Voici le corrigé du brevet de maths 2023 en Asie Pacifique, épreuve de la série générale passée le 19 juin 2023 (2 heures, 100 points). Le sujet comporte cinq exercices variés. Le premier, autour d’un centre de loisirs, mobilise le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et des calculs d’aires de triangles. Le deuxième est un QCM de six questions : probabilité, coefficient multiplicateur, homothétie, fonction affine, écriture scientifique et cosinus. Le troisième étudie un programme de calcul qui conduit à la fonction \(x \mapsto 10x^2\), avec lecture graphique, tableur et résolution de \(x^2=3\). Le quatrième porte sur des frises dessinées avec Scratch. Le dernier, consacré à un marchand de glaces, fait travailler la moyenne, les pourcentages et le volume d’une boule avec conversion en litres. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Asie Pacifique : brevet de maths 2023 avec sujet et corrigé du DNB en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Le centre de loisirs – Pythagore, Thalès, aires – 22 points
L’espace extérieur est un triangle CDG rectangle en D. Les points C, E, D sont alignés, ainsi que C, F, G ; les droites (EF) et (DG) sont parallèles ; on donne CE = 30 m, ED = 10 m et DG = 24 m.
1. Longueur CD.
Les points C, E et D sont alignés dans cet ordre, donc
\[ CD = CE + ED = 30 + 10 = 40 \text{ m}. \]
CD = 40 m.
2. Longueur CG, arrondie au dixième de mètre.
Le triangle CDG est rectangle en D (car (DG) est perpendiculaire à (CD)), et [CG] est son hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore :
\[ CG^2 = CD^2 + DG^2 = 40^2 + 24^2 = 1600 + 576 = 2176. \]
Donc \( CG = \sqrt{2176} \approx 46{,}65 \), soit CG ≈ 46,6 m au dixième de mètre près.
3. Montrer que la clôture [EF] mesure 18 m.
Les droites (ED) et (FG) sont sécantes en C, et les droites (EF) et (DG) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[ \frac{CE}{CD} = \frac{CF}{CG} = \frac{EF}{DG}, \quad \text{soit} \quad \frac{30}{40} = \frac{EF}{24}. \]
On en déduit
\[ EF = \frac{30 \times 24}{40} = \frac{720}{40} = 18. \]
La clôture mesure bien 18 m.
4. Budget pour semer le gazon sur la zone de jeux.
Les droites (EF) et (DG) sont parallèles et (DG) est perpendiculaire à (CD) : donc (EF) est aussi perpendiculaire à (CD). Le triangle CEF est rectangle en E, d’où son aire :
\[ \mathcal{A}_{CEF} = \frac{CE \times EF}{2} = \frac{30 \times 18}{2} = 270 \text{ m}^2. \]
Un sac couvre environ 140 m². Or \( 270 : 140 \approx 1{,}93 \) : un sac ne suffit pas, il en faut 2.
\[ 2 \times 22{,}90 = 45{,}80. \]
Il faut prévoir un budget de 45,80 €.
5. Le potager est-il plus grand que la zone de jeux ?
Le potager DEFG est ce qui reste du triangle CDG quand on enlève le triangle CEF. Le triangle CDG est rectangle en D :
\[ \mathcal{A}_{CDG} = \frac{CD \times DG}{2} = \frac{40 \times 24}{2} = 480 \text{ m}^2, \]
\[ \mathcal{A}_{DEFG} = \mathcal{A}_{CDG} – \mathcal{A}_{CEF} = 480 – 270 = 210 \text{ m}^2. \]
Comme \( 210 \lt 270 \), le potager est plus petit que la zone de jeux : la directrice a tort.
Exercice 2 :
QCM – probabilités, pourcentages, homothétie, fonctions, puissances, trigonométrie – 18 points
Pour chaque question, une seule réponse parmi A, B et C est exacte. Nous donnons la justification même si elle n’était pas demandée.
1. Probabilité de tirer une bille rouge (2 rouges, 3 vertes, 3 bleues).
Il y a \( 2 + 3 + 3 = 8 \) billes, toutes ayant la même chance d’être tirées, dont 2 rouges :
\[ p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. \]
Réponse B.
2. Coefficient multiplicateur pour une hausse de 25 %.
Augmenter de 25 % revient à multiplier par \( 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25 \). Réponse A.
3. Transformation qui envoie le triangle 1 sur le triangle 2.
Le triangle 2 est un agrandissement du triangle 1 : ce n’est donc pas une translation (qui conserve les longueurs). Les deux triangles sont du même côté du point D, alignés avec lui : le rapport de l’homothétie est positif. En comptant les carreaux, les côtés du triangle 2 sont trois fois plus longs que ceux du triangle 1. C’est l’homothétie de centre D et de rapport 3. Réponse C.
4. Nature de la fonction \( f(x) = -9 – 7x \).
On peut écrire \( f(x) = -7x + (-9) \) : c’est de la forme \( ax + b \) avec \( a = -7 \) et \( b = -9 \). Comme \( b \neq 0 \), elle n’est pas linéaire. \( f \) est une fonction affine. Réponse A.
5. Une année-lumière (environ 9 461 milliards de km) en mètres.
\[ 9\,461 \text{ milliards de km} = 9{,}461 \times 10^{3} \times 10^{9} \text{ km} = 9{,}461 \times 10^{12} \text{ km}. \]
Comme 1 km = \( 10^3 \) m, cela fait \( 9{,}461 \times 10^{15} \) m. Réponse A.
6. Longueur AB dans le triangle ABC rectangle en A, avec BC = 5 cm et l’angle en B égal à 30°.
[BC] est l’hypoténuse et [AB] est le côté adjacent à l’angle \( \widehat{ABC} \). On utilise le cosinus :
\[ \cos 30^\circ = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{5} \quad \text{donc} \quad AB = 5 \times \cos 30^\circ. \]
Réponse B.
Exercice 3 :
Programme de calcul, lecture graphique, tableur – 15 points
Le programme : choisir un nombre ; le mettre au carré ; multiplier par 5 ; ajouter 4 ; multiplier par 2 ; enlever 8 ; écrire le résultat.
Partie A
1. Avec 3 comme nombre de départ.
\( 3^2 = 9 \) ; \( 9 \times 5 = 45 \) ; \( 45 + 4 = 49 \) ; \( 49 \times 2 = 98 \) ; \( 98 – 8 = 90 \).
On obtient bien 90.
2. Avec 2 puis avec −2.
- Avec 2 : \( 2^2 = 4 \) ; \( 4 \times 5 = 20 \) ; \( 20 + 4 = 24 \) ; \( 24 \times 2 = 48 \) ; \( 48 – 8 = 40 \).
- Avec −2 : \( (-2)^2 = 4 \) ; puis exactement les mêmes calculs : \( 20 \), \( 24 \), \( 48 \), \( 40 \).
Les deux élèves obtiennent le même résultat, 40 : dès la première étape, 2 et −2 ont le même carré.
3. Expression du résultat en fonction de \( x \).
En partant de \( x \), on obtient successivement \( x^2 \), puis \( 5x^2 \), puis \( 5x^2 + 4 \), puis
\[ 2(5x^2 + 4) = 10x^2 + 8, \quad \text{et enfin} \quad 10x^2 + 8 – 8 = 10x^2. \]
Le résultat du programme s’écrit bien \( 10x^2 \).
Partie B
On cherche le ou les nombres de départ donnant 30, c’est-à-dire les antécédents de 30 par \( f(x) = 10x^2 \).
4. Lecture graphique des antécédents de 30.
La droite horizontale d’ordonnée 30 coupe la courbe au point d’abscisse environ 1,73. Comme \( f(-x) = 10(-x)^2 = f(x) \) (question 2), le nombre opposé convient aussi : les antécédents de 30 sont environ −1,73 et 1,73.
5.a. Formule saisie en B2.
La colonne B calcule \( 10 \times (\text{nombre de la colonne A})^2 \) : on a saisi =10*A2^2 (ou =10*A2*A2).
5.b. Nombre de départ donnant le résultat le plus proche de 30.
Les deux résultats qui encadrent 30 sont 29,929 (pour 1,73) et 30,276 (pour 1,74). Or \( 30 – 29{,}929 = 0{,}071 \) et \( 30{,}276 – 30 = 0{,}276 \). Le plus proche de 30 est donc obtenu avec le nombre de départ 1,73.
6. Valeur exacte du nombre positif cherché.
On résout \( 10x^2 = 30 \), soit \( x^2 = 3 \). Cette équation a deux solutions, \( \sqrt{3} \) et \( -\sqrt{3} \). Le nombre positif cherché est \( \sqrt{3} \) (et l’on a bien \( \sqrt{3} \approx 1{,}732 \)).
Exercice 4 :
Des frises avec Scratch – 16 points
Aucune justification n’était demandée ; nous expliquons tout de même chaque réponse.
1. Coordonnées du lutin après le bloc 1.
Le bloc 1 contient « aller à x : −220 y : 0 ». Le lutin se trouve donc au point de coordonnées (−220 ; 0), tourné vers la droite.
2. Compléter le bloc 2 pour tracer un carré.
Un carré a quatre côtés et quatre angles droits : il faut répéter 4 fois « avancer de 50 pas » puis « tourner de 90 degrés ».
Définir Carré
stylo en position d'écriture
répéter 4 fois
avancer de 50 pas
tourner de 90 degrés
3. Figure tracée par le bloc 3 (1 cm pour 20 pas).
Le bloc 3 répète 2 fois : avancer de 100 pas, tourner de 90°, avancer de 50 pas, tourner de 90°. Il trace donc un rectangle de 100 pas sur 50 pas. À l’échelle, \( 100 : 20 = 5 \) cm et \( 50 : 20 = 2{,}5 \) cm : c’est un rectangle de 5 cm sur 2,5 cm. (Dans l’énoncé, ce bloc est nommé « Initialisation » par erreur : il s’agit évidemment du bloc « Rectangle ».)
4.a. Frise obtenue avec le script proposé.
Après l’initialisation, la boucle « répéter 3 fois » trace un carré, avance de 50 pas (la largeur du carré), trace un rectangle puis avance de 100 pas (la longueur du rectangle). On obtient ainsi carré, rectangle, carré, rectangle, carré, rectangle : c’est la frise n° 1.
4.b. Script de la frise n° 2 (trois carrés puis trois rectangles).
Il suffit de séparer la boucle en deux boucles successives :
Quand le drapeau vert est cliqué
Initialisation
répéter 3 fois
Carré
avancer de 50 pas
répéter 3 fois
Rectangle
avancer de 100 pas
Exercice 5 :
Le marchand de glaces – moyenne, pourcentages, volume de la boule – 24 points
Ventes de pots de glace : juillet 2022, semaines 1 à 4 : 453, 649, 786, 854 ; août 2022 : 860, 1 003, 957, 838. Un pot à une boule coûte 2,80 € et un pot à deux boules 3,50 €.
1. Nombre moyen de pots vendus par semaine.
La période compte 8 semaines :
\[ \frac{453 + 649 + 786 + 854 + 860 + 1003 + 957 + 838}{8} = \frac{6400}{8} = 800. \]
En moyenne, le marchand a vendu 800 pots de glace par semaine.
2. Somme rapportée par la vente des pots sur la période.
Il a vendu 6 400 pots en tout, dont 67 % à une boule :
\[ 0{,}67 \times 6400 = 4288 \text{ pots à une boule}, \qquad 6400 – 4288 = 2112 \text{ pots à deux boules}. \]
Recette :
\[ 4288 \times 2{,}80 + 2112 \times 3{,}50 = 12\,006{,}40 + 7\,392 = 19\,398{,}40. \]
La vente des pots de glace a rapporté 19 398,40 €.
3.a. Volume d’une boule de 4,2 cm de diamètre.
Le rayon vaut \( R = 4{,}2 : 2 = 2{,}1 \) cm. Avec la formule \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \) :
\[ V = \frac{4}{3} \times \pi \times 2{,}1^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 9{,}261 = 12{,}348\pi \approx 38{,}8 \text{ cm}^3. \]
Le volume d’une boule de glace est bien d’environ 39 cm³.
3.b. Nombre maximal de boules avec un bac de 10 L.
On sait que \( 1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3 \), donc un bac contient \( 10\,000 \) cm³ de glace.
\[ \frac{10\,000}{12{,}348\pi} \approx 257{,}8. \]
Le nombre de boules est entier et on ne peut pas dépasser la quantité de glace disponible : il peut faire au maximum 257 boules avec un bac. (Si l’on utilise la valeur arrondie de 39 cm³, on trouve \( 10\,000 : 39 \approx 256{,}4 \), soit 256 boules : ce résultat, un peu prudent, est aussi accepté.)
