Première — chapitre 1 sur 10
Second degré
Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ décide du nombre de racines, du signe et de la factorisation.
$f(x) = ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$. Forme canonique : $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. La courbe est une parabole de sommet $S(\alpha\,;\beta)$, tournée vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$.
$\Delta = b^2-4ac$.
- $\Delta>0$ : deux racines $x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.
- $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
- $\Delta<0$ : aucune racine réelle.
Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta = 0$ : $a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta<0$ : pas de factorisation dans $\mathbb R$.
$x_1+x_2 = -\dfrac ba$ et $x_1x_2 = \dfrac ca$. Utile pour trouver la seconde racine quand la première est évidente.
Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines. Si $\Delta\le 0$, il est toujours du signe de $a$ (sauf en la racine double où il s'annule).
$2x^2-3x-2$ : $\Delta = 9+16 = 25$, racines $2$ et $-\dfrac12$. $2x^2-3x-2 = 2(x-2)\left(x+\dfrac12\right) = (x-2)(2x+1)$ ; négatif sur $\left]-\dfrac12\,;2\right[$.