Seconde · Fiche méthode 12 sur 12 · Racines carrées
Comment calculer avec des racines carrées ?
Deux règles seulement : $\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ et $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$. En revanche, $\sqrt{a+b}$ ne vaut pas $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ : on n'additionne que des racines semblables.
La méthode en 5 étapes
1Simplifier chaque racine
On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre : $\sqrt{50} = \sqrt{25\times 2} = 5\sqrt{2}$.
2Regrouper les racines semblables
$3\sqrt{2}+5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$, comme on regroupe $3x+5x$. Des racines différentes ne se regroupent pas.
3Multiplier en séparant nombres et racines
$(3\sqrt{2})\times(4\sqrt{5}) = 12\sqrt{10}$ : on multiplie les coefficients entre eux et les racines entre elles.
4Développer comme d'habitude
Les identités remarquables s'appliquent, avec $(\sqrt{a})^2 = a$ : $(\sqrt{3}+1)^2 = 3+2\sqrt{3}+1 = 4+2\sqrt{3}$.
5Rendre le dénominateur entier
On multiplie numérateur et dénominateur par la racine : $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Un exemple entièrement résolu
Écrire $A = \sqrt{50}+3\sqrt{8}-\sqrt{18}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible.
$\sqrt{50} = \sqrt{25\times 2} = 5\sqrt{2}$ ; $\sqrt{8} = \sqrt{4\times 2} = 2\sqrt{2}$ ; $\sqrt{18} = \sqrt{9\times 2} = 3\sqrt{2}$.
$A = 5\sqrt{2}+3\times 2\sqrt{2}-3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}+6\sqrt{2}-3\sqrt{2}$.
Toutes les racines sont semblables : $5+6-3 = 8$.
$A = 8\sqrt{2}$.
Conclusion. $A = 8\sqrt{2}$, soit environ $11{,}31$.
Les erreurs à ne pas faire
- Écrire $\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ : avec $a = b = 4$ on obtiendrait $\sqrt{8} = 4$, ce qui est faux.
- Additionner des racines non semblables : $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ne se simplifie pas.
- Oublier de simplifier avant de comparer : $\sqrt{50}$ et $5\sqrt{2}$ sont le même nombre.
- Écrire $\sqrt{x^2} = x$ sans précaution : c'est vrai seulement si $x\ge 0$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Simplifier $\sqrt{45}$, $\sqrt{72}$ et $\sqrt{200}$.
Voir le corrigé
$\sqrt{45} = \sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$.
$\sqrt{72} = \sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}$.
$\sqrt{200} = \sqrt{100\times 2}=10\sqrt{2}$.
- Exercice 2
Développer $(2\sqrt{3}-1)^2$.
Voir le corrigé
$(2\sqrt{3})^2-2\times 2\sqrt{3}\times 1+1^2 = 4\times 3-4\sqrt{3}+1$.
$= 13-4\sqrt{3}$.
- Exercice 3
Écrire $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ sans racine au dénominateur.
Voir le corrigé
On multiplie en haut et en bas par $\sqrt{3}$ : $\dfrac{6\sqrt{3}}{3}$.
$= 2\sqrt{3}$.
Questions fréquentes
Pourquoi éviter une racine au dénominateur ?
C'est une convention d'écriture qui facilite les comparaisons et les calculs à la main : $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ se situe immédiatement autour de $0{,}7$, là où $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ demande une division. La forme sans racine au dénominateur est celle attendue dans les corrigés.
Comment savoir si une racine peut se simplifier ?
On cherche un carré parfait parmi ses diviseurs : $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$. Si aucun ne divise le nombre, la racine est déjà sous sa forme la plus simple, comme $\sqrt{15}$ ou $\sqrt{7}$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Racines carrées en Seconde, voici le reste des ressources du site :