchy linéaire et l’existence de solutions sur tout l’intervalle ;
la structure de l’ensemble des solutions : espace vectoriel de dimension \(n\), sous-espace affine ;
le wronskien pour reconnaître une base de solutions ;
la recherche de solutions développables en série entière ;
les raccordements pour une équation non normalisée et la variation des constantes à l’ordre \(2\).
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : appliquer le théorème de Cauchy à une équation non normalisée comme \(x y’ + y = 0\) sur \(\mathbb{R}\). La dimension de l’espace des solutions peut alors être \(0\), \(1\) ou \(2\) : seule l’étude des raccordements en \(0\) tranche.
Comment réviser avant de refaire le test
Quand une solution \(y_1\) est connue, cherchez les autres sous la forme \(y = z\,y_1\) : l’équation en \(z’\) est d’ordre \(1\). Pensez aussi à tester les solutions polynomiales ou exponentielles simples avant tout calcul lourd. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi le wronskien d’une base de solutions ne s’annule-t-il jamais ?
L’application \(y \mapsto (y(t_0), y'(t_0))\) est un isomorphisme de l’espace des solutions sur \(\mathbb{K}^2\) (théorème de Cauchy). Une base de solutions a donc un wronskien non nul en chaque point \(t_0\).
Comment trouver une solution développable en série entière ?
On injecte \(y = \sum a_n x^n\) dans l’équation, on identifie les coefficients pour obtenir une relation de récurrence, puis on vérifie que le rayon de convergence est non nul.
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