Voici le corrigé du brevet de maths 2016 en Amérique du Nord, épreuve de juin 2016 (série générale, 2 heures) entièrement placée sous le thème d’une station de ski. Les sept exercices sont résolus pas à pas avec des réponses justifiées. On y trouve trois affirmations vrai/faux (équation du premier degré, réciproque du théorème de Pythagore avec des racines carrées, pourcentages de réduction), un exercice de probabilités sur le choix des pistes avec un arbre pondéré, l’exploitation d’une feuille de calcul (formule SOMME, moyenne), un télésiège étudié avec la vitesse et la trigonométrie, la comparaison de deux tarifs de forfaits par une inéquation et par lecture graphique, le volume d’un tronc de cône (manche à air) avec la droite des milieux et Pythagore, et enfin le budget d’un séjour au ski. Un bon entraînement pour réviser les grandes notions du collège.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Amérique du nord 2016 : sujet du brevet de maths : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Vrai ou faux justifié : équation, Pythagore, pourcentages (6 points)
Affirmation 1 : « La solution de l’équation \(5x+4=2x+17\) est un nombre entier. »
On regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche et les nombres dans celui de droite :
\[5x-2x=17-4 \quad\text{donc}\quad 3x=13 \quad\text{donc}\quad x=\frac{13}{3}.\]
Or \(13\) n’est pas un multiple de \(3\) (\(3\times 4=12\) et \(3\times 5=15\)), donc \(\frac{13}{3}\approx 4{,}33\) n’est pas un nombre entier.
L’affirmation 1 est fausse.
Affirmation 2 : « Le triangle CDE, tel que \(CD=\sqrt{175}\) cm, \(CE=12\sqrt{7}\) cm et \(DE=13\sqrt{7}\) cm, est rectangle en C. »
Le plus grand côté est \([DE]\) puisque \(13\sqrt{7}\gt 12\sqrt{7}\) et \(\sqrt{175}\approx 13{,}2\lt 12\sqrt{7}\approx 31{,}7\). On compare \(DE^2\) et \(CD^2+CE^2\) :
\[DE^2=(13\sqrt{7})^2=169\times 7=1\,183\]
\[CD^2+CE^2=(\sqrt{175})^2+(12\sqrt{7})^2=175+144\times 7=175+1\,008=1\,183\]
On a donc \(CD^2+CE^2=DE^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en C (le sommet opposé au plus grand côté).
L’affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3 : les lunettes passent de 45 € à 31,50 € et la montre de 56 € à 42 €. Manu affirme que le pourcentage de réduction est plus grand sur la montre.
Pour les lunettes, la réduction vaut \(45-31{,}50=13{,}50\) €, soit en pourcentage du prix de départ :
\[\frac{13{,}50}{45}=0{,}30=30\,\%.\]
Pour la montre, la réduction vaut \(56-42=14\) €, soit :
\[\frac{14}{56}=0{,}25=25\,\%.\]
La montre a baissé de 25 %, les lunettes de 30 % : la réduction est plus forte sur les lunettes, même si la baisse en euros est un peu plus grande pour la montre.
L’affirmation 3 est fausse.
Exercice 2 :
Probabilités : le choix des pistes (4 points)
Du haut de la station, 5 pistes mènent au restaurant : 2 noires, 2 rouges, 1 bleue. Du restaurant, 7 pistes mènent en bas : 3 noires, 1 rouge, 1 bleue, 2 vertes. Guilhem choisit chaque piste au hasard.
1. a) Probabilité que la première piste soit rouge.
Les 5 pistes ont la même chance d’être choisies (situation d’équiprobabilité), et 2 d’entre elles sont rouges :
\[P(\text{rouge})=\frac{2}{5}=0{,}4.\]
La probabilité d’emprunter une piste rouge est \(\frac{2}{5}\), soit 40 %.
1. b) Depuis le restaurant, probabilité d’emprunter une piste bleue.
Il y a 7 pistes équiprobables, dont une seule bleue :
\[P(\text{bleue})=\frac{1}{7}\approx 0{,}14.\]
La probabilité d’emprunter une piste bleue est \(\frac{1}{7}\), soit environ 14 %.
2. Probabilité d’enchaîner deux pistes noires sur une descente complète.
La descente est une expérience à deux épreuves : le choix d’une piste parmi 5, puis d’une piste parmi 7. On la représente par un arbre pondéré (les pistes de même couleur sont regroupées).
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ses branches :
\[P(\text{N puis N})=\frac{2}{5}\times \frac{3}{7}=\frac{6}{35}\approx 0{,}17.\]
On retrouve ce résultat en dénombrant : il y a \(5\times 7=35\) descentes possibles, toutes équiprobables, et \(2\times 3=6\) d’entre elles sont composées de deux pistes noires.
La probabilité d’enchaîner deux pistes noires est \(\frac{6}{35}\), soit environ 17 %.
Exercice 3 :
Tableur : forfaits « journée » vendus de décembre à avril (5 points)
| Mois | décembre | janvier | février | mars | avril |
|---|---|---|---|---|---|
| Forfaits vendus | 60 457 | 60 457 | 148 901 | 100 058 | 10 035 |
1. a) Mois où la station a vendu le plus de forfaits.
Le plus grand nombre du tableau est 148 901 : c’est en février que la station a vendu le plus de forfaits « journée ».
1. b) Ninon affirme que plus du tiers des forfaits ont été vendus en février.
Nombre total de forfaits vendus sur la saison :
\[60\,457+60\,457+148\,901+100\,058+10\,035=379\,908.\]
Le tiers de ce total vaut \(379\,908: 3=126\,636\). Comme \(148\,901\gt 126\,636\), les ventes de février dépassent le tiers du total (elles en représentent environ 39 %).
Ninon a raison.
2. Formule à saisir en G2 pour obtenir le total.
Les ventes sont dans les cellules B2 à F2. On peut saisir =SOMME(B2:F2), ou de façon équivalente =B2+C2+D2+E2+F2.
3. Nombre moyen de forfaits vendus par mois, arrondi à l’unité.
La saison compte 5 mois (de décembre à avril) :
\[\frac{379\,908}{5}=75\,981{,}6\approx 75\,982.\]
La station a vendu en moyenne environ 75 982 forfaits « journée » par mois.
Exercice 4 :
Le télésiège : débit, vitesse et trigonométrie (4 points)
Données : vitesse 5,5 m/s, débit maximal 3 000 skieurs par heure, départ à 1 839 m d’altitude, arrivée à 2 261 m, longueur parcourue 1 453 m, ouverture de 9 h à 16 h.
1. Nombre de skieurs transportés en une journée au débit maximal.
Le télésiège fonctionne de 9 h à 16 h, soit pendant 7 heures. Il transporte au maximum 3 000 skieurs par heure :
\[3\,000\times 7=21\,000.\]
21 000 skieurs peuvent prendre ce télésiège dans la journée.
2. Durée du trajet, arrondie à la seconde, puis exprimée en minutes et secondes.
On utilise la relation \(t=\dfrac{d}{v}\) :
\[t=\frac{1\,453}{5{,}5}\approx 264{,}18\ \text{s}\approx 264\ \text{s}.\]
Comme \(264=4\times 60+24\), on obtient une durée de trajet d’environ 4 min 24 s.
3. Angle formé par le câble avec l’horizontale, arrondi au degré.
On modélise la montée par un triangle ABC rectangle en B : A est le départ, C l’arrivée, [AC] le câble et [BC] le dénivelé.
Le dénivelé vaut \(BC=2\,261-1\,839=422\) m. Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît l’hypoténuse \(AC=1\,453\) m et le côté opposé à l’angle \(\widehat{BAC}\), donc on utilise le sinus :
\[\sin\widehat{BAC}=\frac{BC}{AC}=\frac{422}{1\,453}\approx 0{,}290.\]
À la calculatrice (touche arcsin), \(\widehat{BAC}\approx 16{,}9^\circ\).
Le câble forme avec l’horizontale un angle d’environ 17°.
Exercice 5 :
Comparaison de deux tarifs : calcul, inéquation, lecture graphique (5 points)
Tarif 1 : 40,50 € la journée. Tarif 2 : carte club à 31 €, puis 32 € la journée.
1. a) Tarif le plus intéressant pour deux journées de ski.
Tarif 1 : \(2\times 40{,}50=81\) €. Tarif 2 : \(31+2\times 32=31+64=95\) €.
Pour deux journées, le tarif 1 est le plus intéressant (81 € contre 95 €).
1. b) Nombre de journées à partir duquel le tarif 2 devient plus intéressant.
Notons \(x\) le nombre de journées. Le tarif 1 coûte \(40{,}50x\) euros et le tarif 2 coûte \(31+32x\) euros. Le tarif 2 est plus avantageux lorsque :
\[31+32x\lt 40{,}50x \iff 31\lt 8{,}50x \iff x\gt\frac{31}{8{,}50}\approx 3{,}65.\]
Le nombre de journées étant entier, il faut \(x\geq\, 4\). Vérification : pour 3 jours, 121,50 € (tarif 1) contre 127 € (tarif 2) ; pour 4 jours, 162 € contre 159 €.
Le tarif 2 est plus intéressant à partir de 4 journées de ski.
2. Lectures sur le graphique donnant le prix en fonction du nombre de jours.
a) Tarif dont le prix est proportionnel au nombre de jours.
La représentation du tarif 1 est une droite qui passe par l’origine du repère : c’est la caractéristique d’une situation de proportionnalité. Celle du tarif 2 est une droite qui ne passe pas par l’origine (elle part de 31 €).
C’est le tarif 1 dont le prix est proportionnel au nombre de jours skiés.
b) Estimation de l’écart de prix pour 6 jours.
Pour 6 jours, on lit environ 245 € pour le tarif 1 et environ 225 € pour le tarif 2. L’écart est d’environ 20 €, ce que confirme le calcul : \(6\times 40{,}50=243\) € et \(31+6\times 32=223\) €, soit 20 € d’écart.
c) Nombre maximal de jours de ski avec un budget de 275 €.
On trace l’horizontale d’ordonnée 275. Elle coupe la droite du tarif 2 entre 7 et 8 jours (vers 7,6) et celle du tarif 1 entre 6 et 7 jours. On choisit donc le tarif 2 et on arrondit à l’entier inférieur, puisqu’un 8e jour dépasserait le budget.
Avec 275 €, Elliot peut skier au maximum 7 jours, avec le tarif 2 (\(31+7\times 32=255\) €).
Exercice 6 :
La manche à air : droite des milieux, Pythagore, volume d’un tronc de cône (7 points)
La manche à air est un tronc de cône obtenu en coupant un cône de sommet S par un plan parallèle à sa base. On donne \(AB=60\) cm, \(A^{\prime}B^{\prime}=30\) cm, \(BB^{\prime}=240\) cm, et O′ est le milieu de [OS].
1. Montrer que \(SB=480\) cm.
La section est parallèle à la base, donc dans le plan qui contient A, B et S, les droites (AB) et (A′B′) sont parallèles ; de plus (OA) et (O′A′) sont parallèles.
Dans le triangle SOB, la droite (O′B′) passe par le milieu O′ de [SO] et est parallèle au côté (OB). D’après le théorème de la droite des milieux, elle coupe [SB] en son milieu : B′ est le milieu de [SB].
On en déduit \(SB^{\prime}=BB^{\prime}=240\) cm, puis :
\[SB=2\times BB^{\prime}=2\times 240=480\ \text{cm}.\]
Autre méthode : avec le théorème de Thalès dans le triangle SAB, \(\dfrac{SB^{\prime}}{SB}=\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{AB}=\dfrac{30}{60}=\dfrac{1}{2}\), donc B′ est le milieu de [SB] et \(SB=2\times 240=480\) cm.
On a bien \(SB=480\) cm.
2. Calcul de SO, arrondi au centimètre.
[SO] est la hauteur du cône, donc le triangle SOB est rectangle en O. Le rayon de la base vaut \(OB=60: 2=30\) cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[SB^2=SO^2+OB^2 \quad\text{donc}\quad SO^2=480^2-30^2=230\,400-900=229\,500.\]
\[SO=\sqrt{229\,500}\approx 479{,}06\ \text{cm}.\]
La hauteur du cône mesure environ 479 cm.
3. Volume d’air contenu dans la manche à air, arrondi au cm³.
Le volume du tronc de cône est la différence entre le volume du grand cône et celui du petit cône de sommet S (celui de base le disque de centre O′).
Volume du grand cône (rayon 30 cm, hauteur SO) :
\[V_1=\frac{1}{3}\times \pi\times 30^2\times SO=300\pi\times SO.\]
Le petit cône est une réduction du grand cône de rapport \(k=\dfrac{O^{\prime}S}{OS}=\dfrac{1}{2}\). Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[V_2=(\frac{1}{2})^3\times V_1=\frac{V_1}{8}.\]
Volume de la manche à air :
\[V=V_1-V_2=\frac{7}{8}\times V_1=\frac{7}{8}\times 300\pi\times \sqrt{229\,500}=262{,}5\pi\sqrt{229\,500}\approx 395\,067\ \text{cm}^3.\]
La manche à air contient environ 395 067 cm³ d’air, soit à peu près 395 litres.
Remarque : si l’on utilise la valeur arrondie \(SO\approx 479\) cm, on obtient \(V_1=143\,700\pi\), \(V_2=17\,962{,}5\pi\) et \(V=125\,737{,}5\pi\approx 395\,016\) cm³. L’écart vient uniquement de l’arrondi de SO ; il vaut mieux garder la valeur exacte jusqu’au bout.
Exercice 7 :
Budget d’un séjour au ski : lecture de tableaux et calculs (5 points)
La famille (deux adultes, Anaïs et Thomas) part du 20 au 27 février dans un studio pour 4 personnes. Pendant 6 jours, Anaïs et ses parents font du ski et Thomas du snowboard ; tout le matériel est loué. On prévoit aussi 500 € pour la nourriture et les sorties.
1. Formule la plus intéressante pour les forfaits de 6 jours.
- Formule 1 : \(2\times 187{,}50+2\times 162{,}50=375+325=700\) €.
- Formule 2 : carte famille, puis 25 € par jour et par adulte et 20 € par jour et par enfant : \(120+2\times 25\times 6+2\times 20\times 6=120+300+240=660\) €.
La formule 2 est la plus intéressante : les forfaits coûtent 660 € au lieu de 700 €.
2. Budget total du séjour.
- Hébergement : le studio 4 personnes suffit ; pour la semaine du 20/02 au 27/02, il coûte 1 020 €.
- Matériel pour 6 jours : deux adultes à 17 € par jour, Anaïs (ski, tarif enfant) à 10 € par jour et Thomas (snowboard) à 19 € par jour : \((2\times 17+10+19)\times 6=63\times 6=378\) €.
- Forfaits (formule 2) : 660 €.
- Nourriture et sorties : 500 €.
\[1\,020+378+660+500=2\,558.\]
La famille doit prévoir un budget total de 2 558 € pour son séjour au ski.
