Nombres réels : cours de maths en L1 en PDF.

On admet que \((\mathbb{R}, +, \times , \leq\,)\) est un corps commutatif totalement ordonné. Autrement dit, \((\mathbb{R}, +, \times )\) est un corps commutatif, la relation \(\leq\,\) est une relation d’ordre total, et l’ordre est compatible avec les opérations :

\[\forall x, y, z \in \mathbb{R}, \quad x \leq\, y \Rightarrow x + z \leq\, y + z, \qquad \big(0 \leq\, x \text{ et } 0 \leq\, y\big) \Rightarrow 0 \leq\, xy.\]

Enfin, \(\mathbb{R}\) vérifie l’axiome de la borne supérieure, énoncé dans la partie III.

Pour tous réels \(a, b, c, d\) :

• si \(a \leq\, b\) et \(c \leq\, d\), alors \(a + c \leq\, b + d\) (on additionne des inégalités de même sens) ;
• si \(a \leq\, b\) et \(c \geq\, 0\), alors \(ac \leq\, bc\) ; si \(c \leq\, 0\), alors \(ac \geq\, bc\) ;
• si \(0 \leq\, a \leq\, b\) et \(0 \leq\, c \leq\, d\), alors \(ac \leq\, bd\) ;
• si \(0 < a \leq\, b\), alors \(\dfrac{1}{b} \leq\, \dfrac{1}{a}\) ;
• pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq\, 0\), avec égalité si et seulement si \(x = 0\).

Montrons par exemple la dernière règle. Si \(x \geq\, 0\), alors \(x^2 = x \cdot x \geq\, 0\) par l’axiome du produit. Sinon, \(-x \geq\, 0\) et \(x^2 = (-x)(-x) \geq\, 0\). De plus, dans un corps, \(x^2 = 0\) entraîne \(x = 0\). Les autres règles se prouvent de la même façon, en se ramenant au signe d’une différence : par exemple, \(bc – ac = (b – a)c\) est un produit de deux réels positifs.

On ne soustrait jamais deux inégalités, et on ne les divise pas. Par exemple, \(1 \leq\, 3\) et \(0 \leq\, 3\), mais \(1 – 0 \leq\, 3 – 3\) est faux. Pour majorer \(a – c\), on majore \(a\) et on minore \(c\).

Pour établir \(A \leq\, B\), étudiez le signe de \(B – A\). Le plus souvent, on factorise cette différence ou on l’écrit comme un carré. Par exemple, pour tous réels \(a, b\), \(a^2 + b^2 – 2ab = (a – b)^2 \geq\, 0\). Par conséquent, \(ab \leq\, \frac{a^2 + b^2}{2}\).

Soient \(x, y > 0\). Appliquons l’inégalité précédente à \(a = \sqrt{x}\) et \(b = \sqrt{y}\). On obtient \(\sqrt{xy} \leq\, \frac{x + y}{2}\) : la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique. De plus, l’égalité a lieu si et seulement si \(x = y\).

La valeur absolue d’un réel \(x\) est \(|x| = \max(x, -x)\). Ainsi, \(|x| = x\) si \(x \geq\, 0\) et \(|x| = -x\) si \(x < 0\). Pour deux réels \(x\) et \(y\), le nombre \(|x – y|\) est la distance entre \(x\) et \(y\).

Pour tous réels \(x, y\) et tout \(r \geq\, 0\) :

• \(|x| \geq\, 0\), \(|-x| = |x|\), \(|xy| = |x|\,|y|\) et \(\sqrt{x^2} = |x|\) ;
• \(-|x| \leq\, x \leq\, |x|\) ;
• \(|x| \leq\, r \Leftrightarrow -r \leq\, x \leq\, r\) ;
• \(|x – a| < r \Leftrightarrow a – r < x < a + r\).

Inégalité triangulaire. Pour tous réels \(x\) et \(y\) :

\[|x + y| \leq\, |x| + |y| \qquad \text{et} \qquad \big||x| – |y|\big| \leq\, |x – y|.\]

De plus, \(|x + y| = |x| + |y|\) si et seulement si \(xy \geq\, 0\).

D’abord, \(-|x| \leq\, x \leq\, |x|\) et \(-|y| \leq\, y \leq\, |y|\). En additionnant, on obtient \(-(|x| + |y|) \leq\, x + y \leq\, |x| + |y|\), donc \(|x + y| \leq\, |x| + |y|\). Ensuite, on écrit \(x = (x – y) + y\). Ainsi, \(|x| \leq\, |x – y| + |y|\), soit \(|x| – |y| \leq\, |x – y|\). En échangeant \(x\) et \(y\), on a aussi \(|y| – |x| \leq\, |x – y|\). Enfin, les deux membres de la première inégalité étant positifs, l’égalité équivaut à l’égalité des carrés, c’est-à-dire à \(2xy = 2|xy|\), soit \(xy \geq\, 0\).

Résolvons \(|2x – 3| < 5\). Cette inégalité équivaut à \(-5 < 2x – 3 < 5\), donc à \(-1 < x < 4\). L’ensemble des solutions est l’intervalle \(]-1, 4[\). Pour une somme de valeurs absolues, en revanche, on distingue des cas selon le signe de chaque terme.

Une partie \(I\) de \(\mathbb{R}\) est un intervalle si, pour tous \(a, b \in I\) avec \(a \leq\, b\), tout réel \(c\) tel que \(a \leq\, c \leq\, b\) appartient à \(I\). Autrement dit, un intervalle est une partie « sans trou ».

L’intersection de deux intervalles est un intervalle, car la définition se vérifie directement. En revanche, la réunion \([0, 1] \cup [2, 3]\) n’est pas un intervalle : elle contient \(1\) et \(2\), mais pas \(\frac{3}{2}\).

Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}\). Un réel \(M\) est un majorant de \(A\) si \(a \leq\, M\) pour tout \(a \in A\). Un réel \(m\) est un minorant de \(A\) si \(m \leq\, a\) pour tout \(a \in A\). La partie \(A\) est majorée (respectivement minorée) si elle possède au moins un majorant (respectivement un minorant). Elle est bornée si elle est majorée et minorée.

Un majorant de \(A\) qui appartient à \(A\) est appelé plus grand élément ou maximum de \(A\), noté \(\max A\). De même, on définit le plus petit élément \(\min A\).

Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}\). On appelle borne supérieure de \(A\), si elle existe, le plus petit élément de l’ensemble des majorants de \(A\). On la note \(\sup A\). De même, la borne inférieure de \(A\), notée \(\inf A\), est le plus grand des minorants de \(A\).

Axiome de la borne supérieure. Toute partie de \(\mathbb{R}\) non vide et majorée admet une borne supérieure dans \(\mathbb{R}\).

Toute partie de \(\mathbb{R}\) non vide et minorée admet une borne inférieure. De plus, si l’on note \(-A = \{-a,\ a \in A\}\), on a \(\inf A = -\sup(-A)\).

Soit \(A\) non vide et minorée par \(m\). Alors \(-A\) est non vide et majorée par \(-m\). Par l’axiome, \(s = \sup(-A)\) existe. D’une part, pour tout \(a \in A\), \(-a \leq\, s\), donc \(-s \leq\, a\) : le réel \(-s\) minore \(A\). D’autre part, si \(m^{\prime}\) minore \(A\), alors \(-m^{\prime}\) majore \(-A\), donc \(s \leq\, -m^{\prime}\), soit \(m^{\prime} \leq\, -s\). Finalement, \(-s\) est le plus grand minorant de \(A\).

Soient \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) et \(s \in \mathbb{R}\). Alors \(s = \sup A\) si et seulement si :

\[\begin{cases} \forall a \in A, \ a \leq\, s, \\ \forall \varepsilon > 0, \ \exists a \in A, \ s – \varepsilon < a. \end{cases}\]

Supposons \(s = \sup A\). La première condition exprime que \(s\) majore \(A\). Soit \(\varepsilon > 0\). Le réel \(s – \varepsilon\) est strictement inférieur à \(s\), donc ce n’est pas un majorant de \(A\). Il existe donc \(a \in A\) avec \(a > s – \varepsilon\).

Réciproquement, supposons les deux conditions vraies. Alors \(s\) majore \(A\). Soit \(M\) un majorant de \(A\) ; supposons par l’absurde \(M < s\). Posons \(\varepsilon = s – M > 0\). Il existe \(a \in A\) avec \(a > s – \varepsilon = M\), ce qui contredit le fait que \(M\) majore \(A\). Donc \(s \leq\, M\), et \(s\) est bien le plus petit majorant.

Pour montrer que \(s = \sup A\) :

1. vérifiez que \(s\) majore \(A\) ;
2. fixez \(\varepsilon > 0\) quelconque, puis exhibez un élément \(a \in A\) tel que \(a > s – \varepsilon\). Pour cela, on résout souvent l’inéquation \(a > s – \varepsilon\) en fonction d’un paramètre, puis on invoque la propriété d’Archimède.

Enfin, pour savoir si la borne est un maximum, on vérifie si \(s \in A\).

Soit \(A = \{1 – \frac{1}{n},\ n \in \mathbb{N}^{*}\}\). D’abord, \(1 – \frac{1}{n} < 1\) pour tout \(n\), donc \(1\) majore \(A\). Ensuite, soit \(\varepsilon > 0\). L’inégalité \(1 – \frac{1}{n} > 1 – \varepsilon\) équivaut à \(n > \frac{1}{\varepsilon}\), et un tel entier existe. Donc \(\sup A = 1\). Comme \(1 \notin A\), la partie \(A\) n’a pas de maximum. En revanche, \(\min A = 0\), atteint pour \(n = 1\).

Caractérisation séquentielle. Soient \(A\) non vide et \(s\) un majorant de \(A\). Alors \(s = \sup A\) si et seulement s’il existe une suite \((a_n)\) d’éléments de \(A\) qui converge vers \(s\).

Si \(s = \sup A\), on applique la caractérisation avec \(\varepsilon = \frac{1}{n + 1}\) : il existe \(a_n \in A\) tel que \(s – \frac{1}{n + 1} < a_n \leq\, s\). Par encadrement, \(a_n\) tend vers \(s\). Réciproquement, soit \(M < s\). Comme \(a_n\) tend vers \(s\), on a \(a_n > M\) pour \(n\) assez grand. Donc \(M\) ne majore pas \(A\), et \(s\) est le plus petit majorant.

Propriété d’Archimède. Pour tout réel \(a > 0\) et tout réel \(b\), il existe un entier naturel \(n\) tel que \(na > b\).

Montrons d’abord que \(\mathbb{N}\) n’est pas majoré dans \(\mathbb{R}\). Supposons le contraire. Alors \(\mathbb{N}\) est non vide et majoré, donc \(s = \sup \mathbb{N}\) existe par l’axiome. Le réel \(s – 1\) ne majore pas \(\mathbb{N}\) : il existe \(n \in \mathbb{N}\) avec \(n > s – 1\). Mais alors \(n + 1 \in \mathbb{N}\) et \(n + 1 > s\), ce qui est absurde. Ainsi, le réel \(\frac{b}{a}\) n’est pas un majorant de \(\mathbb{N}\). Il existe donc \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n > \frac{b}{a}\), c’est-à-dire \(na > b\).

Pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(n \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(\frac{1}{n} < \varepsilon\). Par conséquent, \(\inf \{\frac{1}{n},\ n \in \mathbb{N}^{*}\} = 0\). De plus, un réel \(a\) tel que \(0 \leq\, a \leq\, \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\) est nul.

Pour tout réel \(x\), il existe un unique entier relatif \(n\) tel que \(n \leq\, x < n + 1\). On l’appelle la partie entière de \(x\) et on le note \(\lfloor x \rfloor\) (ou \(E(x)\)).

Unicité : si \(n \leq\, x < n + 1\) et \(p \leq\, x < p + 1\), alors \(-1 < n – p < 1\). Comme \(n – p\) est un entier, \(n = p\).

Existence : supposons d’abord \(x \geq\, 0\). Par la propriété d’Archimède, l’ensemble \(F = \{k \in \mathbb{N},\ k > x\}\) est non vide. C’est une partie non vide de \(\mathbb{N}\), donc elle possède un plus petit élément \(k_0\). On a \(k_0 \geq\, 1\) car \(0 \leq\, x\). Ensuite, \(k_0 – 1 \notin F\), donc \(k_0 – 1 \leq\, x < k_0\), et \(n = k_0 – 1\) convient. Enfin, si \(x < 0\), on traite \(-x\) : si \(-x \in \mathbb{Z}\), alors \(n = x\) convient ; sinon, \(n = -\lfloor -x \rfloor – 1\) convient.

Pour tout réel \(x\) et tout entier relatif \(k\) :

• \(x – 1 < \lfloor x \rfloor \leq\, x\) ;
• \(\lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k\) ;
• \(\lfloor x \rfloor = k \Leftrightarrow k \leq\, x < k + 1\) ;
• pour tout entier \(p\), \(p \leq\, x \Leftrightarrow p \leq\, \lfloor x \rfloor\).

Pour calculer ou manipuler \(\lfloor y \rfloor\), encadrez \(y\) entre deux entiers consécutifs \(k \leq\, y < k + 1\) : on conclut alors \(\lfloor y \rfloor = k\). Souvent, on pose \(x = \lfloor x \rfloor + t\) avec \(t \in [0, 1[\), puis on discute selon la position de \(t\).

On a \(\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2\), mais \(\lfloor -2{,}7 \rfloor = -3\) car \(-3 \leq\, -2{,}7 < -2\). De même, pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on a \(n^2 \leq\, n^2 + n < (n + 1)^2\). Donc \(n \leq\, \sqrt{n^2 + n} < n + 1\), et finalement \(\lfloor \sqrt{n^2 + n} \rfloor = n\).

Une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) si tout intervalle ouvert non vide \(]x, y[\) contient au moins un élément de \(D\).

L’ensemble \(\mathbb{Q}\) des rationnels et l’ensemble \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) des irrationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\).

Soient \(x < y\). Par la propriété d’Archimède, il existe \(n \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(n(y – x) > 1\). Posons \(m = \lfloor nx \rfloor + 1\). Alors \(nx < m \leq\, nx + 1 < ny\). En divisant par \(n > 0\), on obtient \(x < \frac{m}{n} < y\). Ainsi, \(]x, y[\) contient un rationnel.

Pour les irrationnels, on applique ce résultat à l’intervalle \(]x – \sqrt{2}, y – \sqrt{2}[\). Il contient un rationnel \(r\). Alors \(r + \sqrt{2} \in \, ]x, y[\). Or \(r + \sqrt{2}\) est irrationnel : sinon, \(\sqrt{2} = (r + \sqrt{2}) – r\) serait rationnel.

En appliquant le théorème une infinité de fois, on voit que tout intervalle ouvert non vide contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels. En outre, tout réel \(x\) est la borne supérieure de \(\{r \in \mathbb{Q},\ r < x\}\).

Le réel \(\sqrt{2}\) est irrationnel. En effet, supposons \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) avec \(p, q \in \mathbb{N}^{*}\) premiers entre eux. Alors \(p^2 = 2q^2\), donc \(p^2\) est pair, puis \(p\) est pair. Écrivons \(p = 2k\). On obtient \(q^2 = 2k^2\), donc \(q\) est pair lui aussi. C’est absurde, car \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux.

Soient \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\). On pose

\[d_n = \frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n} \qquad \text{et} \qquad d_n^{\prime} = d_n + 10^{-n}.\]

Le décimal \(d_n\) est l’approximation décimale par défaut de \(x\) à \(10^{-n}\) près, et \(d_n^{\prime}\) l’approximation par excès.

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(d_n \leq\, x < d_n^{\prime}\) et \(d_n^{\prime} – d_n = 10^{-n}\). De plus, la suite \((d_n)\) est croissante, la suite \((d_n^{\prime})\) est décroissante, et \(\sup_n d_n = x\).

L’encadrement \(\lfloor 10^n x \rfloor \leq\, 10^n x < \lfloor 10^n x \rfloor + 1\) donne, après division par \(10^n\), l’inégalité \(d_n \leq\, x < d_n^{\prime}\). Ensuite, \(10 \lfloor 10^n x \rfloor\) est un entier inférieur ou égal à \(10^{n+1} x\). Donc il est inférieur ou égal à \(\lfloor 10^{n+1} x \rfloor\), d’où \(d_n \leq\, d_{n+1}\). La décroissance de \((d_n^{\prime})\) se prouve de même. Enfin, \(x\) majore les \(d_n\). Pour \(\varepsilon > 0\), choisissons \(n > \frac{1}{\varepsilon}\) par Archimède ; comme \(10^n > n\), on a \(10^{-n} < \varepsilon\). Alors \(d_n > x – 10^{-n} > x – \varepsilon\).

Comme \(1{,}414^2 = 1{,}999396\) et \(1{,}415^2 = 2{,}002225\), on a \(1{,}414 \leq\, \sqrt{2} < 1{,}415\). Ainsi, \(d_3 = 1{,}414\) et \(d_3^{\prime} = 1{,}415\). Pour un réel négatif, il faut rester attentif : pour \(x = -\frac{2}{3}\), on trouve \(d_1 = -0{,}7\) et non \(-0{,}6\).

Les \(d_n\) sont des nombres décimaux. Par conséquent, l’ensemble \(\mathbb{D}\) des décimaux est lui aussi dense dans \(\mathbb{R}\). C’est ce qui justifie le calcul numérique : tout réel s’approche d’aussi près que l’on veut par des nombres qu’une machine sait écrire.