Corrigé du brevet de maths 2023 aux centres étrangers

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Centres étrangers : brevet de maths 2023 avec sujet et corrigé. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

QCM – Scratch, fractions, écriture scientifique, médiane – 18 points. Aucune justification n’était demandée, mais nous expliquons chaque choix.

Partie A : le programme Scratch

Le bloc « Triangle équilatéral » répète 3 fois : avancer de 50 pas puis tourner d’un certain angle. Le script principal place le lutin en \((0\,;0)\), l’oriente vers la droite, puis répète 2 fois : tracer le triangle, puis tourner de 60°.

Question 1. Quelle valeur mettre dans « tourner de … degrés » pour obtenir le triangle équilatéral : 60°, 100° ou 120° ?

Les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°. Mais le lutin ne tourne pas de l’angle intérieur : arrivé au bout d’un côté, il regarde dans le prolongement de ce côté et doit pivoter de l’angle extérieur, c’est-à-dire \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). On peut aussi le voir ainsi : après trois rotations, le lutin a fait un tour complet, donc chaque rotation vaut \(360^\circ: 3=120^\circ\).

Réponse C : 120°.

Question 2. Quelle figure obtient-on avec le script principal ?

Le premier triangle est tracé à partir de l’origine, lutin orienté vers la droite. Le lutin revient alors à son point de départ avec son orientation initiale ; il tourne de 60° et trace un second triangle identique, image du premier par la rotation de centre le point de départ et d’angle 60°. Comme l’angle du triangle en ce sommet vaut justement 60°, le second triangle vient se coller au premier le long d’un côté commun : les deux triangles forment un losange partagé par une diagonale. La figure A correspond à une rotation de 90° et la figure B à deux triangles simplement posés côte à côte.

Réponse C.

Question 3. Quel polygone obtient-on si la boucle « répéter 2 fois » devient « répéter 6 fois » ?

On trace alors 6 triangles équilatéraux autour du point de départ, chacun tourné de 60° par rapport au précédent. Comme \(6\times 60^\circ=360^\circ\), ils font exactement le tour du point et forment un hexagone régulier.

Réponse B : un hexagone.

Partie B : calculs

Question 1. Calculer \(A=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{7}{5}): \dfrac{4}{3}\).

La multiplication est prioritaire dans la parenthèse :

\[A=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{15}): \dfrac{4}{3}=(\dfrac{10}{15}-\dfrac{7}{15}): \dfrac{4}{3}=\dfrac{3}{15}: \dfrac{4}{3}.\]

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[A=\dfrac{3}{15}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{60}=\dfrac{3}{20}.\]

La réponse A multiplie par \(\dfrac{4}{3}\) au lieu de son inverse, et la réponse B oublie le terme \(\dfrac{2}{3}\). Réponse C : \(\dfrac{3}{15}\times \dfrac{3}{4}\).

Question 2. Écriture scientifique de \(302{,}4\times 10^{18}\).

Une écriture scientifique s’écrit \(a\times 10^n\) avec \(1\leq\, a\lt 10\). Or \(302{,}4=3{,}024\times 10^{2}\), donc

\[302{,}4\times 10^{18}=3{,}024\times 10^{2}\times 10^{18}=3{,}024\times 10^{20}.\]

La réponse C a la bonne valeur mais \(0{,}3024\) n’est pas compris entre 1 et 10. Réponse B : \(3{,}024\times 10^{20}\).

Question 3. Masses de huit biscuits : 12 g, 10 g, 18 g, 8 g, 12 g, 15 g, 11 g, 13 g. Si le biscuit de 18 g pèse en réalité 16 g, la médiane sera-t-elle plus petite, la même ou plus grande ?

Rangées dans l’ordre croissant : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18. Il y a 8 valeurs (nombre pair), la médiane est la moyenne des 4^e et 5^e valeurs : \(\dfrac{12+12}{2}=12\) g.

Remplacer 18 par 16 ne modifie que la plus grande valeur, qui reste la dernière de la liste (16 est supérieur à 15) : les 4^e et 5^e valeurs ne changent pas, la médiane vaut toujours 12 g. Réponse B : la même.

Exercice 2 :

La cabane de jardin et le toboggan – trigonométrie, Pythagore, Thalès, volume, ratio – 24 points

Données : \(AB=1{,}3\) m, \(AC=0{,}5\) m, \(BC=DF=1{,}2\) m, \(DE=2{,}04\) m ; les triangles ABC, BMN et FDE sont rectangles (en C, N et D).

Partie A : étude du toboggan

1. Le toboggan est sécurisé si l’angle \(\widehat{DEF}\) mesure 30° au degré près. Est-ce le cas ?

Dans le triangle FDE rectangle en D, on connaît le côté opposé [DF] et le côté adjacent [DE] à l’angle \(\widehat{DEF}\). On utilise donc la tangente :

\[\tan\widehat{DEF}=\dfrac{DF}{DE}=\dfrac{1{,}2}{2{,}04}\approx 0{,}588.\]

À la calculatrice (touche \(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\)) : \(\widehat{DEF}\approx 30{,}5^\circ\), soit 30° au degré près : le toboggan est sécurisé.

2. Montrer que la rampe EF mesure environ 2,37 m.

Le triangle FDE est rectangle en D, d’hypoténuse [EF]. D’après le théorème de Pythagore :

\[EF^2=DF^2+DE^2=1{,}2^2+2{,}04^2=1{,}44+4{,}1616=5{,}6016.\]
\[EF=\sqrt{5{,}6016}\approx 2{,}367.\]

La rampe mesure environ 2,37 m (au centimètre près).

Partie B : étude de l’échelle

1. Démontrer que (AC) et (MN) sont parallèles.

Le triangle ABC est rectangle en C, donc \((AC)\perp(BC)\). Le triangle BMN est rectangle en N, donc \((MN)\perp(BN)\), c’est-à-dire \((MN)\perp(BC)\) puisque N appartient à [BC]. Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles. Donc \((AC)\parallel(MN)\).

2. On place la poutre de sorte que \(BN=0{,}84\) m. Calculer MN.

Les points B, M, A d’une part et B, N, C d’autre part sont alignés, et les droites (MN) et (AC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{MN}{AC},\quad\text{soit}\quad \dfrac{0{,}84}{1{,}2}=\dfrac{BM}{1{,}3}=\dfrac{MN}{0{,}5}.\]
\[MN=\dfrac{0{,}84\times 0{,}5}{1{,}2}=\dfrac{0{,}42}{1{,}2}=0{,}35.\]

La poutre [MN] mesure 0,35 m, soit 35 cm.

Partie C : étude du bac à sable

1. Volume du bac, pavé droit de 200 cm sur 180 cm sur 20 cm, en cm³.

\[V=200\times 180\times 20=720\,000\ \text{cm}^3.\]

Le bac a un volume de 720 000 cm³.

2. Le bac (0,72 m³) est rempli de sable à maçonner et de sable fin dans le ratio 3 : 2. Vérifier les volumes 0,432 m³ et 0,288 m³.

On a bien \(1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3\), donc \(720\,000\ \text{cm}^3=0{,}72\ \text{m}^3\). Le ratio 3 : 2 signifie que pour 3 parts de sable à maçonner il y a 2 parts de sable fin : le volume total est partagé en \(3+2=5\) parts égales.

	Sable à maçonner	Sable fin	Total
Parts	3	2	5
Volume (m³)	\(\dfrac{3}{5}\times 0{,}72=0{,}432\)	\(\dfrac{2}{5}\times 0{,}72=0{,}288\)	0,72

Il faut 0,432 m³ de sable à maçonner et 0,288 m³ de sable fin.

3. Coût total sachant qu’un sac de sable à maçonner contient 0,022 m³ et coûte 2,95 €, et qu’un sac de sable fin contient 0,016 m³ et coûte 5,95 € (sacs entiers uniquement).

Sable à maçonner : \(0{,}432: 0{,}022\approx 19{,}6\). 19 sacs ne suffisent pas, il faut donc 20 sacs.

Sable fin : \(0{,}288: 0{,}016=18\), il faut exactement 18 sacs.

\[20\times 2{,}95+18\times 5{,}95=59+107{,}10=166{,}10.\]

Le sable coûte 166,10 € au total.

Exercice 3 :

Les deux programmes de calcul – tableur, calcul littéral, équation produit – 15 points

Programme d’Amir : choisir un nombre, soustraire 5, prendre le double du résultat. Programme de Sonia : choisir un nombre, ajouter 3, multiplier le résultat par le nombre choisi, soustraire 16.

1. Montrer qu’en partant de 6, Amir obtient 2 et Sonia 38.

Amir : \(6-5=1\), puis \(1\times 2=2\).

Sonia : \(6+3=9\), puis \(9\times 6=54\), puis \(54-16=38\).

En partant de 6, Amir obtient bien 2 et Sonia 38.

2.a. Quelle formule a été saisie en B2 puis étirée vers la droite : =(B1-5)*2, =(-2-5)*2 ou =B1-5*2 ?

La formule doit faire référence à la cellule du nombre choisi (B1) pour s’adapter quand on l’étire, et les parenthèses sont indispensables car on double le résultat de la soustraction. Il fallait saisir =(B1-5)*2.

2.b. D’après la feuille de calcul (nombres de −2 à 4), quel nombre donne des résultats égaux ?

Dans la colonne du nombre 2, les deux programmes affichent −6. Il faut choisir 2.

3.a. Montrer que le programme de Sonia donne \(x^2+3x-16\).

En partant de \(x\) : on ajoute 3, ce qui donne \(x+3\) ; on multiplie par \(x\) : \((x+3)\times x\) ; on soustrait 16 :

\[(x+3)\times x-16=x^2+3x-16.\]

Le programme de Sonia donne bien \(x^2+3x-16\).

3.b. On admet que les résultats sont égaux pour les solutions de \((x-2)(x+3)=0\). Résoudre cette équation et conclure.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

\[x-2=0\quad\text{ou}\quad x+3=0,\quad\text{donc}\quad x=2\quad\text{ou}\quad x=-3.\]

Les deux programmes donnent le même résultat pour les nombres de départ 2 et −3. On retrouve la valeur 2 lue dans le tableur ; la valeur −3 n’y apparaissait pas car le tableau commençait à −2.

Vérification pour −3 : Amir obtient \((-3-5)\times 2=-16\) et Sonia \((-3+3)\times (-3)-16=0-16=-16\).

Pour aller plus loin (non demandé) : Amir obtient \(2(x-5)=2x-10\). L’égalité \(2x-10=x^2+3x-16\) équivaut à \(x^2+x-6=0\), et en développant \((x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6\) : c’est bien l’équation admise dans l’énoncé.

Exercice 4 :

La tombola – probabilités, arithmétique – 22 points

L’urne contient 3 boules noires numérotées de 1 à 3 et 4 boules rouges numérotées de 1 à 4, indiscernables au toucher.

Partie A : étude du jeu

On tire une boule au hasard : il y a \(3+4=7\) issues équiprobables.

1.a. Probabilité de tirer une boule rouge.

Il y a 4 boules rouges sur 7 : \(P(\text{rouge})=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}57\).

1.b. Probabilité de tirer une boule portant un numéro pair.

Les boules paires sont la noire n° 2, la rouge n° 2 et la rouge n° 4, soit 3 boules : \(P(\text{pair})=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}43\).

2. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. On gagne si l’on obtient la boule rouge n° 1 et une boule noire. Quelle est la probabilité de gagner ?

Le tirage se fait avec remise : les deux tirages sont identiques et indépendants, et à chaque fois \(P(\text{R1})=\dfrac{1}{7}\) et \(P(\text{noire})=\dfrac{3}{7}\). L’ordre n’étant pas imposé, on gagne soit avec « R1 puis une noire », soit avec « une noire puis R1 ». On regroupe les autres boules rouges (R2, R3, R4) dans une même branche de probabilité \(\dfrac{3}{7}\).

\[P(\text{gagner})=\dfrac{1}{7}\times \dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{7}\times \dfrac{1}{7}=\dfrac{3}{49}+\dfrac{3}{49}=\dfrac{6}{49}\approx 0{,}12.\]

On peut le retrouver en dénombrant : il y a \(7\times 7=49\) couples équiprobables, dont 6 gagnants : (R1 ; N1), (R1 ; N2), (R1 ; N3), (N1 ; R1), (N2 ; R1), (N3 ; R1). La probabilité de gagner est \(\dfrac{6}{49}\), soit environ 12 %.

Partie B : constitution des lots

On dispose de 195 figurines et 234 autocollants, à répartir entièrement en lots identiques.

1. Peut-on faire 3 lots ?

\(195: 3=65\) et \(234: 3=78\) : les deux divisions tombent juste. Oui, on peut faire 3 lots de 65 figurines et 78 autocollants.

2. Décomposer 195 en produit de facteurs premiers.

195 se termine par 5, donc \(195=5\times 39\), et \(39=3\times 13\). Les nombres 3, 5 et 13 sont premiers :

\[195=3\times 5\times 13.\]

3.a. Sachant que \(234=2\times 3^2\times 13\), combien de lots au maximum ?

Le nombre de lots doit diviser à la fois 195 et 234 ; le nombre maximal est leur plus grand diviseur commun. Les facteurs premiers communs aux deux décompositions sont 3 (une fois) et 13, donc

\[\text{PGCD}(195\,;234)=3\times 13=39.\]

On peut constituer au maximum 39 lots.

3.b. Composition de chaque lot.

\(195: 39=5\) et \(234: 39=6\). Chaque lot contient 5 figurines et 6 autocollants.

Exercice 5 :

Promenade en bateau sur le canal – lecture graphique, fonction linéaire, fonction affine, équation – 21 points

Le graphique de l’annexe représente le prix payé à la société A en fonction de la durée de location : c’est une droite issue de l’origine passant par le point \((2\,;60)\). Le graphique ci-dessous reprend cette droite (en bleu) et ajoute celle de la société B demandée à la question 2.b (en vert).

1. Tarif de la société A

1.a. Prix pour 2 heures : on lit l’ordonnée du point d’abscisse 2 de la droite bleue. On paie 60 €.

1.b. Avec un budget de 100 €, combien d’heures entières ? Le prix de 100 € correspond à environ 3,3 h ; comme on loue un nombre entier d’heures, 3 h coûtent 90 € et 4 h coûteraient 120 €. On peut louer le bateau 3 heures.

1.c. Pourquoi le prix est-il proportionnel à la durée ? La représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère : c’est la caractéristique d’une situation de proportionnalité. Le prix est donc proportionnel à la durée.

1.d. Prix pour 10 heures, par le calcul. Par proportionnalité, 1 heure coûte \(60: 2=30\) €, donc 10 heures coûtent

\[10\times 30=300\ \text{€}.\]

Autrement dit, le prix de la société A est donné par la fonction linéaire \(g(x)=30x\), et \(g(10)=300\). Le prix pour 10 heures est 300 €.

2. Tarif de la société B : 60 € de frais de dossier plus 15 € par heure.

2.a. Montrer que 2 heures coûtent 90 €.

\[60+2\times 15=60+30=90.\]

Deux heures coûtent bien 90 €.

2.b. Tracer la représentation de \(f(x)=15x+60\).

\(f\) est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite, deux points suffisent. \(f(0)=60\) donne le point \((0\,;60)\) et \(f(2)=90\) donne le point \((2\,;90)\) ; pour plus de précision on peut aussi placer \((10\,;210)\) car \(f(10)=60+150=210\). C’est la droite verte du graphique.

2.c. Le prix est-il proportionnel à la durée ?

La droite ne passe pas par l’origine (on paie 60 € même pour 0 heure). On peut aussi comparer : 10 heures, c’est 5 fois plus que 2 heures, mais \(210\neq 5\times 90=450\). Le prix de la société B n’est pas proportionnel à la durée.

3. Comparaison des deux tarifs

3.a. Pour 3 heures, quelle société choisir et quel prix payer ?

Société A : \(3\times 30=90\) €. Société B : \(60+3\times 15=60+45=105\) €. Comme \(90\lt 105\), il faut choisir la société A et on paie 90 €. Le graphique le confirme : à l’abscisse 3, la droite bleue est sous la droite verte.

3.b. Pour quelle durée le prix est-il le même ?

On cherche \(x\) tel que \(30x=15x+60\) :

\[30x-15x=60\quad\Longleftrightarrow\quad 15x=60\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{60}{15}=4.\]

Vérification : \(30\times 4=120\) et \(60+15\times 4=120\). Graphiquement, c’est l’abscisse du point d’intersection I des deux droites. Pour 4 heures de location, les deux sociétés demandent le même prix : 120 €.