Fonctions usuelles : exercices de maths en L1 corrigés

Sommaire

Ces exercices fonctions L1 couvrent tout le chapitre, des applications directes jusqu’au problème de synthèse. Vous y travaillerez les équations avec ln et exp, les limites par croissances comparées et les inégalités classiques. Ensuite, plusieurs exercices portent sur arcsin, arccos et arctan : valeurs, dérivées et simplifications d’expressions.

La suite traite les fonctions hyperboliques et leurs réciproques, les fonctions homographiques et les asymptotes obliques. Enfin, trois études complètes demandent de tracer la courbe, et un problème étudie une fonction qui relie trigonométrie et hyperboliques.

Cherchez chaque exercice sérieusement avant de lire le corrigé. Ainsi, vous repérerez les points qui vous bloquent vraiment, ce qui reste le meilleur moyen de progresser durablement.

Avant de commencer, relisez le cours de maths en L1 sur fonctions usuelles.

Exercice 1 : Équations et inéquations avec ln et exp

Résolvez dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes, en précisant d’abord le domaine de validité.

\(\ln(x) + \ln(x – 2) = \ln(3)\).
\(e^{2x} – 3e^{x} + 2 = 0\).
\(\ln(2x – 1) \leq\, \ln(x + 3)\).
\(2^{x} = 3^{x – 1}\).

Exercice 2 : Fonctions puissances et étude de x puissance x

Donnez le domaine de dérivabilité et la dérivée de \(x \mapsto x^{\sqrt{2}}\) et de \(x \mapsto 2^{x}\). La première fonction se prolonge-t-elle en 0 ? Ce prolongement est-il dérivable en 0 ?
On pose \(f(x) = x^{x}\) pour \(x > 0\). Calculez \(f^{\prime}(x)\) et dressez le tableau de variations de \(f\) sur \(]0, +\infty[\).
Déterminez la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\). Montrez que \(f\) se prolonge par continuité en 0.
Le prolongement est-il dérivable en 0 ? Interprétez graphiquement, puis tracez l’allure de la courbe.

Exercice 3 : Limites par croissances comparées

Déterminez les limites suivantes, en citant à chaque fois le résultat de croissances comparées utilisé.

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^3}{x}\).
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x(\ln x)^2\).
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^5 e^{-x}\).
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x} – x^3}{x^2 + \ln x}\).
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x e^{x}\).
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^{1/x}\).

Exercice 4 : Formes indéterminées plus délicates

On rappelle que \(\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1 + u)}{u} = 1\) (dérivée de \(\ln\) en 1). Déterminez :

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^{x}\).
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{\ln x}}{e^{x}}\).
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sqrt{x}}\).
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + e^{x})}{x}\).
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{\ln x}\).

Exercice 5 : Inégalités classiques

La figure ci-dessous suggère des comparaisons entre les fonctions usuelles et leurs tangentes en 0. Démontrez-les par une étude de fonction.

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(e^{x} \geq\, 1 + x\), avec égalité seulement en 0.
Pour tout \(x > -1\), \(\ln(1 + x) \leq\, x\).
Pour tout \(x \geq\, 0\), \(x – \dfrac{x^3}{3} \leq\, \arctan x \leq\, x\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\mathrm{ch}\,x \geq\, 1 + \dfrac{x^2}{2}\).

Exercice 6 : Équations trigonométriques

Montrez que \(\tan\) est dérivable sur \(]-\pi/2, \pi/2[\) avec \(\tan^{\prime} = 1 + \tan^2 = 1/\cos^2\).
Résolvez dans \([0, 2\pi[\) l’équation \(2\cos^2 x – 3\cos x + 1 = 0\).
Montrez que \(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})\). Déduisez-en le maximum de \(x \mapsto \sin x + \cos x\), puis résolvez \(\sin x + \cos x = 1\) dans \([0, 2\pi[\).
Résolvez dans \([0, 2\pi[\) l’équation \(\sin(2x) = \cos x\).

Exercice 7 : Valeurs remarquables des fonctions réciproques

Calculez \(\arcsin\frac{1}{2}\), \(\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})\) et \(\arctan(-\sqrt{3})\).
Calculez \(\arcsin(\sin\frac{5\pi}{6})\), \(\arccos(\cos(-\frac{\pi}{3}))\) et \(\arctan(\tan\frac{3\pi}{4})\).
Calculez \(\arcsin(\sin 3)\) et \(\arccos(\cos 4)\).
Pour \(x\) dans le domaine convenable, simplifiez \(\cos(\arctan x)\), \(\sin(\arccos x)\) et \(\tan(\arcsin x)\).

Exercice 8 : Construction de la fonction arcsinus

Montrez que la restriction de \(\sin\) à \([-\pi/2, \pi/2]\) est une bijection sur un intervalle que vous préciserez.
On note \(\arcsin\) sa réciproque. Montrez que \(\arcsin\) est continue, strictement croissante et impaire.
Montrez que, pour tout \(x \in [-1, 1]\), \(\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 – x^2}\).
Montrez que \(\arcsin\) est dérivable sur \(]-1, 1[\) et calculez sa dérivée. Est-elle dérivable en 1 ?
On admet de même que \(\arccos\) est dérivable sur \(]-1, 1[\), de dérivée \(-1/\sqrt{1 – x^2}\). Démontrez que \(\arcsin x + \arccos x = \pi/2\) pour tout \(x \in [-1, 1]\).

Exercice 9 : Dérivées de fonctions trigonométriques réciproques

Pour chaque fonction, précisez un intervalle où elle est dérivable et calculez sa dérivée sous forme simplifiée.

\(f_1(x) = \arctan(2x)\).
\(f_2(x) = \arcsin(x^2)\).
\(f_3(x) = \arccos(\frac{1}{x})\) pour \(x > 1\).
\(f_4(x) = \arctan(e^{x})\) ; exprimez le résultat avec \(\mathrm{ch}\).
\(f_5(x) = x\arcsin x + \sqrt{1 – x^2}\).

Exercice 10 : Relations entre arctangentes

Montrez que, pour tout \(x > 0\), \(\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\). Que vaut cette somme pour \(x < 0\) ?
On pose \(g(x) = \arctan(\frac{1 + x}{1 – x})\) pour \(x \neq 1\). Calculez \(g^{\prime}(x)\).
Déduisez-en une expression simple de \(g(x)\) sur \(]-\infty, 1[\), puis sur \(]1, +\infty[\).

Exercice 11 : Une équation avec arctangente

Démontrez que \(\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}\).
On considère l’équation \((E) : \arctan x + \arctan(2x) = \frac{\pi}{4}\). Montrez qu’elle admet une unique solution réelle, et que celle-ci est strictement positive.
Déterminez cette solution.

Exercice 12 : Simplification de arcsin(2x/(1+x²))

On pose \(f(x) = \arcsin(\frac{2x}{1 + x^2})\). La courbe de \(f\), tracée ci-dessous, suggère une formule différente selon la position de \(x\) par rapport à \(-1\) et 1.

Montrez que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et qu’elle est impaire.
Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(\theta = \arctan x\). Montrez que \(\frac{2x}{1 + x^2} = \sin(2\theta)\).
Déduisez-en l’expression de \(f(x)\) à l’aide de \(\arctan x\) sur chacun des intervalles \([-1, 1]\), \(]1, +\infty[\) et \(]-\infty, -1[\).
Étudiez la dérivabilité de \(f\) en 1. Déterminez les limites de \(f\) en \(\pm\infty\).

Exercice 13 : Formulaire des fonctions hyperboliques

Démontrez que \(\mathrm{ch}^2 x – \mathrm{sh}^2 x = 1\) pour tout réel \(x\).
Démontrez que \(\mathrm{ch}(a + b) = \mathrm{ch}\,a\,\mathrm{ch}\,b + \mathrm{sh}\,a\,\mathrm{sh}\,b\), puis que \(\mathrm{sh}(2a) = 2\,\mathrm{sh}\,a\,\mathrm{ch}\,a\).
Calculez les dérivées de \(\mathrm{ch}\), \(\mathrm{sh}\) et \(\mathrm{th}\). Vérifiez que \(\mathrm{th}^{\prime} = 1 – \mathrm{th}^2\).
Résolvez l’équation \(\mathrm{ch}\,x = 2\).
Résolvez l’équation \(\mathrm{sh}\,x = \frac{3}{4}\).

Exercice 14 : Réciproques des fonctions hyperboliques

Montrez que \(\mathrm{sh}\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(\mathrm{argsh}\) sa réciproque.
Montrez que \(\mathrm{argsh}\,y = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})\) pour tout réel \(y\).
Calculez la dérivée de \(\mathrm{argsh}\) de deux façons : par la formule de dérivation d’une réciproque, puis directement.
Montrez que \(\mathrm{th}\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1, 1[\), et que sa réciproque est \(y \mapsto \frac{1}{2}\ln(\frac{1 + y}{1 – y})\). Calculez la dérivée de cette réciproque.

Exercice 15 : Une fonction homographique

Soit \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x – 1}\).

Déterminez des réels \(a\) et \(k\) tels que \(f(x) = a + \dfrac{k}{x – 1}\) pour tout \(x \neq 1\).
Étudiez les variations de \(f\) et donnez ses asymptotes.
Montrez que le point \(\Omega(1, 2)\) est centre de symétrie de la courbe.
Montrez que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) sur un ensemble à préciser, et déterminez \(f^{-1}\).
Résolvez l’inéquation \(f(x) \geq\, 1\).

Exercice 16 : Asymptote oblique d’une fonction rationnelle

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + x – 1}{x – 1}\) pour \(x \neq 1\).

Déterminez des réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x – 1}\).
Déduisez-en que la courbe admet une asymptote oblique en \(\pm\infty\), et étudiez sa position par rapport à la courbe.
Étudiez les variations de \(f\), avec ses limites en 1.
Montrez que le point \(\Omega(1, 3)\) est centre de symétrie de la courbe, puis tracez-la.

Exercice 17 : Asymptotes et branches paraboliques

Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 3}\). Justifiez que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Montrez que la courbe admet une asymptote en \(+\infty\) et une en \(-\infty\), et précisez la position de la courbe.
Soit \(g(x) = x e^{1/x}\) pour \(x > 0\). Montrez que la droite \(y = x + 1\) est asymptote en \(+\infty\). On pourra utiliser \(\lim_{u \to 0} \frac{e^{u} – 1}{u} = 1\). Précisez la position de la courbe.
Étudiez la branche infinie en \(+\infty\) de \(h(x) = x + \ln x\), puis celles de \(x \mapsto \sqrt{x}\) et de \(x \mapsto e^{x}\).

Exercice 18 : Étude de ln(x)/x et comparaison de e^π et π^e

Soit \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) pour \(x > 0\).

Étudiez complètement \(f\) : variations, limites, asymptotes. Tracez sa courbe.
Sans calculatrice, comparez \(e^{\pi}\) et \(\pi^{e}\).
Déterminez tous les couples d’entiers \((a, b)\) avec \(1 \leq\, a < b\) tels que \(a^{b} = b^{a}\).

Exercice 19 : Étude complète de x arctan x

Soit \(f(x) = x\arctan x\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

Étudiez la parité de \(f\). Calculez \(f^{\prime}\) et étudiez son signe. Déduisez-en les variations de \(f\).
Calculez \(f^{\prime\prime}\) et montrez que \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
Montrez que, pour \(x > 0\), \(f(x) = \frac{\pi}{2}x – x\arctan\frac{1}{x}\). Déduisez-en que la droite \(y = \frac{\pi}{2}x – 1\) est asymptote à la courbe en \(+\infty\).
Précisez la position de la courbe par rapport à cette asymptote. Donnez l’asymptote en \(-\infty\), puis tracez la courbe.

Exercice 20 : Problème : la fonction gudermannienne

On définit, pour tout réel \(x\), \(\mathrm{gd}(x) = \arctan(\mathrm{sh}\,x)\). Sa courbe est représentée ci-dessous.

Montrez que \(\mathrm{gd}\) est impaire, dérivable sur \(\mathbb{R}\), et que \(\mathrm{gd}^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\mathrm{ch}\,x}\).
Montrez que, pour tout réel \(x\), \(\mathrm{gd}(x) = \arcsin(\mathrm{th}\,x)\).
Montrez que, pour tout réel \(x\), \(\mathrm{gd}(x) = 2\arctan(e^{x}) – \dfrac{\pi}{2}\).
Déterminez les limites de \(\mathrm{gd}\) en \(\pm\infty\), étudiez sa convexité et donnez sa tangente en 0.
Montrez que \(\mathrm{gd}\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-\pi/2, \pi/2[\). Exprimez sa réciproque de deux façons : à l’aide de \(\mathrm{argsh}\) et \(\tan\), puis à l’aide de \(\ln\) et \(\tan\).
Calculez la dérivée de la réciproque.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

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Le cours : fonctions usuelles, cours de maths en L1
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