Troisième — chapitre 2 sur 11
Calcul littéral et identités remarquables
Les trois identités remarquables accélèrent développements et factorisations.
Théorème — identités remarquables
Pour tous nombres $a$ et $b$ : $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2.$$
Exemple
$(3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$ ; $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$ ; $(2x+7)(2x-7) = 4x^2 - 49$.
Méthode — factoriser
- Facteur commun : $x^2 - 3x = x(x-3)$.
- Différence de deux carrés : $x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$ ; $9x^2 - 25 = (3x+5)(3x-5)$.
- Carré parfait : $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.
Méthode — calcul mental
$101^2 = (100+1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$ ; $53\times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$.
Méthode — démontrer avec le calcul littéral
« La somme de deux entiers impairs est paire » : $(2n+1) + (2p+1) = 2(n+p+1)$, qui est pair.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Quelles sont les trois identités remarquables ?
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
Comment factoriser avec une identité remarquable ?
On reconnaît la forme développée : $x^2-9 = (x+3)(x-3)$ ; $x^2+6x+9 = (x+3)^2$.
Comment développer $(2x+3)^2$ ?
Avec $(a+b)^2$ : $(2x)^2+2\times2x\times3+3^2 = 4x^2+12x+9$.
À quoi servent les identités remarquables ?
À développer rapidement, à factoriser pour résoudre des équations produit nul, et à faire du calcul mental comme $101^2 = 10\,000+200+1$.