Seconde — chapitre 1 sur 10
Ensembles de nombres et calcul numérique
De $\mathbb N$ à $\mathbb R$ : chaque ensemble contient le précédent, et $\sqrt2$ ou $\pi$ ne sont pas rationnels.
$\mathbb N$ (entiers naturels) $\subset \mathbb Z$ (entiers relatifs) $\subset \mathbb D$ (décimaux) $\subset \mathbb Q$ (rationnels $\frac pq$) $\subset \mathbb R$ (réels). $\dfrac13\in\mathbb Q$ mais $\notin\mathbb D$ ; $\sqrt2\in\mathbb R$ mais $\notin\mathbb Q$.
Pour $a, b\ge 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$, $\sqrt{\dfrac ab} = \dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ ($b>0$), $(\sqrt a)^2 = a$, $\sqrt{a^2} = |a|$. Attention : $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$ en général.
$\sqrt{50} = \sqrt{25\times 2} = 5\sqrt2$ ; $\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}$ ; $\sqrt{12}+\sqrt{27} = 2\sqrt3+3\sqrt3 = 5\sqrt3$.
$|x|$ est la distance de $x$ à $0$ : $|x| = x$ si $x\ge0$, $|x| = -x$ si $x<0$. $|a-b|$ est la distance entre $a$ et $b$. $|x-3|\le 2 \iff x\in[1\,;5]$.
$n$ est pair s'il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$ ; impair si $n = 2k+1$. Le carré d'un impair est impair : $(2k+1)^2 = 2(2k^2+2k)+1$.
Un contre-exemple suffit pour réfuter une affirmation universelle. La réciproque de « si $P$ alors $Q$ » est « si $Q$ alors $P$ » ; elle peut être fausse. « $P\iff Q$ » signifie que les deux implications sont vraies.