Limites et continuité : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Limites par epsilon-delta

Démontrer chacune des limites suivantes en revenant à la définition epsilon-delta, c’est-à-dire en donnant explicitement un \(\delta\) en fonction de \(\varepsilon\).

1. \(\lim_{x \to 2} (3x – 1) = 5\).
2. \(\lim_{x \to 3} x^2 = 9\).
3. \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1\), la fonction étant définie sur \(]0, +\infty[\).

Exercice 2 : Limites en l’infini et limites infinies

Revenir aux définitions avec des quantificateurs pour établir les résultats suivants.

1. Montrer que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x+3} = 2\), en donnant un seuil \(A\) en fonction de \(\varepsilon\).
2. Montrer que \(\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\).
3. Montrer que \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\) et que \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\).
4. La fonction \(x \mapsto 1/x\), définie sur \(\mathbb{R}^*\), admet-elle une limite en 0 ?

Exercice 3 : Limites à gauche et à droite

On note \(E\) la fonction partie entière, dont la courbe est représentée ci-dessous.

1. Étudier les limites à gauche et à droite en 1 de \(f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}\), définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). La fonction \(f\) a-t-elle une limite en 1 ?
2. Soit \(n \in \mathbb{Z}\). Déterminer les limites à gauche et à droite de \(E\) en \(n\). En quels points \(E\) est-elle continue ?
3. Pour \(x \neq 0\), on pose \(g(x) = x\,E(1/x)\). Montrer que \(1 – x < g(x) \leq\, 1\) pour \(x > 0\) et que \(1 \leq\, g(x) < 1 – x\) pour \(x < 0\).
4. En déduire les limites à gauche et à droite de \(g\) en 0. La fonction \(g\) est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

Exercice 4 : Fonctions monotones et limites latérales

Soit \(b < c\) deux réels, \(f\) une fonction croissante sur \(]b, c[\) et \(x_0 \in \,]b, c[\). On se propose de démontrer le théorème de la limite monotone à partir de la borne supérieure.

1. Justifier que \(\ell^- = \sup \{ f(x) \mid b < x < x_0 \}\) existe et que \(\ell^- \leq\, f(x_0)\).
2. Montrer, avec des quantificateurs, que \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell^-\).
3. Énoncer sans démonstration le résultat analogue à droite, avec \(\ell^+ = \inf \{ f(x) \mid x_0 < x < c \}\), et en déduire \(\ell^- \leq\, f(x_0) \leq\, \ell^+\).
4. Montrer que \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si \(\ell^- = \ell^+\).
5. Application : on pose \(h(x) = x + E(x)\) sur \(\mathbb{R}\). Justifier que \(h\) est croissante, puis calculer \(h(n^-)\), \(h(n)\) et \(h(n^+)\) pour \(n \in \mathbb{Z}\). Où \(h\) est-elle continue ?

Exercice 5 : Absence de limite par les suites

On utilise la caractérisation séquentielle de la limite.

1. Montrer que \(x \mapsto \sin(1/x)\) n’a pas de limite en 0.
2. Montrer que \(\cos\) n’a pas de limite en \(+\infty\).
3. Montrer que \(x \mapsto x \sin x\) n’a de limite ni finie ni infinie en \(+\infty\).
4. Montrer que \(x \mapsto \cos(x)\,e^{x}\) n’a pas de limite en \(+\infty\).

Exercice 6 : Fonction indicatrice des rationnels

On note \(\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}\) la fonction qui vaut 1 en tout rationnel et 0 en tout irrationnel. On admet que \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

1. Soit \(a \in \mathbb{R}\). Construire une suite de rationnels et une suite d’irrationnels qui convergent vers \(a\).
2. En déduire que \(\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}\) n’est continue en aucun point.
3. Montrer que \(g : x \mapsto x\,\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(x)\) est continue en 0 et en aucun autre point.
4. Proposer une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui est continue en 1 et en 2, et en aucun autre point.

Exercice 7 : Opérations et composition de limites

Calculer les limites suivantes en justifiant chaque étape par les théorèmes d’opérations, de composition ou d’encadrement. On admet que \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\).

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} – 1}{x}\).
2. \(\lim_{x \to +\infty} ( \sqrt{x^2 + x} – x )\).
3. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\).
4. \(\lim_{x \to +\infty} x \sin(\frac{1}{x})\).
5. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \cos x}{x – \sin x}\).

Exercice 8 : Prolongements par continuité

Dire si chacune des fonctions suivantes est prolongeable par continuité au point indiqué et, si oui, donner la valeur du prolongement.

1. \(k(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x – 2}\) en 2.
2. \(f(x) = x \sin(\frac{1}{x})\) en 0. Le prolongement obtenu est-il continu sur \(\mathbb{R}\) ?
3. \(g(x) = \frac{1 – \cos x}{x^2}\) en 0 (on pourra utiliser \(1 – \cos x = 2\sin^2(x/2)\)).
4. \(h(x) = \frac{\sin x}{|x|}\) en 0.

Exercice 9 : Signe au voisinage d’un point

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\).

1. On suppose \(f\) continue en \(a\) et \(f(a) > 0\). Montrer, en choisissant bien \(\varepsilon\), qu’il existe \(\delta > 0\) tel que \(f(x) \geq\, \frac{f(a)}{2}\) pour tout \(x \in [a – \delta, a + \delta]\).
2. Soit \(f\) et \(g\) continues sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f(r) = g(r)\) pour tout \(r \in \mathbb{Q}\). En appliquant la question 1 à \(|f – g|\), montrer que \(f = g\).
3. Retrouver le résultat de la question 2 à l’aide de la caractérisation séquentielle.

Exercice 10 : Équation fonctionnelle de Cauchy

On cherche les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continues telles que \(f(x+y) = f(x) + f(y)\) pour tous réels \(x, y\). On pose \(a = f(1)\).

1. Montrer que \(f(0) = 0\), que \(f(-x) = -f(x)\) et que \(f(nx) = n f(x)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout réel \(x\).
2. En déduire que \(f(r) = a r\) pour tout rationnel \(r\).
3. Conclure, à l’aide de la continuité, que \(f(x) = a x\) pour tout réel \(x\). Vérifier la réciproque.

Exercice 11 : Existence de racines par le TVI

1. On pose \(P(x) = x^5 – 3x + 1\). Calculer \(P(-2)\), \(P(-1)\), \(P(0)\), \(P(1)\) et \(P(2)\). En déduire que \(P\) a au moins trois racines réelles, en précisant un intervalle pour chacune.
2. Soit \(Q\) un polynôme réel de degré impair. Montrer que \(Q\) possède au moins une racine réelle.
3. Montrer que l’équation \(x^3 + x – 1 = 0\) possède une unique solution réelle, et qu’elle appartient à \(]0, 1[\).

Exercice 12 : Théorème du point fixe sur un segment

1. Soit \(f : [0, 1] \to [0, 1]\) continue. Montrer que \(f\) admet un point fixe, c’est-à-dire un \(c \in [0, 1]\) tel que \(f(c) = c\).
2. Montrer que \(\cos\) envoie \([0, 1]\) dans \([0, 1]\). En déduire que l’équation \(\cos x = x\) a une solution dans \([0, 1]\), puis qu’elle y est unique.
3. Montrer que le résultat de la question 1 devient faux pour une fonction continue de \(]0, 1[\) dans \(]0, 1[\).

Exercice 13 : Théorème des cordes horizontales

Soit \(f\) continue sur \([0, 1]\) telle que \(f(0) = f(1)\). La figure ci-dessous montre une telle courbe et une corde horizontale de longueur \(1/2\).

1. On pose \(g(x) = f(x + 1/2) – f(x)\) pour \(x \in [0, 1/2]\). Calculer \(g(0) + g(1/2)\).
2. En déduire qu’il existe \(c \in [0, 1/2]\) tel que \(f(c + 1/2) = f(c)\).
3. Soit \(n \geq\, 2\) un entier. En considérant \(g_n(x) = f(x + 1/n) – f(x)\) sur \([0, 1 – 1/n]\), montrer qu’il existe \(c \in [0, 1 – 1/n]\) tel que \(f(c + 1/n) = f(c)\).
4. Application : un cycliste parcourt 30 km en exactement 1 heure. Montrer qu’il existe un intervalle de 10 minutes pendant lequel il a parcouru exactement 5 km. On admet que la distance parcourue dépend continûment du temps.

Exercice 14 : Méthode de dichotomie

Soit \(f(x) = x^3 + x – 1\) sur \([0, 1]\). On pose \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\) et, pour tout \(n\), \(m_n = \frac{a_n + b_n}{2}\). Si \(f(a_n) f(m_n) \leq\, 0\), on pose \(a_{n+1} = a_n\) et \(b_{n+1} = m_n\) ; sinon, on pose \(a_{n+1} = m_n\) et \(b_{n+1} = b_n\).

1. Montrer par récurrence que \(f(a_n) f(b_n) \leq\, 0\) et que \(b_n – a_n = 2^{-n}\) pour tout \(n\).
2. Montrer que les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes. On note \(c\) leur limite commune.
3. Montrer que \(f(c) = 0\).
4. Calculer \(a_n\) et \(b_n\) pour \(n \leq\, 3\). Combien d’étapes suffisent pour obtenir \(c\) à \(10^{-3}\) près ?

Exercice 15 : Minorant strictement positif sur un segment

1. Soit \(f\) continue sur \([a,b]\) telle que \(f(x) > 0\) pour tout \(x\). Montrer qu’il existe \(m > 0\) tel que \(f(x) \geq\, m\) pour tout \(x \in [a,b]\).
2. Montrer que ce résultat est faux sur \(]0, 1]\) et sur \([0, +\infty[\).
3. Soit \(f\) et \(g\) continues sur \([a,b]\) telles que \(f(x) < g(x)\) pour tout \(x\). Montrer qu’il existe \(\alpha > 0\) tel que \(f + \alpha \leq\, g\) sur \([a,b]\).

Exercice 16 : Minimum d’une fonction qui tend vers l’infini

Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

1. Montrer qu’il existe \(A > 0\) tel que \(f(x) > f(0)\) pour tout \(x\) vérifiant \(|x| > A\).
2. En déduire que \(f\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que \(x \mapsto x^2 + \sin(3x)\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\).
4. La fonction \(f\) admet-elle nécessairement un maximum sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 17 : Une bijection continue de R sur ]-1,1[

On définit \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \frac{x}{1 + |x|}\). Sa courbe est tracée ci-dessous.

1. Justifier que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et impaire.
2. Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et \(+\infty\). En déduire, par le théorème de la bijection continue, que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1, 1[\).
4. Déterminer explicitement \(f^{-1}\) et vérifier directement qu’elle est continue.

Exercice 18 : Injectivité et stricte monotonie

Soit \(I\) un intervalle et \(f : I \to \mathbb{R}\) continue et injective. On veut montrer que \(f\) est strictement monotone.

1. On suppose le contraire. Justifier l’existence de \(x_1 < y_1\) et \(x_2 < y_2\) dans \(I\) tels que \(f(x_1) < f(y_1)\) et \(f(x_2) > f(y_2)\).
2. Pour \(t \in [0, 1]\), on pose \(x(t) = (1-t)x_1 + t x_2\) et \(y(t) = (1-t)y_1 + t y_2\). Montrer que \(x(t)\) et \(y(t)\) appartiennent à \(I\) et que \(x(t) < y(t)\).
3. Étudier \(\varphi(t) = f(y(t)) – f(x(t))\) et conclure.
4. Montrer par un contre-exemple que l’hypothèse de continuité est indispensable.
5. Montrer par un contre-exemple que l’hypothèse « \(I\) est un intervalle » est indispensable.

Exercice 19 : Continuité uniforme du carré et de la racine

1. Montrer que \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer qu’elle est uniformément continue sur \([-R, R]\) pour tout \(R > 0\), sans utiliser le théorème de Heine.
3. Montrer que \(\sqrt{x} \leq\, \sqrt{y} + \sqrt{x – y}\) pour \(0 \leq\, y \leq\, x\). En déduire que \(|\sqrt{x} – \sqrt{y}| \leq\, \sqrt{|x – y|}\) pour tous \(x, y \geq\, 0\).
4. En déduire que la fonction racine carrée est uniformément continue sur \([0, +\infty[\).

Exercice 20 : Fonctions lipschitziennes

1. Montrer qu’une fonction \(k\)-lipschitzienne sur \(D\) est uniformément continue sur \(D\).
2. Montrer que \(|\sin u| \leq\, |u|\) pour tout réel \(u\) (on pourra traiter d’abord \(u \in [0, \pi/2]\)), puis que \(\sin\) est 1-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que \(x \mapsto 1/x\) n’est pas uniformément continue sur \(]0, 1]\), puis qu’elle l’est sur \([1, +\infty[\).
4. Montrer que la racine carrée est uniformément continue sur \([0, 1]\) mais n’y est pas lipschitzienne.

Exercice 21 : Limite en l’infini et continuité uniforme

Soit \(f\) continue sur \([0, +\infty[\) admettant une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\).

1. Soit \(\varepsilon > 0\). Montrer qu’il existe \(A \geq\, 0\) tel que \(|f(x) – f(y)| \leq\, \varepsilon\) pour tous \(x, y \geq\, A\).
2. En appliquant le théorème de Heine sur \([0, A+1]\), montrer que \(f\) est uniformément continue sur \([0, +\infty[\).
3. En déduire que \(x \mapsto \arctan x\) et \(x \mapsto \frac{\sin x}{1+x}\) sont uniformément continues sur \([0, +\infty[\).
4. La réciproque est-elle vraie ?

Exercice 22 : Problème : fonctions continues périodiques

Soit \(T > 0\) et \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue et \(T\)-périodique, c’est-à-dire telle que \(f(x + T) = f(x)\) pour tout réel \(x\).

1. Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(k = E(x/T)\). Montrer que \(x – kT \in [0, T[\) et que \(f(x) = f(x – kT)\).
2. En déduire que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\) et qu’elle y atteint ses bornes.
3. Montrer que \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\). On pourra appliquer le théorème de Heine sur \([0, 2T]\) et choisir \(\delta \leq\, T\).
4. On suppose que \(f\) admet une limite \(\ell\) en \(+\infty\). En utilisant les suites \((x + nT)\), montrer que \(f\) est constante.
5. Soit \(g\) continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\). On suppose \(f(x) + g(x) \geq\, 0\) pour tout réel \(x\). Montrer que \(f \geq\, 0\).
6. Application : la fonction \(x \mapsto \sin x + \frac{1}{1 + x^2}\) est-elle positive sur \(\mathbb{R}\) ? Répondre de deux façons, avec la question 5 puis par un calcul direct.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : limites et continuité, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Suites numériques
• Chapitre précédent : Suites numériques
• Chapitre suivant : Dérivation et accroissements finis
• Le même thème en maths sup : limites et continuité, exercices de maths sup
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3