Première — chapitre 1 sur 10

Second degré

Q: Comment résoudre une équation du second degré ?

On calcule le discriminant = b^2-4ac. Si >0, deux solutions x = (-b√)/(2a) ; si = 0, une solution x = - b2a ; si <0, aucune solution réelle.

Q: Qu'est-ce que la forme canonique ?

f(x) = a(x-)^2+ avec = - b2a et = f(). Elle donne directement le sommet (;) de la parabole.

Q: Comment factoriser un trinôme ?

Si ≥0, ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) avec x_1, x_2 les racines. Si <0, pas de factorisation dans R.

Q: Comment étudier le signe d'un trinôme ?

Il est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a entre les racines ; s'il n'y a pas de racine, il est toujours du signe de a.

Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ décide du nombre de racines, du signe et de la factorisation.

Fais varier $a$, $b$, $c$ : observe le sommet, le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses et le signe de $\Delta$.

Définition — trinôme, forme canonique

$f(x) = ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$. Forme canonique : $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. La courbe est une parabole de sommet $S(\alpha\,;\beta)$, tournée vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$.

Théorème — résolution de $ax^2+bx+c = 0$

$\Delta = b^2-4ac$.

$\Delta>0$ : deux racines $x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.
$\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
$\Delta<0$ : aucune racine réelle.

Propriété — factorisation

Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta = 0$ : $a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta<0$ : pas de factorisation dans $\mathbb R$.

Propriété — somme et produit des racines

$x_1+x_2 = -\dfrac ba$ et $x_1x_2 = \dfrac ca$. Utile pour trouver la seconde racine quand la première est évidente.

Théorème — signe du trinôme

Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines. Si $\Delta\le 0$, il est toujours du signe de $a$ (sauf en la racine double où il s'annule).

Exemple

$2x^2-3x-2$ : $\Delta = 9+16 = 25$, racines $2$ et $-\dfrac12$. $2x^2-3x-2 = 2(x-2)\left(x+\dfrac12\right) = (x-2)(2x+1)$ ; négatif sur $\left]-\dfrac12\,;2\right[$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment résoudre une équation du second degré ?

On calcule le discriminant $\Delta = b^2-4ac$. Si $\Delta>0$, deux solutions $x = \dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ; si $\Delta = 0$, une solution $x = -\dfrac b{2a}$ ; si $\Delta<0$, aucune solution réelle.

Qu'est-ce que la forme canonique ?

$f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha = -\dfrac b{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Elle donne directement le sommet $(\alpha\,;\beta)$ de la parabole.

Comment factoriser un trinôme ?

Si $\Delta\ge0$, $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1$, $x_2$ les racines. Si $\Delta<0$, pas de factorisation dans $\mathbb R$.

Comment étudier le signe d'un trinôme ?

Il est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines ; s'il n'y a pas de racine, il est toujours du signe de $a$.

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