Discriminant : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de 1ère

Définition

Le discriminant d’un trinôme \(ax^2+bx+c\) est le nombre \(\Delta = b^2 – 4ac\). Son signe indique le nombre de racines du trinôme.

Notation : \(\Delta = b^2 – 4ac\) (la lettre grecque delta majuscule).

En clair

C’est le nombre qui « décide » : selon qu’il est positif, nul ou négatif, l’équation a deux, une ou aucune solution.

Si \(\Delta > 0\) : deux racines distinctes \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}\).
Si \(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0 = \dfrac{-b}{2a}\).
Si \(\Delta < 0\) : aucune racine réelle, et le trinôme garde le signe de \(a\).
Le nombre de racines correspond au nombre de points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.
Attention aux signes dans \(b^2 – 4ac\) quand \(c\) est négatif.

\(x^2 – 6x + 5\) : \(\Delta = 36 – 20 = 16 > 0\), donc \(x_1 = \dfrac{6-4}{2} = 1\) et \(x_2 = \dfrac{6+4}{2} = 5\).

delta — le symbole \(\Delta\) sert aussi à désigner une variation en physique.

Avec la formule \(\Delta = b^2 – 4ac\).

L’équation n’a aucune solution réelle : la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses.

\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\), lorsque \(\Delta \ge 0\).

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