Corrigé du brevet de maths 2024 en Asie-Pacifique

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Asie Pacifique : brevet de maths 2024 avec sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

QCM, 20 points. Aucune justification n’était demandée ; on en donne quand même pour comprendre.

Question 1 : quel nombre est premier parmi 1, 21, 37 et 54 ?

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

• 1 n’a qu’un seul diviseur (lui-même) : il n’est pas premier.
• \(21 = 3 \times 7\) : il est divisible par 3 et par 7, il n’est pas premier.
• 54 est pair, donc divisible par 2 : il n’est pas premier.
• 37 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 (et \(7^2 = 49 \gt 37\)) : ses seuls diviseurs sont 1 et 37.

Réponse C : 37.

Question 2 : aire totale du patron d’un cube d’arête 5 cm.

Le patron d’un cube est formé de 6 carrés identiques de côté 5 cm. Chaque face a une aire de \(5^2 = 25\ \text{cm}^2\), donc l’aire totale vaut \(6 \times 25 = 150\ \text{cm}^2\).

Réponse B : 150 cm².

Question 3 : forme factorisée de \(4x^2 – 9\).

On reconnaît une différence de deux carrés, \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\), avec \(a = 2x\) et \(b = 3\) :

\[4x^2 – 9 = (2x)^2 – 3^2 = (2x – 3)(2x + 3).\]

Réponse B : \((2x-3)(2x+3)\).

Question 4 : largeur d’un écran au format 16 : 9 dont la longueur mesure 110 cm.

Le format 16 : 9 signifie que la longueur et la largeur \(\ell\) sont proportionnelles à 16 et 9 :

Longueur (cm)	16	110
Largeur (cm)	9	\(\ell\)

Par produit en croix : \(\ell = \dfrac{110 \times 9}{16} = 61{,}875\), soit environ 62 cm au centimètre près.

Réponse A : environ 62 cm.

Question 5 : médiane de la série 3,4 ; 3,67 ; 4,1 ; 4,23 ; 4,5 (dans le désordre dans l’énoncé).

On range les valeurs dans l’ordre croissant : \(3{,}4 \leq\, 3{,}67 \leq\, 4{,}1 \leq\, 4{,}23 \leq\, 4{,}5\). Il y a 5 valeurs (effectif impair) : la médiane est la 3^e valeur de la série rangée, car \(\dfrac{5+1}{2} = 3\).

Réponse B : la médiane est 4,1.

Exercice 2 :

Vrai ou faux justifié, 18 points.

Affirmation 1 : le dessin proposé est une des vues de l’assemblage de cubes.

L’assemblage, dessiné en perspective cavalière, est formé de 4 cubes : trois cubes posés sur le plan et un quatrième posé par-dessus. Sur n’importe quelle vue « horizontale » (de face, de dos, de gauche ou de droite), ce cube du dessus apparaît forcément au-dessus de la rangée du bas. Or le dessin proposé ne montre aucun carré à l’étage supérieur : il ne peut pas être une vue de cet assemblage.

Pour s’en convaincre, on peut dessiner la vue de droite : on obtient deux carrés côte à côte en bas et un carré au-dessus du carré de gauche.

L’affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 : les droites (NU) et (OD) sont parallèles.

Dans la configuration, les points S, N, O sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points S, U, D. N est le milieu de [SO], SU = 5 et UD = 6. On compare les rapports :

• \(\dfrac{\text{SN}}{\text{SO}} = \dfrac{1}{2}\) car N est le milieu de [SO] ;
• \(\dfrac{\text{SU}}{\text{SD}} = \dfrac{5}{5+6} = \dfrac{5}{11}\).

Les produits en croix donnent \(1 \times 11 = 11\) et \(2 \times 5 = 10\) : ils sont différents, donc \(\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{5}{11}\). Si les droites (NU) et (OD) étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait l’égalité de ces deux rapports. Par la contraposée du théorème de Thalès, les droites (NU) et (OD) ne sont pas parallèles.

L’affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3 : la probabilité de tirer une boule bleue dans l’urne est supérieure à la probabilité d’obtenir un nombre pair avec le dé.

Dans les deux expériences, on est en situation d’équiprobabilité (boules indiscernables au toucher, dé non truqué). La probabilité d’un événement est donc le quotient du nombre d’issues favorables par le nombre d’issues possibles.

• L’urne contient \(6 + 4 = 10\) boules dont 6 bleues : \(p(\text{bleue}) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\).
• Le dé a 6 faces dont 3 paires (2, 4 et 6) : \(p(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5\).

Comme \(0{,}6 \gt 0{,}5\), la probabilité d’obtenir une boule bleue est bien la plus grande.

L’affirmation 3 est vraie.

Exercice 3 :

Géométrie, 20 points. Trois élèves ont chacun une pièce en forme de portion de disque : un arc de cercle de centre G passant par A et B, avec GB = 20 cm, CG = 10 cm, C milieu de [AB] et (CG) perpendiculaire à (AB).

1. Montrer que BC mesure environ 17,3 cm.

Les droites (AB) et (CG) sont perpendiculaires, donc le triangle BCG est rectangle en C, d’hypoténuse [BG]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{BG}^2 = \text{BC}^2 + \text{CG}^2 \quad \text{soit} \quad 20^2 = \text{BC}^2 + 10^2.\]

Donc \(\text{BC}^2 = 400 – 100 = 300\) et, BC étant une longueur positive, \(\text{BC} = \sqrt{300} \approx 17{,}32\).

Au millimètre près, BC mesure bien environ 17,3 cm.

2. Aire du triangle BAG, arrondie au cm².

On prend [AB] comme base ; la hauteur associée est [CG] puisque (CG) est perpendiculaire à (AB). Comme C est le milieu de [AB], \(\text{AB} = 2\,\text{BC} = 2\sqrt{300}\). L’aire vaut :

\[\mathcal{A} = \frac{\text{AB} \times \text{CG}}{2} = \frac{2\sqrt{300} \times 10}{2} = 10\sqrt{300} = 100\sqrt{3} \approx 173{,}2.\]

L’aire du triangle BAG est d’environ 173 cm².

3. a. Mesure de l’angle \(\widehat{\text{CGB}}\).

Dans le triangle CGB rectangle en C, le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{CGB}}\) est [CG] et l’hypoténuse est [GB] :

\[\cos\widehat{\text{CGB}} = \frac{\text{CG}}{\text{GB}} = \frac{10}{20} = 0{,}5.\]

La calculatrice (touche \(\arccos\) ou \(\cos^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{CGB}} = 60^\circ\).

3. b. En déduire que \(\widehat{\text{AGB}} = 120^\circ\).

A et B sont sur l’arc de cercle de centre G, donc GA = GB = 20 cm : le triangle AGB est isocèle en G. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la bissectrice de l’angle au sommet. La droite (GC) est cette hauteur, donc elle coupe \(\widehat{\text{AGB}}\) en deux angles égaux :

\[\widehat{\text{AGB}} = 2 \times \widehat{\text{CGB}} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ.\]

Autre méthode : les triangles rectangles AGC et BGC ont la même hypoténuse (20 cm) et le même côté CG, donc ils sont superposables et \(\widehat{\text{AGC}} = \widehat{\text{CGB}} = 60^\circ\).

4. Les trois élèves peuvent-ils former un disque complet avec leurs trois pièces ?

Chaque pièce est une portion de disque de rayon 20 cm dont l’angle au centre mesure 120°. En les accolant par leurs rayons, les trois angles au centre s’ajoutent : \(3 \times 120^\circ = 360^\circ\), ce qui fait un tour complet.

Oui, les trois pièces forment un disque complet de centre G et de rayon 20 cm.

5. Aire d’une pièce, arrondie au cm².

L’aire du disque complet est \(\pi \times R^2 = \pi \times 20^2 = 400\pi\ \text{cm}^2\). Les trois pièces sont identiques et forment ce disque, donc chacune a une aire de :

\[\frac{400\pi}{3} \approx 418{,}9\ \text{cm}^2.\]

Chaque pièce a une aire d’environ 419 cm².

Exercice 4 :

Fonctions et proportionnalité, 26 points. Une famille loue une voiture pour un aller-retour Marseille–Strasbourg. Formule A : 0,50 € par km ; formule B : 300 € plus 0,25 € par km ; formule C : forfait de 900 €.

Partie A

1. Distance totale parcourue.

Le tableau des distances donne 803 km entre Marseille et Strasbourg. Pour l’aller et le retour : \(803 \times 2 = 1\,606\) km.

La famille parcourt 1 606 km.

2. Vérifier que la formule B coûte 701,50 €.

\[300 + 1\,606 \times 0{,}25 = 300 + 401{,}50 = 701{,}50.\]

Avec la formule B, la location coûte bien 701,50 €.

3. Quelle formule est la plus avantageuse pour ce voyage ?

• Formule A : \(1\,606 \times 0{,}50 = 803\) €.
• Formule B : 701,50 €.
• Formule C : 900 €.

Comme \(701{,}50 \lt 803 \lt 900\), la formule B est la plus avantageuse.

4. Le budget de 1 000 € suffit-il (location B, carburant et péages de 115,80 €) ?

La voiture consomme 5,6 L aux 100 km. Pour 1 606 km :

\[1\,606 \times \frac{5{,}6}{100} = 89{,}936\ \text{L}.\]

À 1,87 € le litre, le carburant coûte \(89{,}936 \times 1{,}87 = 168{,}180\,32\), soit environ 168,18 €.

Coût total : \(701{,}50 + 168{,}18 + 115{,}80 = 985{,}48\) €.

Comme \(985{,}48 \lt 1\,000\), le budget de 1 000 € est suffisant.

Partie B : étude des trois formules

5. Prix payé en fonction du nombre \(x\) de kilomètres parcourus.

• Formule A : \(f_A(x) = 0{,}5x\) ;
• Formule B : \(f_B(x) = 0{,}25x + 300\) ;
• Formule C : \(f_C(x) = 900\) (prix fixe, indépendant de \(x\)).

6. Associer chaque formule à sa courbe.

• La formule A est une fonction linéaire : sa représentation est une droite passant par l’origine, c’est la courbe 3.
• La formule B est une fonction affine d’ordonnée à l’origine 300 : c’est la droite qui coupe l’axe des ordonnées en 300, la courbe 2.
• La formule C est une fonction constante égale à 900 : c’est la droite horizontale d’ordonnée 900, la courbe 1.

7. Résoudre \(0{,}25x + 300 = 0{,}5x\) et interpréter.

\[0{,}25x + 300 = 0{,}5x \iff 300 = 0{,}5x – 0{,}25x \iff 300 = 0{,}25x \iff x = \frac{300}{0{,}25} = 1\,200.\]

L’équation a une unique solution : \(x = 1\,200\). Pour 1 200 km parcourus, les formules A et B coûtent le même prix (\(0{,}5 \times 1\,200 = 600\) €). Graphiquement, 1 200 est l’abscisse du point d’intersection des courbes 2 et 3.

8. a. Formule la plus avantageuse pour 2 500 km.

Par lecture graphique, pour une abscisse de 2 500 la courbe 1 est en dessous des deux autres. Par le calcul : A coûte \(0{,}5 \times 2\,500 = 1\,250\) €, B coûte \(0{,}25 \times 2\,500 + 300 = 925\) € et C coûte 900 €. La formule C est la plus avantageuse.

8. b. Une distance pour laquelle la formule A est la plus intéressante.

Il faut que la courbe 3 soit la plus basse, ce qui est le cas pour les distances comprises entre 0 et 1 200 km. Par exemple, pour 1 000 km : A coûte 500 €, B coûte 550 € et C coûte 900 €. Toute distance strictement inférieure à 1 200 km convient (à 1 200 km, A et B sont à égalité).

8. c. Quelle formule choisir selon la distance ?

On calcule aussi l’égalité entre B et C : \(0{,}25x + 300 = 900 \iff 0{,}25x = 600 \iff x = 2\,400\). On en déduit :

• de 0 à 1 200 km, la formule A est la moins chère ;
• de 1 200 à 2 400 km, la formule B est la moins chère ;
• au-delà de 2 400 km, la formule C est la moins chère.

À exactement 1 200 km, A et B coûtent le même prix (600 €) ; à exactement 2 400 km, B et C coûtent le même prix (900 €).

Exercice 5 :

Algorithmique avec Scratch, 16 points. Aucune justification n’était attendue ; on en donne quelques-unes.

1. Coordonnées du lutin au départ.

Le bloc « aller à x : −100 y : 0 » place le lutin au point de coordonnées \((-100 ; 0)\).

2. Tracer le motif (1 cm pour 20 pas).

Le script du motif fonctionne ainsi :

• le lutin part du point \((-100 ; 0)\) en regardant vers la droite, et la variable « côté » vaut 80 ;
• il avance de 80 pas, soit \(80 : 20 = 4\) cm sur la figure ;
• il tourne de 120° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : le segment suivant fait donc un angle de \(180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\) avec le précédent ;
• en répétant trois fois « avancer de 80, tourner de 120° », il trace un triangle équilatéral de côté 4 cm et revient à son point de départ, orienté comme au début puisqu’il a tourné de \(3 \times 120^\circ = 360^\circ\) ;
• la seconde boucle trace un deuxième triangle équilatéral de même côté, en tournant cette fois dans l’autre sens : il a le premier côté en commun avec le premier triangle mais se trouve de l’autre côté.

On obtient deux triangles équilatéraux accolés, qui forment un losange :

3. Associer chaque script à sa figure.

• Script n° 1 → figure B. Il trace le motif, se décale de 100 pas vers la droite (le motif ne mesurant que 80 pas de large, il reste un espace de 20 pas), trace à nouveau le motif, puis recommence : trois motifs identiques côte à côte.
• Script n° 2 → figure A. Il trace le motif avec un côté de 80 pas, puis, sans se déplacer, le retrace avec un côté multiplié par 1,2 (96 pas), puis encore multiplié par 1,2 (115,2 pas) : trois motifs de plus en plus grands, emboîtés à partir du même point.
• Script n° 3 → figure C (par élimination). Il trace le motif, tourne de 120° autour du point de départ, retrace le motif, et recommence : les trois losanges forment un hexagone découpé en six triangles équilatéraux.

4. On s’intéresse au script n° 2.

a. Combien de fois le bloc « motif » est-il exécuté ? La boucle est répétée trois fois : le bloc « motif » est exécuté 3 fois.

b. Valeur de la variable « côté » à la fin du script. À chaque passage dans la boucle, « côté » est multiplié par 1,2 après le tracé du motif. Après trois passages :

\[80 \times 1{,}2^3 = 80 \times 1{,}728 = 138{,}24.\]

À la fin du script, la variable « côté » vaut 138,24. Attention : aucun motif n’est tracé avec ce côté ; les trois motifs ont pour côtés 80, 96 et 115,2 pas. Il faudrait une quatrième répétition pour tracer un motif de côté 138,24 pas.