Corrigé du contrôle de maths 5ème : propriétés du parallélogramme

Exercice 1 : Définition, côtés et angles (3 points)

1. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ici : \((AB)\) est parallèle à \((CD)\) et \((AD)\) est parallèle à \((BC)\).
2. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
   \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(CD = AB\) et \(AD = BC\). \(CD = 6\text{ cm}\) et \(AD = 4\text{ cm}\).
3. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure. Donc \(\widehat{BCD} = \widehat{DAB} = 70^\circ\).
   La somme des angles d’un quadrilatère est égale à \(360^\circ\), et \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC}\) (angles opposés). Donc :

   \(\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 360^\circ – 70^\circ – 70^\circ = 220^\circ\)

   \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 220^\circ : 2 = 110^\circ\)

   \(\widehat{BCD} = 70^\circ\), \(\widehat{ABC} = 110^\circ\) et \(\widehat{ADC} = 110^\circ\).

Barème : a) 0,5 point pour la définition, 0,5 point pour les deux couples de parallèles ; b) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour les deux longueurs ; c) 0,5 point pour \(\widehat{BCD}\) justifié, 0,5 point pour les deux angles de \(110^\circ\).

Erreur fréquente : écrire \(\widehat{ABC} = 70^\circ\). Deux angles consécutifs d’un parallélogramme ne sont égaux que dans le cas du rectangle ; ici leur somme vaut \(180^\circ\).

Exercice 2 : Les diagonales (3 points)

1. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
   \(EFGH\) est un parallélogramme, donc \(K\) est le milieu de \([EG]\) : \(EK = 10 : 2 = 5\). \(EK = 5\text{ cm}\).
2. Pour la même raison, \(K\) est le milieu de \([FH]\), donc \(FH = 2 \times KF = 2 \times 3{,}5 = 7\). \(FH = 7\text{ cm}\).
3. Ici, \(EG = 10\text{ cm}\) et \(FH = 7\text{ cm}\) : les diagonales du parallélogramme \(EFGH\) n’ont pas la même longueur. Théo a tort : les diagonales d’un parallélogramme ont le même milieu, mais pas forcément la même longueur (c’est le cas seulement pour un rectangle).

Barème : a) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour 5 cm ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour le contre-exemple chiffré, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 3 : Constructions (4 points)

1. Je trace le segment \([RS]\) de 5 cm. Avec le rapporteur, je trace une demi-droite d’origine \(S\) qui fait un angle de \(60^\circ\) avec \([SR]\), et je place \(T\) sur cette demi-droite à 3 cm de \(S\).
   Pour placer \(U\) : comme \(RSTU\) est un parallélogramme, \(TU = RS = 5\text{ cm}\) et \(RU = ST = 3\text{ cm}\). Je trace un arc de cercle de centre \(T\) et de rayon 5 cm, puis un arc de centre \(R\) et de rayon 3 cm, du même côté que \(T\) par rapport à \((RS)\) : \(U\) est le point d’intersection des deux arcs. (On peut aussi tracer la parallèle à \((RS)\) passant par \(T\) et la parallèle à \((ST)\) passant par \(R\).)
2. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc \(OM = OP = 8 : 2 = 4\text{ cm}\) et \(ON = OQ = 6 : 2 = 3\text{ cm}\).
   Je trace \([MP]\) de 8 cm et je place son milieu \(O\) (à 4 cm de \(M\)). Avec le rapporteur, je trace une droite passant par \(O\) qui fait un angle de \(50^\circ\) avec \([OM]\). Sur cette droite, je place \(N\) à 3 cm de \(O\) et \(Q\) à 3 cm de \(O\) de l’autre côté. Je relie \(M\), \(N\), \(P\) et \(Q\) dans cet ordre.

Barème : pour chaque construction, 1 point pour la figure exacte (longueurs à 1 mm près, angle à \(1^\circ\) près), 1 point pour l’explication de la méthode (placement de \(U\) en a, calcul des demi-diagonales en b).

Erreur fréquente : en b), reporter 6 cm de chaque côté de \(O\) au lieu de 3 cm : c’est la diagonale entière qui mesure 6 cm.

Exercice 4 : Parallélogramme ou non ? (5 points)

1. D’après le codage, \(IA = IC\) et \(IB = ID\) : \(I\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\). Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. \(ABCD\) est un parallélogramme.
2. D’après le codage, \(EF = HG\) et \(FG = EH\). Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c’est un parallélogramme. \(EFGH\) est un parallélogramme.
3. \(N\) est le milieu de \([JL]\), mais \(NK = 2\text{ cm}\) et \(NM = 3\text{ cm}\) : \(N\) n’est pas le milieu de \([KM]\). Les diagonales ne se coupent pas en leur milieu. Or si un quadrilatère est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu. \(JKLM\) n’est pas un parallélogramme.
4. Le codage donne \(PQ = QR\) et \(RS = SP\) : ce sont des côtés consécutifs qui sont égaux, pas des côtés opposés. Rien ne permet d’affirmer que \(PQ = RS\) ; sur la figure, \([PQ]\) est nettement plus long que \([RS]\). \(PQRS\) n’est pas un parallélogramme (c’est un cerf-volant).

Barème : a) et b) 0,5 point pour la réponse, 1 point pour la propriété citée ; c) et d) 0,5 point pour la réponse, 0,5 point pour la justification.

Erreur fréquente : en d), voir deux paires de côtés égaux et conclure trop vite. Il faut vérifier que ce sont des côtés opposés.

Exercice 5 : Problème : un parallélogramme caché (5 points)

1. \(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\) : \(OA = OC\) et \(OB = OD\).
2. \(E\) est sur \([OA]\) et \(F\) est sur \([OC]\), donc :

   \(OE = OA – AE\) et \(OF = OC – CF\).

   Or \(OA = OC\) (question a) et \(AE = CF\) (codage). On retranche des longueurs égales à des longueurs égales. Donc \(OE = OF\).

3. Les diagonales du quadrilatère \(EBFD\) sont \([EF]\) et \([BD]\). Elles se coupent en \(O\).
   \(O\) est le milieu de \([EF]\) (car \(OE = OF\) et \(O\) est sur \([EF]\)) et \(O\) est le milieu de \([BD]\) (question a).
   Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. \(EBFD\) est un parallélogramme.
4. \(OA = 12 : 2 = 6\text{ cm}\), donc \(OE = 6 – 2 = 4\text{ cm}\) et \(OF = OE = 4\text{ cm}\).
   \(EF = OE + OF = 4 + 4 = 8\). \(EF = 8\text{ cm}\).
   Vérification : \(EF = AC – AE – CF = 12 – 2 – 2 = 8\text{ cm}\).

Barème : a) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour la conclusion ; b) 1 point pour les deux différences, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour les deux milieux, 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour \(OE = 4\text{ cm}\), 0,5 point pour \(EF = 8\text{ cm}\).

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Après le corrigé du contrôle : propriétés du parallélogramme

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