Terminale · Fiche méthode 12 sur 12 · Suites
Comment étudier la convergence d'une suite ?
Trois outils principaux : les limites de référence (dont $q^n$ selon la valeur de $q$), le théorème de la limite monotone (une suite croissante et majorée converge), et le théorème des gendarmes quand la suite est encadrée.
La méthode en 5 étapes
1Reconnaître une suite usuelle
Géométrique de raison $q$ : si $-1
2Étudier la monotonie
Signe de $u_{n+1}-u_n$, ou comparaison de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ pour une suite à termes strictement positifs.
3Chercher une borne
Une démonstration par récurrence établit souvent que la suite est majorée ou minorée.
4Appliquer le théorème de la limite monotone
Croissante et majorée : la suite converge. Décroissante et minorée : elle converge aussi. Croissante et non majorée : elle tend vers $+\infty$.
5Déterminer la limite
Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, la limite $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ : on résout cette équation, puis on choisit la solution compatible avec l'encadrement établi.
Un exemple entièrement résolu
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n+6}{2}$. Montrer qu'elle est croissante et majorée par $6$, puis déterminer sa limite.
$u_0 = 0\le 6$. Si $u_n\le 6$, alors $u_{n+1} = \dfrac{u_n+6}{2}\le\dfrac{12}{2}=6$. Donc $u_n\le 6$ pour tout $n$.
$u_{n+1}-u_n = \dfrac{u_n+6}{2}-u_n = \dfrac{6-u_n}{2}\ge 0$ puisque $u_n\le 6$. La suite est croissante.
Croissante et majorée par $6$ : d'après le théorème de la limite monotone, $(u_n)$ converge vers un réel $\ell\le 6$.
La fonction $x\mapsto\dfrac{x+6}{2}$ est continue, donc $\ell = \dfrac{\ell+6}{2}$, soit $2\ell = \ell+6$ et $\ell = 6$.
Conclusion. $(u_n)$ est croissante, majorée par $6$, et converge vers $6$.
Les erreurs à ne pas faire
- Conclure qu'une suite croissante converge : il faut aussi qu'elle soit majorée.
- Résoudre $\ell = f(\ell)$ sans avoir démontré la convergence au préalable : cette équation donne la limite si elle existe.
- Oublier de discuter la valeur de $q$ pour une suite géométrique, notamment le cas $q\le -1$ où la suite n'a pas de limite.
- Confondre majorée et convergente : $u_n = (-1)^n$ est bornée mais ne converge pas.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Déterminer la limite de $u_n = 3\times 0{,}8^n$ et de $v_n = 2\times 1{,}5^n$.
Voir le corrigé
$0{,}8\in\,]-1\,;1[$ donc $0{,}8^n\to 0$ : $u_n\to 0$.
$1{,}5>1$ donc $1{,}5^n\to+\infty$ : $v_n\to+\infty$.
- Exercice 2
Déterminer la limite de $u_n = \dfrac{2n+3}{n+1}$.
Voir le corrigé
Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise par $n$ : $\dfrac{n\left(2+\frac{3}{n}\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\dfrac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$.
La limite vaut $2$.
- Exercice 3
Soit $u_n = \dfrac{\sin n}{n}$ pour $n\ge 1$. Déterminer sa limite.
Voir le corrigé
Pour tout $n\ge 1$ : $-1\le\sin n\le 1$, donc $-\dfrac{1}{n}\le u_n\le\dfrac{1}{n}$.
Les deux bornes tendent vers $0$ : d'après le théorème des gendarmes, $u_n\to 0$.
Questions fréquentes
Une suite peut-elle ne pas avoir de limite ?
Oui : $u_n = (-1)^n$ alterne entre $-1$ et $1$ sans jamais se stabiliser. Elle est pourtant bornée. Il faut donc distinguer trois comportements : convergence vers un réel, divergence vers l'infini, et absence de limite.
À quoi sert le théorème des gendarmes ?
À conclure sur une suite compliquée en l'encadrant par deux suites simples de même limite. Il s'applique typiquement aux expressions contenant $\sin n$ ou $\cos n$, que l'on encadre par $-1$ et $1$ avant de diviser par une quantité qui tend vers l'infini.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Suites en Terminale, voici le reste des ressources du site :