Voici le corrigé complet du brevet blanc de maths 2025 n° 1, un sujet d’entraînement de 2 heures sur 100 points construit comme l’épreuve officielle de 3e. Il comporte cinq exercices indépendants. Le premier est un QCM qui balaie le programme : probabilité d’un tirage dans une urne, vue de droite d’un solide, théorème de Thalès, engrenage et homothétie. Le deuxième travaille les fonctions : images, antécédents, lecture d’un tableur, développement et équation produit. Le troisième, consacré aux félins, mobilise les probabilités, la conversion d’une vitesse en m/s, un pourcentage d’évolution et le repérage sur une carte par latitude et longitude. Le quatrième associe Pythagore, trigonométrie et volume d’un prisme droit pour un terrassement. Le dernier porte sur un programme Scratch qui trace des losanges. Chaque réponse est justifiée et les calculs sont détaillés pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet blanc de maths 2025 avec sujet et corrigé n°1. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM, 20 points : probabilités, vue d’un solide, Thalès, engrenage, homothétie
1. Une urne contient trois jetons verts et deux jetons blancs ; on cherche la probabilité de tirer un jeton blanc.
Il y a \(3 + 2 = 5\) jetons, tous ayant la même chance d’être tirés, dont 2 blancs. La probabilité vaut donc \(\dfrac{2}{5} = 0{,}4\). Réponse C.
2. On cherche la vue de droite du solide formé de cubes.
En regardant le solide dans le sens de la flèche, on retrouve la silhouette dessinée en B. Réponse B.
3. Les points B, H, A d’une part et B, D, C d’autre part sont alignés, avec \((DH) \parallel (AC)\), \(BD = 2\) cm, \(BC = 10\) cm et \(AC = 16\) cm. On cherche \(DH\).
Les droites \((HD)\) et \((AC)\) sont parallèles et coupent les deux droites sécantes en B : d’après le théorème de Thalès,
\[\frac{BH}{BA} = \frac{BD}{BC} = \frac{DH}{AC}, \quad \text{donc} \quad \frac{DH}{16} = \frac{2}{10}.\]
D’où \(DH = 16 \times \dfrac{2}{10} = \dfrac{32}{10} = 3{,}2\) cm. Réponse A.
4. Un engrenage associe une grande roue de 12 dents et une petite roue de 9 dents. La petite roue fait 4 tours complets : combien de tours fait la grande ?
Quand la petite roue fait 4 tours, \(4 \times 9 = 36\) dents passent au point de contact. La grande roue avance donc elle aussi de 36 dents, ce qui représente \(\dfrac{36}{12} = 3\) tours complets. Réponse A.
5. Le carré AGFE est l’image du carré ADCB par une homothétie de centre A ; on cherche le triangle dont l’image est EGF.
Sur le quadrillage, le côté du petit carré mesure 1 carreau et celui du grand 2 carreaux, et les deux carrés sont de part et d’autre de A : c’est l’homothétie de centre A et de rapport \(-2\). Elle envoie D (à droite de A) sur G (deux carreaux à gauche), B (au-dessus de A) sur E (deux carreaux en dessous) et C sur F. Le triangle EGF est donc l’image du triangle BDC. Réponse C.
Exercice 2 :
Fonctions, tableur et équation produit, 24 points
On travaille avec \(f(x) = x^2 – x – 6\) et \(g(x) = -2x\).
1. a) Montrer que l’image de 5 par \(f\) est 14.
\[f(5) = 5^2 – 5 – 6 = 25 – 5 – 6 = 14.\]
L’image de 5 par \(f\) est bien 14.
1. b) Déterminer l’antécédent de 4 par \(g\).
On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 4\), c’est-à-dire \(-2x = 4\). En divisant par \(-2\) : \(x = \dfrac{4}{-2} = -2\). L’antécédent de 4 par \(g\) est \(-2\) (vérification : \(g(-2) = -2 \times (-2) = 4\)).
Le tableur fournit les valeurs suivantes :
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
| 2 | \(f(x) = x^2 – x – 6\) | 14 | 6 | 0 | \(-4\) | \(-6\) | \(-6\) | \(-4\) |
| 3 | \(g(x) = -2x\) | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | \(-2\) | \(-4\) |
1. c) Citer deux antécédents de 14 par \(f\).
D’après la question a), \(f(5) = 14\), et le tableur (cellule B2) indique \(f(-4) = 14\). Deux antécédents de 14 par \(f\) sont donc \(-4\) et 5.
1. d) Quelle formule a-t-on saisie en B2 avant de l’étirer jusqu’à H2 ?
La cellule B2 doit calculer \(f\) du nombre écrit en B1 : on a pu saisir =B1*B1-B1-6 (ou encore =B1^2-B1-6).
1. e) Existe-t-il un nombre qui a la même image par \(f\) et par \(g\) ?
On compare les lignes 2 et 3 du tableur : \(f(-3) = 6 = g(-3)\) et \(f(2) = -4 = g(2)\). Oui : \(-3\) et 2 ont la même image par \(f\) et par \(g\).
Pour aller plus loin, \(f(x) = g(x)\) équivaut à \(x^2 – x – 6 = -2x\), soit \(x^2 + x – 6 = 0\), c’est-à-dire \((x + 3)(x – 2) = 0\) : ce sont les deux seuls nombres qui conviennent.
2. a) Montrer que, pour tout nombre \(x\), \(f(x) = (x + 2)(x – 3)\).
On développe le membre de droite :
\[(x + 2)(x – 3) = x^2 – 3x + 2x – 6 = x^2 – x – 6 = f(x).\]
L’égalité est vraie pour tout nombre \(x\) : \(f(x) = (x + 2)(x – 3)\).
2. b) Résoudre l’équation \(f(x) = 0\).
D’après la question précédente, l’équation s’écrit \((x + 2)(x – 3) = 0\). C’est une équation produit : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
\(x + 2 = 0\) donne \(x = -2\) ; \(x – 3 = 0\) donne \(x = 3\).
L’équation a deux solutions : \(-2\) et 3 (ce que confirme le tableur, où \(f(-2) = 0\)).
Exercice 3 :
Les félins : probabilités, vitesse, pourcentage, repérage sur la Terre, 22 points
1. Vérifier que le chat à pieds noirs a la plus grande probabilité d’attraper sa proie.
On écrit toutes les probabilités du tableau sous forme décimale :
- le lion : \(25\,\% = \dfrac{25}{100} = 0{,}25\) ;
- le guépard : \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\) ;
- le tigre : \(0{,}1\) ;
- le chat à pieds noirs : \(\dfrac{6}{10} = 0{,}6\).
Comme \(0{,}1 \lt 0{,}25 \lt 0{,}5 \lt 0{,}6\), c’est bien le chat à pieds noirs qui a la probabilité la plus élevée d’attraper sa proie.
2. À 115 km/h, en combien de secondes le guépard parcourt-il 100 m (au centième près) ?
115 km/h signifie 115 000 m en 3 600 s. La vitesse en mètres par seconde vaut donc
\[v = \frac{115\,000}{3\,600} = \frac{1\,150}{36} \approx 31{,}94 \text{ m/s}.\]
Avec \(v = \dfrac{d}{t}\), on a \(t = \dfrac{d}{v}\), d’où pour \(d = 100\) m :
\[t = \frac{100}{\frac{1\,150}{36}} = \frac{100 \times 36}{1\,150} = \frac{3\,600}{1\,150} \approx 3{,}130 \text{ s}.\]
Le guépard parcourt 100 m en environ 3,13 secondes.
3. Il y avait 1 200 guépards en 1999 et 170 en 2016. Est-il vrai que leur nombre a baissé d’environ 86 % ?
La baisse est de \(1\,200 – 170 = 1\,030\) guépards. Rapportée à l’effectif de départ :
\[\frac{1\,030}{1\,200} \approx 0{,}858 \text{, soit environ } 85{,}8\,\%.\]
Autre façon de voir : \(\dfrac{170}{1\,200} \approx 0{,}142\), il reste environ 14 % des guépards, donc la baisse est d’environ \(100 – 14 = 86\,\%\). L’affirmation est vraie : à l’unité près, le nombre de guépards a baissé d’environ 86 %.
4. Donner approximativement la latitude et la longitude du parc national d’Etosha à l’aide de la carte.
Sur la carte, le parc est situé sous l’équateur, un peu au-dessus du parallèle 20° : il est dans l’hémisphère Sud. Il se trouve à droite du méridien de Greenwich, entre les méridiens 10° et 20° Est. On peut donc donner une latitude d’environ 20° Sud et une longitude d’environ 15° Est.
Exercice 4 :
Terrassement : Pythagore, trigonométrie et volume d’un prisme, 20 points
Le triangle ABC est rectangle en C, avec \(AC = 2{,}6\) m et \(AB = 17\) m. La maison sera construite sur le terrain horizontal [BC].
1. Justifier que \(CB = 16{,}8\) m.
Le triangle ABC est rectangle en C, d’hypoténuse [AB]. D’après le théorème de Pythagore :
\[AB^2 = AC^2 + CB^2, \quad \text{donc} \quad CB^2 = AB^2 – AC^2 = 17^2 – 2{,}6^2 = 289 – 6{,}76 = 282{,}24.\]
Comme une longueur est positive, \(CB = \sqrt{282{,}24} = 16{,}8\). On a bien \(CB = 16{,}8\) m.
2. Si l’angle \(\widehat{ABC}\) mesure plus de 8,5°, les travaux coûteront plus cher. Est-ce le cas ?
Dans le triangle ABC rectangle en C, [AC] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{ABC}\) et [CB] le côté adjacent :
\[\tan \widehat{ABC} = \frac{AC}{CB} = \frac{2{,}6}{16{,}8} \approx 0{,}1548.\]
La calculatrice (touche arctan ou \(\tan^{-1}\)) donne \(\widehat{ABC} \approx 8{,}8°\). (On obtient le même résultat avec \(\sin \widehat{ABC} = \dfrac{2{,}6}{17}\).)
Comme \(8{,}8° \gt 8{,}5°\), il y aura un surcoût des travaux.
3. La terre enlevée forme un prisme droit CBAFED de bases triangulaires ACB et DFE et de hauteur \(CF = AD = 30\) m. Calculer son volume.
L’aire de la base ACB, triangle rectangle en C, vaut
\[\mathcal{A} = \frac{AC \times CB}{2} = \frac{2{,}6 \times 16{,}8}{2} = 21{,}84 \text{ m}^2.\]
Le volume du prisme est l’aire d’une base multipliée par la hauteur :
\[V = 21{,}84 \times 30 = 655{,}2 \text{ m}^3.\]
Il faut enlever 655,2 m³ de terre.
Exercice 5 :
Programmation Scratch : losanges et motifs, 14 points
Le bloc « Losange » s’écrit :
définir Losange
stylo en position d'écriture
répéter 2 fois
avancer de 20
tourner ↻ de 60 degrés
avancer de a
tourner ↻ de b degrés
fin
relever le stylo
1. Par quelles valeurs remplacer a et b pour obtenir le losange ?
- Les quatre côtés d’un losange ont la même longueur : le lutin avance déjà de 20, donc a = 20.
- Pour tracer une figure fermée et revenir dans son orientation de départ, le lutin doit tourner au total de 360°. La boucle étant exécutée 2 fois, on veut \(2 \times (60 + b) = 360\), soit \(60 + b = 180\) et b = 120. Cela correspond aux angles du losange : des angles consécutifs sont supplémentaires, \(60° + 120° = 180°\).
2. Quelle figure obtient-on avec le bloc « Motif A » (répéter 3 fois : Losange, puis tourner ↻ de 60 degrés) ?
Après chaque losange, le lutin est revenu à son point de départ avec son orientation initiale. Il tourne ensuite de 60° et trace le losange suivant autour du même sommet. On obtient trois losanges accolés, qui forment la moitié de l’étoile de la figure 2 : c’est la figure 3. (La figure 2, avec six losanges, demanderait de répéter 6 fois.)
3. Écrire un script du bloc « Motif B », qui trace trois losanges côte à côte.
Ici les losanges ne tournent pas : ils sont simplement décalés vers la droite. Après un losange, le lutin a relevé son stylo et regarde de nouveau vers la droite ; il suffit de le faire avancer avant de tracer le losange suivant. Chaque losange occupe une largeur de \(20 + 20 \times \cos 60° = 30\) pas ; en avançant de 40, on laisse un petit espace entre deux losanges, comme sur la figure :
définir Motif B
répéter 3 fois
Losange
avancer de 40
fin
Le stylo étant relevé à la fin du bloc « Losange », le déplacement de 40 ne laisse aucun trait.
