Corrigé du sujet
Partie 1 — Automatismes :
Question 1. On lit d’abord l’abscisse sur l’axe horizontal : A est sur la verticale passant par \(-2\). On lit ensuite l’ordonnée sur l’axe vertical : A est sur l’horizontale passant par 2. Les coordonnées sont donc \(\text{A}(-2\,;\,2)\).
Question 2. Le symétrique de K par rapport à O est le point K’ tel que O soit le milieu de [KK’]. Pour aller de K à O, on se déplace de 2 carreaux vers la gauche et de 2 carreaux vers le bas ; en refaisant le même déplacement depuis O, on arrive sur M. Le symétrique de K est donc le point M.
Question 3. L’aire d’un triangle se calcule par \(\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\). Si l’on prend [AC] pour base, la hauteur associée est le segment [BD], perpendiculaire à (AC). L’aire vaut donc \(\text{AC} \times \text{BD} : 2\) : réponse B. (La réponse A donne le périmètre, et la réponse D oublie la division par 2.)
Question 4. Dans la liste, on compte les « pile » : il y en a 4 (1er, 2e, 4e et 9e lancers) sur 10 lancers. La fréquence est l’effectif divisé par l’effectif total, soit \(\dfrac{4}{10}\) : réponse C. On peut aussi l’écrire \(\dfrac{2}{5}\) ou \(0{,}4\).
Question 5. Prendre la moitié d’un nombre, c’est le diviser par 2 : la moitié de \(n\) est \(\dfrac{n}{2}\), réponse D. Les autres expressions donnent le double (\(2n\)), le carré (\(n^2\)) et « \(n\) augmenté de 2 ».
Question 6. Une heure dure 60 minutes, donc un dixième d’heure dure \(60 : 10 = 6\) minutes : réponse C.
Question 7. La moyenne est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs : \(\dfrac{10 + 10 + 12 + 16}{4} = \dfrac{48}{4} = 12\). La moyenne de la série est 12.
Question 8. Les codages montrent deux côtés de même longueur : le triangle est isocèle et ses deux angles à la base sont égaux (ils valent tous les deux \(x\)). La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc \(x + x + 120 = 180\), soit \(2x = 60\) et \(x = 30^\circ\).
Question 9. On utilise la relation \(t = \dfrac{d}{v}\) : \(t = \dfrac{15}{20} = 0{,}75\) h. Or \(0{,}75 \times 60 = 45\), donc le trajet dure 45 minutes (trois quarts d’heure).
Exercice 1 :
1. Les points T, A et M sont alignés, et A se trouve entre T et M. On a donc \(\text{TM} = \text{TA} + \text{AM}\), d’où \(\text{AM} = \text{TM} – \text{TA} = 7{,}7 – 2{,}2 = 5{,}5\). On a bien AM = 5,5 m.
2. Le triangle ABM est rectangle en A, d’hypoténuse [MB]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{MB}^2 = \text{AB}^2 + \text{AM}^2\]
donc \(\text{AB}^2 = \text{MB}^2 – \text{AM}^2 = 7{,}3^2 – 5{,}5^2 = 53{,}29 – 30{,}25 = 23{,}04\).
Une longueur étant positive, \(\text{AB} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\). On a bien AB = 4,8 m.
3. Dans le triangle ABM rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{\text{ABM}}\), le côté adjacent est [AB] et l’hypoténuse est [BM]. On utilise donc le cosinus :
\[\cos(\widehat{\text{ABM}}) = \dfrac{\text{AB}}{\text{BM}} = \dfrac{4{,}8}{7{,}3}\]
À la calculatrice, \(\widehat{\text{ABM}} = \arccos(\dfrac{4{,}8}{7{,}3}) \approx 48{,}9^\circ\), soit \(\widehat{\text{ABM}} \approx 49^\circ\) au degré près.
4. Les droites (EB) et (TM) sont sécantes en A. Les points E, A, B sont alignés dans cet ordre, et les points T, A, M aussi, dans le même ordre (la configuration est « en papillon »). On compare les rapports de longueurs :
\[\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} = \dfrac{1{,}92}{4{,}8} = 0{,}4 \qquad \text{et} \qquad \dfrac{\text{AT}}{\text{AM}} = \dfrac{2{,}2}{5{,}5} = 0{,}4\]
Les deux rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TE) et (BM) sont parallèles.
5. L’homothétie de centre A envoie T sur M et E sur B. Son rapport a pour valeur absolue \(\dfrac{\text{AM}}{\text{AT}} = \dfrac{5{,}5}{2{,}2} = 2{,}5\). Comme T et son image M sont de part et d’autre du centre A, le rapport est négatif : il vaut \(-2{,}5\). C’est la proposition 3. (Le rapport \(-0{,}4\) serait celui de l’homothétie inverse, qui transforme ABM en AET.)
Exercice 2 :
1. On applique le programme A au nombre 1 : \(1 – 2 = -1\), puis \(-1 \times 5 = -5\), puis on ajoute le triple de 1, c’est-à-dire 3 : \(-5 + 3 = -2\). On obtient bien \(-2\).
2. a. Avec le nombre \(x\) : on obtient \(x – 2\), puis \(5(x – 2) = 5x – 10\), puis on ajoute \(3x\) : \(5x – 10 + 3x = 8x – 10\). Le résultat du programme est bien \(8x – 10\).
b. On cherche \(x\) tel que \(8x – 10 = 0\). On ajoute 10 aux deux membres : \(8x = 10\), puis on divise par 8 : \(x = \dfrac{10}{8} = 1{,}25\). Il faut choisir 1,25 comme nombre de départ.
3. a. Le script demande un nombre (stocké dans « réponse »), le multiplie par 4, retranche 5 au résultat, multiplie le tout par 2 puis affiche la valeur obtenue. Avec 1 : \(4 \times 1 = 4\), puis \(4 – 5 = -1\), puis \(2 \times (-1) = -2\). Le lutin dit \(-2\).
b. On applique le programme B à un nombre \(x\) quelconque : on obtient \(4x\), puis \(4x – 5\), puis \(2(4x – 5) = 8x – 10\). D’après la question 2.a, le programme A donne aussi \(8x – 10\). Les deux expressions sont identiques, donc les programmes A et B donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre de départ.
Exercice 3 :
1. Avec le tarif B, on paie l’abonnement de 15 € puis 3,50 € par demi-journée : \(15 + 3{,}5 \times 12 = 15 + 42 = 57\). Le prix est de 57 €.
2. \(f\) correspond au tarif B (15 € d’abonnement plus 3,50 € par demi-journée), \(g\) correspond au tarif C (64 € quel que soit le nombre de demi-journées) et \(h\) correspond au tarif A (5,50 € par demi-journée, sans frais fixes).
3. La droite horizontale \((d_2)\) représente une fonction constante : c’est \(g\). La droite \((d_3)\) passe par l’origine : elle représente la fonction linéaire \(h\). La droite \((d_1)\) coupe l’axe des ordonnées en 15 : elle représente la fonction affine \(f\).
4. Une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l’origine du repère. La droite \((d_1)\) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées \((0\,;\,15)\) et non à l’origine. Par exemple, 1 demi-journée coûte 18,50 € mais 2 demi-journées coûtent 22 €, pas le double. Donc \((d_1)\) ne représente pas une situation de proportionnalité.
5. Le tarif B est plus avantageux que le tarif A lorsque la droite \((d_1)\) est au-dessous de la droite \((d_3)\). Les deux droites se croisent entre 7 et 8 demi-journées (en 7,5) ; le nombre de demi-journées étant entier, le tarif B devient plus avantageux à partir de 8 demi-journées. Contrôle : pour 7 demi-journées, B coûte 39,50 € et A coûte 38,50 € ; pour 8, B coûte 43 € et A coûte 44 €.
6. a. La formule doit utiliser le nombre de demi-journées écrit dans la ligne 1 de la même colonne, pour s’adapter quand on l’étire : =15+3,5*x ne fonctionne pas (le tableur ne connaît pas « x ») et =15+3,5*1 donnerait 18,5 dans toutes les cellules. La formule saisie en B2 est =15+3,5*B1 : en l’étirant, B1 devient C1, D1, etc.
b. Le tarif C coûte toujours 64 €. Dans le tableau, le tarif B vaut 60,50 € pour 13 demi-journées (moins cher que C), exactement 64 € pour 14 demi-journées (même prix que C), puis 67,50 € pour 15 demi-journées. Le tarif C est donc strictement plus avantageux à partir de 15 demi-journées ; pour 14 demi-journées, les tarifs B et C sont égaux.
Retour à l’énoncé : Brevet de maths 2026 aux Antilles-Guyane : sujet et corrigé.
