Matrices et changement de base : cours de maths en L1 en PDF.

Soit \(\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_p)\) une base de \(E\) et \(\mathcal{C}=(f_1,\ldots,f_n)\) une base de \(F\). Soit \(u\in\mathcal{L}(E,F)\). Pour tout \(j\), on écrit \(u(e_j)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}f_i\). La matrice \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) est la matrice de \(u\) dans les bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\). Sa colonne numéro \(j\) contient les coordonnées de \(u(e_j)\) dans \(\mathcal{C}\).

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) défini par \(u(x,y)=(x-y,\,x+2y)\). Dans la base canonique \((e_1,e_2)\), on a \(u(e_1)=(1, 1)\) et \(u(e_2)=(-1, 2)\). Par conséquent :

\[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)=\begin{pmatrix}1 -1\\ 1 2\end{pmatrix}.\]

Comme le montre la figure ci-dessous, les colonnes décrivent l’image du carré unité : c’est le parallélogramme construit sur \(u(e_1)\) et \(u(e_2)\).

Soit \(T:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}^2\), \(P\mapsto (P(0),P(1))\). Dans les bases canoniques \((1,X,X^2)\) et \((e_1,e_2)\), on calcule \(T(1)=(1, 1)\), \(T(X)=(0, 1)\) et \(T(X^2)=(0, 1)\). D’où une matrice à 2 lignes et 3 colonnes :

\[\mathrm{Mat}(T)=\begin{pmatrix}1 0 0\\ 1 1 1\end{pmatrix}.\]

Soit \(x\in E\) de colonne de coordonnées \(X\) dans \(\mathcal{B}\), et \(Y\) la colonne des coordonnées de \(u(x)\) dans \(\mathcal{C}\). Si \(A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\), alors \(Y=AX\).

Écrivons \(x=\sum_{j}x_je_j\). Par linéarité, on obtient :

\[u(x)=\sum_{j=1}^{p}x_j\,u(e_j)=\sum_{j=1}^{p}x_j\sum_{i=1}^{n}a_{ij}f_i=\sum_{i=1}^{n}\Big(\sum_{j=1}^{p}a_{ij}x_j\Big)f_i.\]

La coordonnée numéro \(i\) de \(u(x)\) vaut donc \(\sum_j a_{ij}x_j\). C’est exactement le coefficient \(i\) de \(AX\).

Pour écrire la matrice de \(u\) dans les bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) : d’abord, calculez l’image de chaque vecteur de \(\mathcal{B}\) ; ensuite, décomposez-la dans \(\mathcal{C}\) ; enfin, rangez les coordonnées en colonne, dans l’ordre de \(\mathcal{B}\). Ne mettez jamais les images en ligne.

La matrice dépend des bases choisies. Changer l’ordre des vecteurs de \(\mathcal{B}\) permute les colonnes. De même, changer l’ordre des vecteurs de \(\mathcal{C}\) permute les lignes.

Les bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) étant fixées, l’application \(\Phi:\mathcal{L}(E,F)\to\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\), \(u\mapsto \mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, \(\dim\mathcal{L}(E,F)=np\).

D’abord, \(\Phi\) est linéaire. En effet, les coordonnées de \((\lambda u+v)(e_j)=\lambda u(e_j)+v(e_j)\) sont les combinaisons correspondantes des coordonnées. Ensuite, \(\Phi\) est bijective. Soit \(A=(a_{ij})\) une matrice. D’après le théorème de construction par l’image d’une base, il existe une unique \(u\) telle que \(u(e_j)=\sum_i a_{ij}f_i\) pour tout \(j\). Autrement dit, \(A\) a un unique antécédent. Enfin, \(\dim\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})=np\), d’où la dimension de \(\mathcal{L}(E,F)\).

Soit \(G\) un troisième espace, de base \(\mathcal{D}\). Pour \(u\in\mathcal{L}(E,F)\) et \(v\in\mathcal{L}(F,G)\), on a :

\[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{D}}(v\circ u)=\mathrm{Mat}_{\mathcal{C},\mathcal{D}}(v)\times \mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u).\]

Notons \(A\) la matrice de \(u\) et \(B\) celle de \(v\). Soit \(x\in E\) de colonne \(X\). D’après la proposition précédente, \(u(x)\) a pour colonne \(AX\). Ensuite, \(v(u(x))\) a pour colonne \(B(AX)=(BA)X\). Appliquons ceci à \(x=e_j\), dont la colonne est le vecteur élémentaire \(E_j\). La colonne \(j\) de la matrice de \(v\circ u\) vaut donc \((BA)E_j\), qui est la colonne \(j\) de \(BA\).

La rotation \(r_\theta\) du plan a pour matrice \(R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta -\sin\theta\\ \sin\theta \cos\theta\end{pmatrix}\) dans la base canonique. Comme \(r_\theta\circ r_\varphi=r_{\theta+\varphi}\), on obtient \(R_\theta R_\varphi=R_{\theta+\varphi}\). En développant le produit, on retrouve les formules d’addition du cosinus et du sinus.

On suppose \(\dim E=\dim F=n\). Alors \(u\in\mathcal{L}(E,F)\) est un isomorphisme si et seulement si \(A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\) est inversible. Dans ce cas, \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(u^{-1})=A^{-1}\).

Supposons que \(u\) est bijective, et notons \(B\) la matrice de \(u^{-1}\). Par le théorème de composition, \(BA=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u^{-1}\circ u)=I_n\). De même, \(AB=I_n\). Donc \(A\) est inversible, d’inverse \(B\). Réciproquement, supposons \(A\) inversible. Soit \(v\) l’application de matrice \(A^{-1}\) dans les bases \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{B}\). Alors \(v\circ u\) a pour matrice \(A^{-1}A=I_n\), donc \(v\circ u=\mathrm{id}_E\). De même, \(u\circ v=\mathrm{id}_F\). Ainsi \(u\) est bijective.

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Les assertions suivantes sont équivalentes : \(A\) est inversible ; les colonnes de \(A\) forment une base de \(\mathbb{K}^n\) ; il existe \(B\) telle que \(AB=I_n\) ; il existe \(B\) telle que \(BA=I_n\).

Soit \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}^{\prime}\) deux bases de \(E\). La matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\), notée \(P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}\), est la matrice dont la colonne \(j\) contient les coordonnées du vecteur \(e^{\prime}_j\) dans \(\mathcal{B}\). Autrement dit, \(P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime},\mathcal{B}}(\mathrm{id}_E)\).

Retenez l’ordre : on exprime les nouveaux vecteurs dans l’ancienne base. Par ailleurs, la matrice de passage est toujours inversible, car elle représente l’identité. Plus précisément, \(\big(P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}\big)^{-1}=P_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}}\).

Soit \(x\in E\), de colonne \(X\) dans \(\mathcal{B}\) et \(X^{\prime}\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\). Si \(P=P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}\), alors \(X=PX^{\prime}\), donc \(X^{\prime}=P^{-1}X\).

On applique la proposition \(Y=AX\) à \(\mathrm{id}_E\), avec la base \(\mathcal{B}^{\prime}\) au départ et \(\mathcal{B}\) à l’arrivée. L’image de \(x\) est \(x\) lui-même. Sa colonne dans \(\mathcal{B}\) vaut donc \(PX^{\prime}\).

Dans \(\mathbb{R}^2\), prenons \(u_1=(1, 0)\) et \(u_2=(1,-1)\). La matrice de passage de la base canonique à \(\mathcal{B}^{\prime}=(u_1,u_2)\) est \(P=\begin{pmatrix}1 1\\ 0 -1\end{pmatrix}\). On vérifie que \(P^2=I_2\), donc \(P^{-1}=P\). Pour \(v=(3,-1)\), on trouve \(X^{\prime}=PX=(2, 1)\). Autrement dit, \(v=2u_1+u_2\), comme le montre la figure ci-dessous.

Soit \(u\in\mathcal{L}(E,F)\). On note \(A\) sa matrice dans \((\mathcal{B},\mathcal{C})\) et \(A^{\prime}\) sa matrice dans \((\mathcal{B}^{\prime},\mathcal{C}^{\prime})\). Soit \(P=P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}\) et \(Q=P_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}^{\prime}}\). Alors :

\[A^{\prime}=Q^{-1}AP.\]

En particulier, pour un endomorphisme \(u\) de \(E\), avec \(A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)\) et \(A^{\prime}=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime}}(u)\), on a \(A^{\prime}=P^{-1}AP\).

On écrit \(u=\mathrm{id}_F\circ u\circ\mathrm{id}_E\), en munissant chaque espace de la base adaptée. D’un côté, \(u\) de \((E,\mathcal{B}^{\prime})\) vers \((F,\mathcal{C})\) s’écrit \(u\circ\mathrm{id}_E\), de matrice \(AP\). De l’autre, il s’écrit \(\mathrm{id}_F\circ u\), de matrice \(QA^{\prime}\). Par conséquent \(AP=QA^{\prime}\), puis \(A^{\prime}=Q^{-1}AP\) car \(Q\) est inversible.

Pour appliquer la formule de changement de base à un endomorphisme : d’abord, écrivez \(P\) en plaçant en colonnes les nouveaux vecteurs exprimés dans l’ancienne base. Ensuite, calculez \(P^{-1}\), par exemple en résolvant \(PX^{\prime}=X\). Enfin, calculez \(P^{-1}AP\). Souvent, il est plus rapide de calculer directement \(u(e^{\prime}_j)\) et de le décomposer dans \(\mathcal{B}^{\prime}\) : cela donne la colonne \(j\) de \(A^{\prime}\) sans aucun inverse.

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(A=\begin{pmatrix}3 1\\ 0 2\end{pmatrix}\) dans la base canonique. Avec \(u_1=(1, 0)\) et \(u_2=(1,-1)\), on obtient \(u(u_1)=(3, 0)=3u_1\) et \(u(u_2)=(2,-2)=2u_2\). Donc la matrice de \(u\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\) est diagonale :

\[P^{-1}AP=\begin{pmatrix}3 0\\ 0 2\end{pmatrix}.\]

On en déduit, par exemple, \(A^k=P\,\mathrm{diag}(3^k,2^k)\,P^{-1}\) pour tout entier \(k\).

Deux matrices \(A,B\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) sont équivalentes s’il existe \(Q\in GL_n(\mathbb{K})\) et \(P\in GL_p(\mathbb{K})\) telles que \(B=Q^{-1}AP\). Deux matrices carrées \(A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) sont semblables s’il existe \(P\in GL_n(\mathbb{K})\) telle que \(B=P^{-1}AP\).

Le rang d’une matrice \(A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) est le rang de la famille de ses colonnes, vues comme vecteurs de \(\mathbb{K}^n\). On le note \(\mathrm{rg}(A)\).

Si \(A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\), alors \(\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(u)=\dim\mathrm{Im}\,u\). En outre, \(\mathrm{rg}(A)\leq\,\min(n,p)\), et \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est inversible si et seulement si \(\mathrm{rg}(A)=n\).

Une matrice \(A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) est de rang \(r\) si et seulement si elle est équivalente à la matrice \(J_r\), qui a des \(1\) aux places \((1, 1),\ldots,(r,r)\) et des \(0\) ailleurs. Par conséquent, deux matrices de même taille sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

Soit \(u\) l’application canoniquement associée à \(A\), de rang \(r\). Par le théorème du rang, \(\ker u\) est de dimension \(p-r\). Soit \(S\) un supplémentaire de \(\ker u\), de base \((e^{\prime}_1,\ldots,e^{\prime}_r)\). On complète par une base \((e^{\prime}_{r+1},\ldots,e^{\prime}_p)\) du noyau. Les vecteurs \(f^{\prime}_i=u(e^{\prime}_i)\), pour \(i\leq\, r\), forment une base de \(\mathrm{Im}\,u\) : en effet, \(u\) restreinte à \(S\) est injective. On les complète en une base de \(\mathbb{K}^n\). Dans ces nouvelles bases, la matrice de \(u\) est exactement \(J_r\). Réciproquement, \(Q^{-1}AP\) a le même rang que \(A\), car multiplier par une matrice inversible ne change pas le rang.

Pour toute matrice \(A\), on a \(\mathrm{rg}(A^{T})=\mathrm{rg}(A)\). Autrement dit, le rang des colonnes est égal au rang des lignes.

Soit \(r=\mathrm{rg}(A)\). On écrit \(A=QJ_rP^{-1}\), avec \(P\) et \(Q\) inversibles. En transposant, \(A^{T}=(P^{-1})^{T}J_r^{T}Q^{T}\). Or les matrices \((P^{-1})^{T}\) et \(Q^{T}\) sont inversibles, et \(J_r^{T}\) est la matrice \(J_r\) de taille \(p\times n\), de rang \(r\). Donc \(\mathrm{rg}(A^{T})=r\).

Pour calculer le rang d’une matrice, utilisez la méthode du pivot de Gauss. Les opérations élémentaires sur les lignes (échange, multiplication par un scalaire non nul, ajout d’un multiple d’une autre ligne) reviennent à multiplier à gauche par une matrice inversible. Elles conservent donc le rang. Grâce à la transposition, les opérations sur les colonnes le conservent aussi. On se ramène à une matrice échelonnée : son rang est le nombre de lignes non nulles.

Pour \(A=\begin{pmatrix}1 2 1\\ 2 5 3\\ 1 3 2\end{pmatrix}\), les opérations \(L_2arrow L_2-2L_1\) et \(L_3arrow L_3-L_1\) donnent les lignes \((0, 1, 1)\) et \((0, 1, 1)\). Ensuite, \(L_3arrow L_3-L_2\) annule la dernière ligne. Il reste deux lignes non nulles, donc \(\mathrm{rg}(A)=2\).

Deux matrices de même rang sont équivalentes, mais pas forcément semblables. Par exemple, \(\begin{pmatrix}1 0\\ 0 0\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}0 1\\ 0 0\end{pmatrix}\) sont de rang 1. Cependant, la première est un projecteur, alors que le carré de la seconde est nul. Elles ne peuvent donc pas représenter le même endomorphisme.

La trace d’une matrice carrée \(A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est la somme de ses coefficients diagonaux : \(\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\). L’application \(\mathrm{tr}\) est une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

Pour \(A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\), on a \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\).

Les deux produits sont carrés, de tailles \(n\) et \(p\). On calcule en échangeant l’ordre des sommes :

\[\mathrm{tr}(AB)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{ki}=\sum_{k=1}^{p}\sum_{i=1}^{n}b_{ki}a_{ik}=\mathrm{tr}(BA).\]

Deux matrices semblables ont la même trace. En effet, \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(APP^{-1})=\mathrm{tr}(A)\). Par conséquent, la trace de la matrice d’un endomorphisme \(u\) ne dépend pas de la base choisie : on l’appelle la trace de \(u\), notée \(\mathrm{tr}(u)\).

Il n’existe pas de matrices \(A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que \(AB-BA=I_n\). En effet, la trace du membre de gauche est nulle, alors que \(\mathrm{tr}(I_n)=n\neq0\).

La trace n’est pas multiplicative : en général, \(\mathrm{tr}(AB)\neq\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)\). De plus, on peut permuter circulairement les facteurs, \(\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(CAB)\), mais pas les échanger n’importe comment.

On suppose \(\dim F=r\). Dans une base adaptée à \(E=F\oplus G\), c’est-à-dire obtenue en concaténant une base de \(F\) et une base de \(G\), on a :

\[\mathrm{Mat}(p)=\begin{pmatrix}I_r 0\\ 0 0\end{pmatrix},\qquad \mathrm{Mat}(s)=\begin{pmatrix}I_r 0\\ 0 -I_{n-r}\end{pmatrix}.\]

En conséquence, \(\mathrm{tr}(p)=\mathrm{rg}(p)\) et \(\mathrm{tr}(s)=2r-n\).

Pour un vecteur \(x\) de \(F\), on a \(p(x)=x\) et \(s(x)=x\). Pour un vecteur \(x\) de \(G\), on a \(p(x)=0\) et \(s(x)=-x\). Les colonnes s’en déduisent immédiatement. Enfin, \(\mathrm{Im}\,p=F\), donc \(\mathrm{rg}(p)=r\), et la trace se lit sur la diagonale.

Pour reconnaître un projecteur à partir de sa matrice \(A\) dans une base quelconque : vérifiez que \(A^2=A\). Ensuite, l’image est \(\ker(A-I_n)\) et le noyau est \(\ker A\). Pour une symétrie, vérifiez que \(A^2=I_n\) ; elle se fait par rapport à \(\ker(A-I_n)\), parallèlement à \(\ker(A+I_n)\).

Soit \(A=\begin{pmatrix}1 0\\ 1 0\end{pmatrix}\), donc \(p(x,y)=(x,x)\). On vérifie que \(A^2=A\). Le noyau est la droite \(x=0\), et l’image est la droite \(D\) d’équation \(y=x\). Ainsi \(p\) est la projection sur \(D\) parallèlement à l’axe des ordonnées. La symétrie associée a pour matrice \(2A-I_2=\begin{pmatrix}1 0\\ 2 -1\end{pmatrix}\). La figure ci-dessous montre un point \(M\), son projeté et son symétrique.