Au programme de 1ère
Définition
La forme canonique d’un trinôme est son écriture \(a(x – \alpha)^2 + \beta\), où \((\alpha\,;\,\beta)\) sont les coordonnées du sommet de la parabole.
Notation : \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\).
En clair
C’est l’écriture qui « montre » le sommet : elle donne directement le maximum ou le minimum de la fonction.
Ce qu’il faut retenir
- Le sommet de la parabole a pour coordonnées \((\alpha\,;\,\beta)\).
- Si \(a > 0\), \(\beta\) est le minimum de la fonction ; si \(a < 0\), c'est son maximum.
- La droite d’équation \(x = \alpha\) est l’axe de symétrie de la parabole.
- La forme canonique s’obtient par une mise sous forme de carré, à l’aide d’une identité remarquable.
- Elle permet de résoudre l’équation sans passer par le discriminant.
Exemple
\(x^2 – 6x + 11 = (x-3)^2 + 2\) : le sommet est \((3\,;\,2)\), et le minimum de la fonction vaut 2.
À ne pas confondre avec
- Forme factorisée — la forme factorisée donne les racines, pas le sommet.
- Forme développée — la forme développée donne l’ordonnée à l’origine.
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Termes liés
Trinôme du second degré
Forme factorisée
Forme développée
Parabole
Sommet d'une parabole
Extremum
Identité remarquable
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Équation du second degré
Questions fréquentes sur « forme canonique »
À quoi sert la forme canonique ?
À lire directement le sommet de la parabole, donc l’extremum de la fonction et son axe de symétrie.
