Voici le corrigé complet du brevet de mathématiques 2016 des centres étrangers (session de juin, repère 16GENMAT-G11). Après un QCM de trois questions (trigonométrie, antécédent par une fonction affine, calcul fractionnaire), les huit exercices suivants tournent tous autour d’un même fil rouge : le macaron. On y rencontre des pourcentages successifs, l’écriture scientifique et une vitesse moyenne, une feuille de tableur avec moyenne, médiane et étendue, le théorème de Pythagore dans une pyramide régulière, une mise en équation, un arbre de probabilités, le volume d’un cylindre avec conversions, la lecture graphique d’une courbe de température et enfin une tâche complexe de facturation avec remise et frais de livraison. Chaque réponse est justifiée pas à pas, avec les figures utiles pour bien comprendre la démarche.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet 2016 aux centres étrangers : sujet et corrigé : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM sans justification exigée, 3 points
1) ABC est rectangle en A avec AB = 5 cm et AC = 7 cm ; on cherche la mesure arrondie au degré de l’angle \(\widehat{ABC}\).
Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{ABC}\), le côté opposé est [AC] et le côté adjacent est [AB] :
\[\tan\widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{5}=1{,}4\]
La calculatrice donne \(\widehat{ABC}=\arctan(1{,}4)\approx 54{,}46^\circ\). Réponse B : 54°.
2) On cherche l’antécédent de 8 par \(f : x \mapsto 3x-2\), c’est-à-dire le nombre \(x\) tel que \(f(x)=8\).
\[3x-2=8 \iff 3x=10 \iff x=\frac{10}{3}\approx 3{,}33\]
Ce nombre est compris entre 3 et 4. Réponse B.
3) On calcule la valeur exacte du quotient :
\[\frac{1-(-4)}{-2+9}=\frac{1+4}{7}=\frac{5}{7}\]
Réponse A : \(\frac{5}{7}\). (0,714 285 714 3 n’est qu’une valeur approchée, puisque l’écriture décimale de \(\frac{5}{7}\) est illimitée.)
Exercice 2 :
Vrai ou faux justifié, 4 points
Affirmation 1. Une boîte coûte 25 € ; on augmente son prix de 5 % par an pendant deux ans. Son prix sera-t-il de 27,50 € ?
Augmenter de 5 % revient à multiplier par le coefficient \(1+\frac{5}{100}=1{,}05\). Deux hausses successives correspondent donc à une multiplication par \(1{,}05^2\) :
\[25\times 1{,}05^2=25\times 1{,}1025=27{,}5625\]
Le nouveau prix est d’environ 27,56 €, et non 27,50 € (on ne peut pas additionner les pourcentages : la seconde hausse porte sur 26,25 €). L’affirmation 1 est fausse.
Affirmation 2. Une boutique utilise en moyenne 4 kg de sucre par jour ; en un an, elle en utilise environ \(1{,}46\times 10^6\) g.
\[4\ \text{kg}\times 365=1\,460\ \text{kg}=1\,460\,000\ \text{g}=1{,}46\times 10^6\ \text{g}\]
L’affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3. Un camion parcourt 12,5 km en 12 minutes en ville, où la vitesse est limitée à 50 km/h. A-t-il respecté la limitation ?
Il y a 5 fois 12 minutes dans une heure (\(5\times 12=60\)). À vitesse constante, il parcourrait donc en une heure :
\[12{,}5\times 5=62{,}5\ \text{km}\]
Sa vitesse moyenne est de 62,5 km/h, soit plus que 50 km/h : il a forcément dépassé la vitesse autorisée à un moment du trajet. L’affirmation 3 est fausse.
Exercice 3 :
Tableur et statistiques, 5 points
Le tableur donne les ventes de macarons de la semaine :
| Jour | Lundi | Mardi | Mercredi | Jeudi | Vendredi | Samedi | Dimanche |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Macarons vendus | 324 | 240 | 310 | 204 | 318 | 386 | 468 |
1) Formule à saisir en I2 pour obtenir le total de la semaine (les valeurs sont dans les cellules B2 à H2) :
=SOMME(B2:H2)
ou, de façon équivalente, =B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2.
2) Nombre moyen de macarons vendus par jour, arrondi à l’unité :
\[\frac{324+240+310+204+318+386+468}{7}=\frac{2\,250}{7}\approx 321{,}4\]
La boutique vend en moyenne environ 321 macarons par jour.
3) Nombre médian. On range les 7 valeurs dans l’ordre croissant :
204 ; 240 ; 310 ; 318 ; 324 ; 386 ; 468
L’effectif est impair (7) : la médiane est la 4e valeur, qui laisse 3 valeurs de chaque côté. La médiane est 318 macarons.
4) Différence entre les ventes du dimanche et celles du jeudi :
\[468-204=264\]
Le dimanche correspond à la plus grande valeur de la série et le jeudi à la plus petite : cette différence est l’étendue de la série, égale à 264.
Exercice 4 :
Pyramide régulière et théorème de Pythagore, 5 points
Le présentoir est une pyramide régulière SABCD à base carrée de côté 30 cm, d’arêtes latérales 55 cm ; O est le centre du carré ABCD et [SO] est la hauteur. Peut-on le placer dans une vitrine haute de 50 cm ? Il faut calculer la hauteur SO.
Étape 1 : la diagonale de la base. Le triangle ABC est rectangle en B (ABCD est un carré). D’après le théorème de Pythagore :
\[AC^2=AB^2+BC^2=30^2+30^2=900+900=1\,800\]
donc \(AC=\sqrt{1\,800}=30\sqrt{2}\) cm \(\approx 42{,}4\) cm. Les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu, donc :
\[OC=\frac{AC}{2}=15\sqrt{2}\ \text{cm}\approx 21{,}2\ \text{cm}\qquad\text{et}\qquad OC^2=\frac{1\,800}{4}=450\]
Étape 2 : la hauteur. La pyramide étant régulière, (SO) est perpendiculaire à la base, donc le triangle SOC est rectangle en O, d’hypoténuse [SC] = 55 cm.
D’après le théorème de Pythagore dans SOC :
\[SO^2+OC^2=SC^2 \quad\text{donc}\quad SO^2=55^2-450=3\,025-450=2\,575\]
\[SO=\sqrt{2\,575}\approx 50{,}7\ \text{cm}\]
La hauteur du présentoir dépasse 50 cm : on ne peut pas placer ce présentoir dans la vitrine (il manque environ 7 mm).
Exercice 5 :
Mise en équation, 3 points
Pascale, Alexis et Carole se partagent deux boîtes de 12 macarons, soit 24 macarons. Alexis en a mangé 4 de plus que Pascale, et Pascale deux fois moins que Carole. Combien chacun en a-t-il mangé ?
Notons \(x\) le nombre de macarons mangés par Pascale. Alors Alexis en a mangé \(x+4\) et Carole \(2x\) (Pascale en a mangé deux fois moins que Carole, donc Carole deux fois plus que Pascale). Le total vaut 24 :
\[x+(x+4)+2x=24 \iff 4x+4=24 \iff 4x=20 \iff x=5\]
Vérification : \(5+9+10=24\), Alexis a bien 4 macarons de plus que Pascale et Carole deux fois plus.
Pascale a mangé 5 macarons, Alexis 9 et Carole 10.
Remarque : on peut aussi choisir pour inconnue le nombre \(y\) de macarons de Carole : Pascale en a alors \(\frac{y}{2}\) et Alexis \(\frac{y}{2}+4\), d’où \(y+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+4=24\), soit \(2y=20\) et \(y=10\). On retrouve le même partage.
Exercice 6 :
Probabilités, 3 points
La boîte n° 1 contient 4 macarons chocolat, 3 café, 2 vanille et 3 caramel ; la boîte n° 2 contient 2 chocolat, 1 fraise, 1 framboise et 2 vanille. Les macarons sont indiscernables au toucher.
1) On tire au hasard un macaron dans la boîte n° 1 : probabilité qu’il soit au café ?
La boîte n° 1 contient \(4+3+2+3=12\) macarons, dont 3 au café. Les tirages sont équiprobables, donc :
\[P(\text{café})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0{,}25\]
La probabilité est \(\frac{1}{4}\), soit 25 %.
2) Il reste 3 chocolat et 2 café dans la boîte n° 1, 2 chocolat et 1 fraise dans la boîte n° 2. Pascale, qui n’aime pas le chocolat, tire un macaron dans la boîte n° 1 puis un dans la boîte n° 2. Probabilité que les deux lui plaisent ?
Il faut un macaron qui ne soit pas au chocolat dans chaque boîte, donc un café dans la boîte n° 1 (probabilité \(\frac{2}{5}\)) puis la fraise dans la boîte n° 2 (probabilité \(\frac{1}{3}\)). On représente l’expérience à deux épreuves par un arbre pondéré :
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches :
\[P=\frac{2}{5}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{15}\approx 0{,}13\]
(On peut aussi compter les issues : \(5\times 3=15\) couples équiprobables, dont \(2\times 1=2\) favorables.) La probabilité cherchée est \(\frac{2}{15}\), soit environ 13 %.
Exercice 7 :
Volume d’un cylindre et conversions, 3 points
La crème d’un macaron est un cylindre de rayon 20 mm et de hauteur 5 mm.
1) Vérifions que le volume de crème vaut \(2\,000\pi\) mm³. Le volume d’un cylindre est \(V=\pi r^2 h\) :
\[V=\pi\times 20^2\times 5=\pi\times 400\times 5=2\,000\pi\ \text{mm}^3\]
Le volume de crème d’un macaron est bien \(2\,000\pi\) mm³, soit environ 6 283 mm³.
2) Alexis dispose de 30 cL de crème : combien de macarons peut-il garnir ?
On convertit tout en cm³. Comme \(1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{cm}^3\), on a \(1\ \text{cL}=10\ \text{cm}^3\), donc \(30\ \text{cL}=300\ \text{cm}^3\). De plus \(1\ \text{cm}^3=1\,000\ \text{mm}^3\), donc :
\[2\,000\pi\ \text{mm}^3=2\pi\ \text{cm}^3\approx 6{,}28\ \text{cm}^3\]
Nombre de macarons :
\[\frac{300}{2\pi}=\frac{150}{\pi}\approx 47{,}7\]
Le 48e macaron ne pourrait pas être entièrement garni : Alexis peut confectionner 47 macarons.
Exercice 8 :
Lecture graphique, 5 points
Le four est réglé sur 150 °C et une sonde relève la température au cours du temps. Voici l’allure de la courbe donnée dans le sujet (une graduation horizontale = 1 min, une graduation verticale = 10 °C) :
1) La température est-elle proportionnelle au temps ? Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l’origine. Ici la courbe passe par l’origine mais n’est pas une droite (par exemple 70 °C à 3 min mais seulement 140 °C à 7 min, et non \(\frac{7}{3}\times 70\approx 163\) °C). La température n’est pas proportionnelle au temps.
2) Au bout de 3 minutes, on lit une température de 70 °C.
3) À 2 minutes, la température est de 50 °C ; à 7 minutes, elle est de 140 °C. Elle a donc augmenté de \(140-50=\) 90 °C.
4) La température de 150 °C est atteinte pour la première fois au bout de 8 minutes environ.
5) Après 8 minutes, la température ne reste pas stable à 150 °C : elle monte jusqu’à environ 157 °C vers 9 à 10 minutes, redescend et repasse sous 150 °C entre 11 et 14 minutes environ (environ 147 °C vers 12 minutes), puis remonte au-dessus de 150 °C. Or la cuisson exige impérativement 150 °C : le four chauffe tantôt trop, tantôt pas assez, c’est pourquoi le responsable n’est pas satisfait de la cuisson de ses macarons.
Exercice 9 :
Tâche complexe, 5 points
Norbert commande des macarons livrés le samedi 20 août 2016 et on lui demande 402 €, livraison comprise. Il faut retrouver sa zone de livraison.
Coût des macarons. Une boîte de 12 petits macarons coûte 16 € et une boîte de 6 petits macarons 9 €. À partir de la sixième boîte identique achetée, toutes les boîtes de ce parfum bénéficient de 20 % de réduction, c’est-à-dire d’une multiplication du prix par \(1-\frac{20}{100}=0{,}8\).
| Commande | Calcul | Prix |
|---|---|---|
| 10 boîtes de 12 petits macarons chocolat | \(10\times 16\times 0{,}8\) | 128 € |
| 10 boîtes de 12 petits macarons vanille | \(10\times 16\times 0{,}8\) | 128 € |
| 5 boîtes de 12 petits macarons framboise | \(5\times 16\) (pas de remise) | 80 € |
| 2 boîtes de 12 petits macarons café | \(2\times 16\) | 32 € |
| 1 boîte de 6 petits macarons caramel | \(1\times 9\) | 9 € |
\[128+128+80+32+9=377\ \text{€}\]
Frais de livraison. Ils valent donc \(402-377=25\) €.
Le 20 août 2016 est un samedi : on lit la colonne « samedi et dimanche » du tarif de livraison, où 25 € correspond à la zone B (17,50 € en zone A, 30 € en zone C).
L’adresse de livraison de Norbert se trouve dans la zone B.
