Volúmenes y secciones: respuestas a los ejercicios de matemáticas de 3º de primaria en PDF.

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Respuestas a los ejercicios de matemáticas de 3ème sobre el cálculo de volúmenes y el estudio de secciones sólidas en el espacio. Conocer de memoria las fórmulas de volúmenes (bloque recto, cubo, prisma, cono de revolución, bola, cilindro y pirámide) y estudiar secciones de sólidos en tercer curso.

Ejercicio 10:
El volumen del prisma recto viene dado por :

$V=Base\times \,hauteur=\frac{BA\times \,BC}{2}\times \,BF=\frac{5\times \,5}{2}\times \,5=62,5\,cm^3$

Ejercicio 11:

El volumen de un prisma recto viene dado por :

$V=\frac{base\times \,hauteur}{3}=\frac{\frac{CB\times \,AC}{2}\times \,AD}{3}$

$V=\frac{\frac{4\times \,5}{2}\times \,7}{3}$

$V=\frac{70}{3}$

$V=23,33\,\,mm^2$

Ejercicio 12:

El volumen de una pirámide viene dado por :

$V=\frac{base\times \,hauteur}{3}$

$V=\frac{8^2\times \,11}{3}=\frac{64\times \,11}{3}=\frac{704}{3}$

${\color{DarkRed}\,V=234,67\,\,cm^2}$

Ejercicio 13:

El volumen de un cilindro viene dado por :

$V=Base\times \,hauteur=\pi\times \,R^2\times \,h=\pi\times \,3^2\times \,5=45\pi$

Ejercicio 14:

El volumen de un cono de revolución viene dado por :

$V=\frac{Base\times \,hauteur}{3}=\frac{\pi\times \,R^2\times \,hauteur}{3}$

$V=\frac{\pi\times \,6^2\times \,8}{3}=36\pi$

$V=113,1\,\,mm^2$

Ejercicio 15:

El volumen viene dado por

$V=L\times \,l\times \,h=4\times \,2\times \,1,5=12\,\,\,cm^3$

Ejercicio 16:

1/ a. Expresar SM en función de h de dos maneras diferentes.

SM = h-OM o h -SM = OM y SM/h = EF/AB =3/7 según Tales (difícil de esquematizar pero es lo que hay).

Prueba: S,E,A alineados, S,F,B alineados y (EF)//(AB) tenemos la igualdad de los ratios SE/SA = EF/AB = 3/7; Además S,O,M alineados y S,E y A alineados con (EM)//(AO). resulta que la relación SE/SA que es igual a 3/7 es también igual según Tales a SM/SO o SO=h.

Entonces SM = 3/7 h y SM = h-60

b. Deduce una ecuación para la que h sea una solución.

h-OM=3/7 h <==> 4/7h =OM

c. Resuelve esta ecuación para hallar el valor de h.

h = 7/4*OM = 7/4*60=7*60/4=7*15=105cm

d. Calcula el volumen de esta jardinera.

Volumen de una pirámide = 1/3 base * altura

Volumen de la jardinera = Volumen de la pirámide completa – Volumen de la parte superior de la pirámide cuya base es EFGH

Volumen de la pirámide completa = 1/3 * AB²*h = (1/3)x70²x105 = 171 500 $cm^{3}$

Volumen de la pirámide superior =1/3 * EF² * SM con SM=h -OM = 105-60 =45 cm

=(1/3)x30²x45 =13500 $cm^{3}$

Volumen de la jardinera = 171.500 -13.500 = 158.000 $cm^{3}$

2/He aquí cómo el matemático hindú Bhaskara calculó el volumen de un tronco de pirámide en el siglo XII:

La suma del área de las bases y el área de un rectángulo de anchura igual a la suma de la anchura de las bases y de longitud igual a la suma de la longitud de las bases, dividida por seis y multiplicada por la profundidad, da el volumen.

Aplica este método para calcular el volumen de la caja de flores anterior:

Volvamos a los términos que utilizamos:

«La suma de las áreas de las bases (la base misma al cuadrado) = AB²+EF²

«Un rectángulo de anchura es la suma de las anchuras de las bases (AB+EF) al ser un cuadrado la anchura es la longitud del lado.

» La longitud es la suma de las longitudes de las bases (AB+EF) por las mismas razones.

«El área de este rectángulo es (AB+EF)².

Así que tomamos las áreas de la base + la del hipotético rectángulo = (AB²+EF² +(AB+EF)²)

Esto se divide por 6 y luego se multiplica por la profundidad: ((AB²+EF² +(AB+EF)²)/6)*60 y se supone que se obtiene el volumen.

Esto da (70²+30²+100²)*10 ya que 60/6 = 10

El volumen según Bhaskara es : 105 800 $cm^{3}$

Ejercicio 17:

Damos: AB =6m, AE = 5m, AD = 1,80m, BC = 0,80m.

En el diagrama anterior, no se respetan las dimensiones.

1. Demuestra que el volumen de esta piscina es de 39 m ^{3 .}

$V_{ABCD}=\frac{(AD+BC)\times \,AB}{2}=\frac{(1,8+0,8)\times \,6}{2}=7,8m^2$

$V_{piscine}=V_{ABCD}\times \,AE=7,8\times \,5=39\,m^3$

2. Al final del verano, el Sr. Dujardin vacía su piscina con una bomba cuya potencia es de 5m ³ por hora. Calcula el número de ^m3 que quedan en la piscina al cabo de 5 horas.

En 5 horas habrá vaciado 25 , dejando 14 .

Ejercicio 18:

Aquí se muestra un depósito paralelepipédico para medir la altura del agua que cae en un jardín durante una lluvia (véase más abajo).

1. Las gotas de agua se consideran bolas de 4 mm de diámetro.

Calcula el volumen de una gota de agua. Indique su valor exacto.

El volumen de una bola o esfera es: 4/3 $\pi$ $R^{3}$ donde R es el radio de la esfera, 2 mm

entonces queda claro que la gota tiene un volumen de 32 $\pi$ /3 mm cúbicos.

2. La altura del agua caída durante este chaparrón es igual a 8 cm.

Calcula el número de gotas de agua que hay en el depósito. Se indica el valor aproximado por defecto.

Para ello, primero debemos contar el volumen de agua recogida en el recipiente.

4cm x 4cm x8cm = cubo de 16×8 cm= 128 $cm^{3}$ lo que equivale a 128.000 $mm^{3}$ de agua en el recipiente

A continuación, basta con dividir por el volumen de una gota para hallar el número de gotas.

128 000 /( 32 $\pi$ /3) = (3 * 128 000)/ (32 $\pi$ )= 384 000/ (32 $\pi$ ) $\approx$ 3819 gotas, por defecto aproximadas a la unidad

Después de la lluvia, el recipiente contiene 3819 gotas de agua.

Ejercicio 19:

Una pirámide SABCD de base rectangular por un plano paralelo a la base a 5 cm del vértice. AB=4,8 cm; BC=4,2 cm y SO =8 cm.

a. Calcular el coeficiente de reducción K entre las pirámides SABCD y SA’B’C’D’ .

$k=\frac{5}{8}$

b. Calcula el volumen de la pirámide SABCD .

$V=\frac{base\times \,hauteur}{3}$

$V=\frac{4,8\times \,4,2\,\times \,8}{3}$

${\color{DarkRed}\,V\simeq\,53,75\,cm^3}$

c. Deduce el volumen de la pirámide SA’B’C’D’ .

El volumen se multiplicará por

$k^3=(\frac{5}{8})^3=\frac{5^3}{8^3}=\frac{125}{512}$

$V_{SA'B'C'D'}=\frac{125}{512}V_{SABCD}$

$V_{SA'B'C'D'}=\frac{125}{512}\times \,53,75$

$V_{SA'B'C'D'}\simeq\,13,12\,cm^3$

Ejercicio 20:

una bola de latón de 10 cm de diámetro.

El latón es una aleación de 40% de zinc y 60% de cobre.

1) Calcula el volumen de esta bola (redondea a la 1/10 cm3 más próxima)

$V=\frac{4}{3}\pi\times \,R^3$

$V=\frac{4}{3}\pi\times \,5^3$

$V=\frac{500\pi}{3}\,cm^3$

${\color{DarkRed}\,V=523,6\,cm^3}$

2) Queremos cubrir esta bola con pintura dorada.

a) Calcula la superficie de la bola. Indique el valor exacto.

$A=4\pi\times \,R^2=4\pi\times 5^2=100\pi$

b) ¿Cuánta pintura se necesita si 1 dl cubre 0,1 m²?

$A\simeq\,314,16\,cm^2$

$A\simeq\,0,031416\,m^2$

$1dLrightarrow\,0,1\,m^2$

$xrightarrow\,0,031416\,m^2$

$x=\frac{1\times \,0,031416}{0,1}$

$x=0,31\,dL$

3) se sierra la bola a lo largo de un plano situado a 3 cm de su centro.

(a) Calcula el radio del círculo de sección, la longitud del círculo de sección y el área del disco de sección.

Indica los valores exactos y, a continuación, los valores redondeados a los cm y cm² más próximos.

En el triángulo ABC, que es rectángulo en A, según la parte directa del teorema de Pitágoras :

$L=2\pi\,R=2\pi\times \,5=10\pi\simeq\,32\,cm$

La longitud del círculo es de 32 cm.

$A=\pi\times \,R^2=\pi\times \,5^2=25\pi\simeq\,79\,cm$

La sección transversal del disco es de 79 cm.

Ejercicio 21:

$V=\frac{base\times \,hauteur}{3}=\frac{\pi\times \,R^2\times \,SO}{3}$

$V=\frac{\pi\times \,7^2\times \,12}{3}$

${\color{DarkRed}\,V=196\pi}$

El coeficiente de reducción es $k=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ .

El volumen se multiplicará por $k^3=(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$ .

$V'=\frac{1}{64}\times \,k^3=\frac{196}{64}\pi$

${\color{DarkRed}\,V'=\frac{49}{16}\pi}$

${\color{DarkRed}\,V'\simeq\,9,6\,cm^3}$

Ejercicio 22:

a) el coeficiente de reducción es :

$\frac{SE}{SA}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

así que .

b) En el triángulo rectángulo SAB en A, a partir de la parte directa

del teorema de Pitágoras, tenemos :

$SB=\sqrt{225}$

${\color{DarkRed}\,SB=15\,cm}$

$V_{SABCD}=\frac{AB^2\times \,SA}{3}=\frac{81\times \,12}{3}=324\,cm^3$

b) Es $\frac{1}{4}.$

$V_{SEFGH}=\,(\frac{1}{4}\,\,)^3\times \,V_{SABCD}=\frac{324}{64}\simeq\,5\,cm^3$

Ejercicio 23:

1. En el triángulo rectángulo DAB, según la parte directa

del teorema de Pitágoras:

$DA=\sqrt{16}$

${\color{DarkRed}\,DA=4\,cm}$

2. $V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times \,base\times \,hauteur$

$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times \,AD\times \,AB\times \,SO$

$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times \,3\times \,4\times \,6$

$V_{SABCD}=24\,cm^3$

3. a.La sección sigue siendo un rectángulo.

b. O ‘ es el centro de [SO] donde el coeficiente de reducción es $k=\frac{1}{2}$ .

El volumen se multiplicará por $(\frac{1}{2})^3$

$V_{SA'B'C'D'}=(\frac{1}{2})^3V_{SABCD}$

$V_{SA'B'C'D'}=\frac{1}{2^3}V_{SABCD}$

$V_{SA'B'C'D'}=\frac{24}{8}$

${\color{DarkRed}\,V_{SA'B'C'D'}=3^\,cm^3}$ .

Ejercicio 24:

$V_1=\frac{1}{3}\pi\times \,R^2\times \,hauteur$

$V_1=\frac{1}{3}\pi\times \,5^2\times \,9$

$V_1=75\pi\,cm^3$

El coeficiente de reducción es :

$k=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

así que

$V_2=(\frac{1}{3})^3V_1=\frac{1}{27}V_1=\frac{75\pi}{27}$

$V_2=\frac{25\pi}{9}\,cm^3$

Ejercicio 25 :

Una caja cilíndrica contiene 3 pelotas de tenis de radio 3,4 cm. a) Haz una figura, si la caja tiene dimensiones mínimas.

b) ¿Cuáles son las dimensiones mínimas de esta caja (altura y radio)?

altura = 3x2x3,4= 20,4 cm

radio = 3,4 cm

c) Calcula el volumen de la caja y el volumen de las tres bolas.

$V_{boite}=\pi\times \,3,4^2\times \,20,4\simeq\,741\,cm^3$

$V_{3\,balles}=3\times \,\frac{4}{3}\pi\times \,3,4^3=4\times \,\pi\times \,3,4^3\simeq\,494\,cm^3$

d) Calcula el porcentaje de «vacío» en esta caja que contiene las 3 bolas.

$\frac{494}{741}\times \,100\simeq66,7%$ ocupación de bolas .

El vacío ocupa alrededor del 33,3% o $\frac{1}{3}$ de la caja.

Ejercicio 26:

En un vaso cónico de 8 cm de altura y 6 cm de radio,

Puse 3 bolas de helado con un radio de 3 cm cada una.

¡No tengo tiempo de comérmelos! demasiadas copias para corregir.

¡Las 3 bolas se están derritiendo!

¿Se desbordará el hielo? si es así, ¿cuántos cL de hielo he perdido?

Calculemos el volumen del vaso y después el de las tres bolas.

$V_{verre}=\frac{4}{3}\pi\times \,6^2\times \,8=\frac{4}{3}\pi\times \,36\times \,8=\frac{4}{3}\pi\times 3\times \,12\times \,8=4\pi\times \,12\times \,8=384\pi$

$V_{3_,boules}=3\times \,\frac{4}{3}\pi\times \,3^3=4\pi\times \,3^3=108\pi$

Conclusión:

El volumen del vaso es mayor que el volumen de las tres bolas

para que el vaso no rebose.

Ejercicio 27:

Para su espectáculo, un mago quiere clavar espadas en una caja en la que está encerrado un espectador.

La caja es un cubo de 1 m de lado.

Para su proyecto, el mago debe mandar hacer espadas.

Necesita espadas que sean todas del mismo tamaño para que, dondequiera que empuje la espada, pueda sobresalir al menos 10 cm.

¿Cuál es la longitud mínima de la hoja de espada que debe encargar al herrero?

La longitud máxima de un cubo es su diagonal.

Usando el teorema de Pytahgore dos veces:

la longitud de la diagonal de una cara es :

$a=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

la longitud de la diagonal del cubo es :

$c=\sqrt{a^2+1^2}=\sqrt{\sqrt{2}^2+1^2}=\sqrt{3}$

La espada debe sobresalir al menos 10 cm, por lo que la longitud mínima de la hoja es ${\color{DarkRed}\,\sqrt{3}+10}$ .

Ejercicio 33 :

Un palomar está formado por un paralelepípedo rectangular ABCDEFGH y una pirámide SEFGH cuya altura [SO] es de 3,1 m.

Sabemos que AB = 3 m, BC = 3,5 m y AE = 4 m.

Calcula la longitud BD y deduce la longitud de BH.

En el triángulo ABD acutángulo en A, según la parte directa del teorema de Pitágoras, tenemos la siguiente igualdad:

$BD=\sqrt{21,25}$

Los valores aproximados de estos resultados se indicarán con una precisión de $10^{-1}$ .

En el triángulo BDH rectángulo en D, según la parte directa del teorema de Pitágoras, tenemos la siguiente igualdad:

$BH=\sqrt{37,25}$

${\color{DarkRed}\,BH\simeq\,6,1\,m}$

2. Calcula en el volumen de este palomar.

$V_1\simeq\,3\times \,3,5\times \,4+\frac{3\times \,3,5\times \,3,1}{3}$

$V_1\simeq\,42+10,85$

${\color{DarkRed}\,V_1\simeq\,52,85\,m^3}$

3. Un maquetista quiere construir un modelo a escala de este palomar $\frac{1}{24}$ .

Calcule en el volumen del modelo.

$V_2=\,(\frac{1}{24}\,\,)^3\times \,V_1$

$V_2=\frac{1}{13824}\,\times \,V_1$

Se dará un valor aproximado de este resultado al $10^{-3}$ más cercano.

$V_2=\frac{1}{13824}\,\times \,52,85\simeq\,0,004\,m^3$

Ejercicio 32 :

ABCDEFGH es un bloque recto de base cuadrada. Damos AD = 3 cm y DC =2cm y CG = 4 cm.

Calcula el volumen en cm3 de la pirámide con vértice G y base ABCD.

$V=\frac{1}{3}\times \,3\times \,2\times \,4=8\,cm^3$

Calcula la DG.

En el triángulo DCG acutángulo en C, según la parte directa del teorema de Pitágoras :

$DG=\sqrt{20}$

$DG=\sqrt{4\times \,5}$

$DG=2\sqrt{5}$

Ejercicio 33 :

Un palomar está formado por un paralelepípedo rectangular ABCDEFGH y una pirámide SEFGH cuya altura [SO] es de 3,1 m.

Sabemos que AB = 3 m, BC = 3,5 m y AE = 4 m.

Calcula la longitud BD y deduce la longitud de BH. Se darán valores aproximados de estos resultados con una aproximación de ^10-1.

En el triángulo ABD acutángulo en A, según la parte directa del teorema de Pitágoras,

tenemos :

$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}$

$BD=\sqrt{3^2+3,5^2}$

$BD=\sqrt{9+12,25}$

$BD=\sqrt{21,25}$

${\color{DarkRed}\,BD\simeq,4,6\,\,m}$

En el triángulo BDH rectángulo en D , según la parte directa del teorema de Pitágoras,

tenemos :

$BH=\sqrt{BD^2+DH^2}$

$BH=\sqrt{21,25+4^2}$

$BH=\sqrt{21,25+16}$

$BH=\sqrt{37,25}$

${\color{DarkRed}\,BH\simeq,6,1\,\,m}$

2. Calcula el volumen _V1 de este palomar en^m3.

$V_1=3\times ,3,5\times 4+\frac{1}{3}\times 3\times 3,5\times 3,1$

$V_1=42+\frac{1}{3}\times 3\times 3,5\times 3,1$

${\color{DarkRed}\,V_1=52,85\,\,m^3}$

3. Un maquetista quiere construir un modelo a escala de este palomar $\frac{1}{24}\,$ .

Calcula el volumen _V2 del modelo en ^dm3.

$V_2=\frac{V_1}{24}$

$V_2=\frac{52,85}{24}$

$V_2\simeq\,2,2021$

$V_2\simeq\,2,2021\,\,m^3$

${\color{DarkRed}V_2\simeq\,2202,1\,\,dm^3}$

Ejercicios del tercer año

Después de haber consultado las respuestas a estos ejercicios sobre el cálculo de volúmenes y el estudio de secciones de sólidos en 3º de ESO, puedes volver a los ejercicios de 3º de ESO.

Los ejercicios del tercer año.

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