Racine carrée : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de 3ème

Définition

La racine carrée d’un nombre positif \(a\) est l’unique nombre positif dont le carré vaut \(a\).

Notation : \(\sqrt{a}\) se lit « racine carrée de \(a\) ».

En clair

C’est l’opération qui « défait » le carré : la racine carrée de 49 est 7, car \(7^2 = 49\).

\(\sqrt{a} \ge 0\) et \((\sqrt a)^2 = a\) pour tout \(a \ge 0\).
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans \(\mathbb{R}\).
\(\sqrt{a \times b} = \sqrt a \times \sqrt b\) et \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\).
En revanche \(\sqrt{a + b} \ne \sqrt a + \sqrt b\).
\(\sqrt{a^2} = |a|\) : la racine du carré donne la valeur absolue.

\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2\). Et \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).

0, car \(0^2 = 0\).

Pas dans l’ensemble des nombres réels : aucun carré n’est négatif.

On cherche un carré parfait parmi les facteurs : \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt2\).

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