Ce QCM de maths sup porte sur le groupe symétrique et les déterminants : cycles et signature, propriétés du déterminant, opérations élémentaires, Vandermonde, comatrice et interprétation en aire ou volume. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Groupe symétrique et déterminants du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Groupe symétrique et déterminants - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(\sigma \in S_5\) définie par \(\sigma(1) = 3\), \(\sigma(2) = 4\), \(\sigma(3) = 5\), \(\sigma(4) = 2\), \(\sigma(5) = 1\). Quelle est sa décomposition en cycles disjoints et sa signature ?
Pour \(A \in M_n(\mathbb{K})\), que vaut \(\det(2A)\) ?
A\(2 \det A\)
B\(2^n \det A\)
C\(2n \det A\)
D\(n^2 \det A\)
Question 4
Pour \(A, B \in M_n(\mathbb{K})\) avec \(n \geqslant 2\), laquelle des égalités est toujours vraie ?
A\(\det(A^{\top}) = -\det A\)
B\(\det(AB) = \det(BA)\)
C\(\det(-A) = -\det A\)
D\(\det(A + B) = \det A + \det B\)
Question 5
Soit \(D_n\) le déterminant de la matrice \(n \times n\) tridiagonale avec des \(2\) sur la diagonale et des \(-1\) juste au-dessus et au-dessous. On a \(D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}\), \(D_1 = 2\), \(D_2 = 3\). Que vaut \(D_n\) ?
A\(n + 1\)
B\(2^n\)
C\(2n - 1\)
D\(n\)
Question 6
Pour \(A \in M_n(\mathbb{K})\), laquelle des relations est vraie ?
A\(A\,\operatorname{Com}(A) = \det(A)\,I_n\)
B\(A\,\operatorname{Com}(A)^{\top} = I_n\)
C\(A^{-1} = \det(A)\,\operatorname{Com}(A)^{\top}\) si \(A\) est inversible
Quel est l’effet de l’opération \(L_1 \leftarrow 2L_1 + L_2\) sur le déterminant d’une matrice carrée ?
Ail est multiplié par \(3\)
Bil est inchangé
Cil est multiplié par \(2\)
Dil change de signe
Question 8
Quelle est l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs \(u = (3, 1)\) et \(v = (1, 2)\) ?
A\(5\)
B\(6\)
C\(7\)
D\(\frac{5}{2}\)
Question 9
Pour quelles valeurs du réel \(a\) la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}\) n’est-elle pas inversible ?
A\(a = 1\) ou \(a = -2\)
B\(a = 1\) seulement
C\(a = -1\) ou \(a = \frac{1}{2}\)
D\(a = 1\) ou \(a = -\frac{1}{2}\)
Question 10
Soit \(s\) la symétrie de \(\mathbb{R}^3\) par rapport à une droite \(D\) parallèlement à un plan \(P\) supplémentaire. Que vaut \(\det s\) ?
A\(-1\)
B\(0\)
C\(1\)
D\(2\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de groupe symétrique et déterminants en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la décomposition d’une permutation en cycles à supports disjoints et le calcul de la signature ;
les propriétés \(\det(AB) = \det A \det B\), \(\det(A^{\top}) = \det A\) et \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det A\) ;
l’effet des opérations élémentaires sur un déterminant ;
le déterminant de Vandermonde et les déterminants tridiagonaux par récurrence ;
la comatrice et l’expression de l’inverse.
L’erreur la plus fréquente
Le déterminant est multiplicatif, pas additif : en effet, \(\det(A + B) \neq \det A + \det B\) en général. De plus, \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det A\), et non \(\lambda \det A\).
Comment réviser avant de refaire le test
Avant de développer, faites d’abord apparaître des zéros par des opérations \(L_i arrow L_i + \lambda L_j\), qui ne changent pas le déterminant. Ensuite, développez seulement selon une ligne presque vide. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Comment calculer vite la signature d’une permutation ?
On la décompose en cycles à supports disjoints : un cycle de longueur \(k\) a pour signature \((-1)^{k-1}\), et la signature du produit est le produit des signatures.
Que représente géométriquement un déterminant ?
Dans \(\mathbb{R}^2\) (resp. \(\mathbb{R}^3\)), \(\det(u, v)\) est l’aire orientée du parallélogramme construit sur \(u, v\) (resp. le volume orienté du parallélépipède).
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