Première · Fiche méthode 8 sur 12 · Suites
Comment calculer la somme des termes d'une suite ?
Pour une suite arithmétique : $S = \dfrac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier}+\text{dernier})}{2}$. Pour une suite géométrique de raison $q\neq 1$ : $S = \text{premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$.
La méthode en 5 étapes
1Identifier la nature de la suite
Arithmétique ou géométrique : les deux formules sont totalement différentes.
2Compter les termes
De $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes, pas $n$. De $u_1$ à $u_n$, il y en a $n$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
3Repérer le premier et le dernier terme
Pour la formule arithmétique, on a besoin de leurs valeurs ; on les calcule avec le terme général si nécessaire.
4Appliquer la formule
On remplace, puis on calcule. Pour la formule géométrique, on vérifie d'abord que $q\neq 1$ ; sinon la somme vaut simplement le nombre de termes multiplié par la valeur commune.
5Contrôler l'ordre de grandeur
La somme doit se situer entre (nombre de termes $\times$ plus petit terme) et (nombre de termes $\times$ plus grand terme).
Un exemple entièrement résolu
Calculer $S = 1+2+3+\cdots+100$, puis $T = 1+2+4+8+\cdots+2^{10}$.
Suite arithmétique de raison $1$, premier terme $1$, dernier terme $100$, soit $100$ termes.
$S = \dfrac{100\times(1+100)}{2}=\dfrac{100\times 101}{2}=5\,050$.
Suite géométrique de raison $2$, premier terme $1$. Les exposants vont de $0$ à $10$ : il y a $11$ termes.
$T = 1\times\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=\dfrac{1-2048}{-1}=2\,047$.
Conclusion. $S = 5\,050$ et $T = 2\,047$.
Les erreurs à ne pas faire
- Se tromper d'un terme dans le comptage : de $u_0$ à $u_{10}$, il y a onze termes.
- Appliquer la formule arithmétique à une suite géométrique, ou l'inverse.
- Oublier de vérifier $q\neq 1$ avant d'utiliser la formule géométrique.
- Utiliser le terme de rang $n+1$ comme dernier terme dans la formule arithmétique.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer la somme des $50$ premiers entiers impairs : $1+3+5+\cdots+99$.
Voir le corrigé
Suite arithmétique de raison $2$, premier terme $1$, dernier $99$, $50$ termes.
$S = \dfrac{50\times(1+99)}{2}=\dfrac{50\times 100}{2}=2\,500$.
- Exercice 2
$(u_n)$ est arithmétique de raison $3$ avec $u_0 = 4$. Calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{20}$.
Voir le corrigé
$u_{20} = 4+20\times 3 = 64$, et il y a $21$ termes.
$S = \dfrac{21\times(4+64)}{2}=\dfrac{21\times 68}{2}=714$.
- Exercice 3
Calculer $S = 3+3\times 0{,}5+3\times 0{,}5^2+\cdots+3\times 0{,}5^{9}$.
Voir le corrigé
Suite géométrique de premier terme $3$, raison $0{,}5$, avec $10$ termes.
$S = 3\times\dfrac{1-0{,}5^{10}}{1-0{,}5}=3\times\dfrac{1-0{,}000977}{0{,}5}\approx 5{,}994$.
Questions fréquentes
D'où vient la formule de la somme arithmétique ?
De l'astuce attribuée au jeune Gauss : on écrit la somme dans un sens puis dans l'autre et on additionne terme à terme. Chaque paire donne (premier $+$ dernier), et il y a autant de paires que de termes. On divise donc par deux le produit obtenu.
Que devient la somme géométrique quand n grandit ?
Si $|q|<1$, $q^n$ tend vers $0$ et la somme se rapproche de $\dfrac{\text{premier terme}}{1-q}$ : elle converge. Si $|q|>1$, elle croît sans limite. C'est le point de départ des séries géométriques étudiées en terminale.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Suites en Première, voici le reste des ressources du site :