Éléments propres : QCM de maths spé corrigé

Sommaire

Ce QCM de maths spé vérifie les outils de base de la réduction : sous-espaces stables, matrices par blocs, éléments propres et polynôme caractéristique. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Éléments propres et polynôme caractéristique du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Éléments propres - QCM de maths spé

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Soit \(u\) un endomorphisme d’un espace \(E\) de dimension quelconque et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Le scalaire \(\lambda\) est valeur propre de \(u\) si et seulement si :

A il existe \(x \in E\) tel que \(u(x) = \lambda x\)

B \(u - \lambda\,\mathrm{Id}\) n’est pas surjectif

C \(\operatorname{Im}(u - \lambda\,\mathrm{Id}) \neq \{0\}\)

D \(\ker(u - \lambda\,\mathrm{Id}) \neq \{0\}\)

Question 2

Quel est le polynôme caractéristique \(\chi_A = \det(X I_2 - A)\) de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) ?

A \(X^2 - 5X + 2\)

B \(X^2 - 4X - 2\)

C \(X^2 + 5X - 2\)

D \(X^2 - 5X - 2\)

Question 3

Quel est le spectre réel de la matrice \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ?

A \(\emptyset\)

B \(\{1, -1\}\)

C \(\{i, -i\}\)

D \(\{0\}\)

Question 4

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et \(\chi_A = \det(X I_n - A)\), le coefficient de \(X^{n-1}\) et le coefficient constant de \(\chi_A\) sont :

A \(\mathrm{tr}(A)\) et \(\det A\)

B \(-\mathrm{tr}(A)\) et \(\det A\)

C \(-\mathrm{tr}(A)\) et \((-1)^n \det A\)

D \(\mathrm{tr}(A)\) et \((-1)^n \det A\)

Question 5

Soit \(\lambda\) une valeur propre de multiplicité \(m\) d’un endomorphisme \(u\) en dimension finie. On a toujours :

A \(\dim E_\lambda(u) \geqslant m\)

B \(\dim E_\lambda(u) = m\)

C \(0 \leqslant \dim E_\lambda(u) \leqslant m - 1\)

D \(1 \leqslant \dim E_\lambda(u) \leqslant m\)

Question 6

Que vaut le déterminant de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) ?

A \(2\)

B \(-4\)

C \(-2\)

D \(0\)

Question 7

Soit \(x_1, \dots, x_p\) des vecteurs propres de \(u\). Quelle condition garantit que la famille \((x_1, \dots, x_p)\) est libre ?

A le nombre \(p\) est inférieur à la dimension de \(E\)

B les vecteurs sont deux à deux non colinéaires

C les valeurs propres associées sont deux à deux distinctes

D les valeurs propres associées sont toutes non nulles

Question 8

Soit \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de \(E\) tels que \(u \circ v = v \circ u\). Lequel des sous-espaces suivants est toujours stable par \(v\) ?

A tout sous-espace propre de \(u\)

B toute droite de \(E\)

C tout sous-espace stable par \(u\)

D tout supplémentaire de \(\ker u\)

Question 9

Quel est le sous-espace propre de \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) associé à la valeur propre \(3\) ?

A \(\mathbb{R}^2\)

B \(\mathrm{Vect}\big((1, 1)\big)\)

C \(\mathrm{Vect}\big((1, 2)\big)\)

D \(\mathrm{Vect}\big((1, -1)\big)\)

Question 10

Soit \(F\) un sous-espace stable par \(u\) et \(u_F\) l’endomorphisme induit sur \(F\). Laquelle des affirmations est vraie ?

A \(\mathrm{Sp}(u) \subset \mathrm{Sp}(u_F)\)

B \(\chi_{u_F}\) divise \(\chi_u\)

C \(\chi_{u_F} = \chi_u\)

D \(\chi_u\) divise \(\chi_{u_F}\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de éléments propres en maths spé

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la définition d’une valeur propre par \(\ker(u – \lambda\,\mathrm{Id}) \neq \{0\}\) ;
le polynôme caractéristique, sa trace et son déterminant ;
le déterminant d’une matrice triangulaire par blocs ;
la liberté des familles de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes ;
la stabilité des sous-espaces propres par un endomorphisme qui commute.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : dire que \(\lambda\) est valeur propre dès qu’il existe \(x\) avec \(u(x) = \lambda x\). Il faut \(x \neq 0\), sinon tout scalaire conviendrait.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour une matrice \(2 \times 2\), écrivez directement \(\chi_A = X^2 – \mathrm{tr}(A)\,X + \det A\) et contrôlez vos valeurs propres par leur somme et leur produit. Pour un sous-espace stable, complétez une base de ce sous-espace : la matrice devient triangulaire par blocs. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths spé

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Groupes, Anneaux, idéaux et Z/nZ, Diagonalisation et trigonalisation, Polynômes d’endomorphismes. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths spé rassemble les 26 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

La dimension d’un sous-espace propre peut-elle dépasser la multiplicité de la valeur propre ?

Non : on a toujours \(1 \leq\, \dim E_\lambda(u) \leq\, m_\lambda\). On le prouve en complétant une base de \(E_\lambda\) : \((X – \lambda)^{\dim E_\lambda}\) divise alors \(\chi_u\).

Pourquoi le spectre dépend-il du corps de base ?

Une matrice réelle peut n’avoir aucune valeur propre réelle alors que son polynôme caractéristique a des racines complexes, comme la matrice de rotation d’angle \(\frac{\pi}{2}\).