Corrigé du contrôle de maths L3 : normes équivalentes et norme subordonnée

Exercice 1 : Question de cours, applications linéaires continues (4 points)

1. (i) ⇒ (ii) est immédiat.
   (ii) ⇒ (iii). Par continuité en \(0\) avec \(\varepsilon = 1\) (et \(u(0) = 0\)), il existe \(\eta > 0\) tel que \(\|y\|_E \leq\, \eta \Rightarrow \|u(y)\|_F \leq\, 1\). Soit \(x \neq 0\) ; le vecteur \(y = \frac{\eta}{\|x\|_E}x\) vérifie \(\|y\|_E = \eta\), donc \(\|u(y)\|_F \leq\, 1\). Par linéarité, \(u(y) = \frac{\eta}{\|x\|_E}u(x)\), d’où \(\|u(x)\|_F \leq\, \frac{1}{\eta}\|x\|_E\). Cette inégalité est vraie aussi pour \(x = 0\) : (iii) est vérifiée avec \(C = \frac{1}{\eta}\).
   (iii) ⇒ (i). Pour \(x, y \in E\), la linéarité donne \(\|u(x) – u(y)\|_F = \|u(x – y)\|_F \leq\, C\|x – y\|_E\) : \(u\) est \(C\)-lipschitzienne, donc continue sur \(E\).
2. Pour \(x \neq 0\), posons \(y = \frac{x}{\|x\|_E}\), de norme 1. Par linéarité, \(\frac{\|u(x)\|_F}{\|x\|_E} = \|u(y)\|_F\). Les deux ensembles dont on prend la borne supérieure sont donc égaux, d’où \(|||u||| = \sup_{\|x\|_E = 1}\|u(x)\|_F\).
   Par définition, \(\|u(x)\|_F \leq\, |||u|||\,\|x\|_E\) pour tout \(x\). Alors \(\|v(u(x))\|_G \leq\, |||v|||\,\|u(x)\|_F \leq\, |||v|||\,|||u|||\,\|x\|_E\). Le réel \(|||v|||\,|||u|||\) majore tous les quotients \(\frac{\|v \circ u(x)\|_G}{\|x\|_E}\), donc \(|||v \circ u||| \leq\, |||v|||\,|||u|||\).

Barème : a) 2,5 points : 0,25 pour (i) ⇒ (ii), 1,5 pour (ii) ⇒ (iii) (choix de \(\eta\), normalisation, cas \(x = 0\)), 0,75 pour (iii) ⇒ (i) ; b) 1,5 point : 0,75 pour chaque résultat.

Exercice 2 : Trois normes sur C([0,1]) (4 points)

1. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire \((f, g) \mapsto \int_0^1 fg\) :
   \[N_1(f) = \int_0^1 |f(t)| \times 1\,\mathrm{d}t \leq\, (\int_0^1 f(t)^2\,\mathrm{d}t)^{1/2}(\int_0^1 1\,\mathrm{d}t)^{1/2} = N_2(f).\]
   Par ailleurs \(f(t)^2 \leq\, N_\infty(f)^2\) pour tout \(t\), donc \(N_2(f)^2 \leq\, N_\infty(f)^2\) par croissance de l’intégrale. Ainsi \(N_1 \leq\, N_2 \leq\, N_\infty\).
2. Comme \(f_n \geq\, 0\) sur \([0,1]\) :
   \[N_1(f_n) = \int_0^1 t^n\,\mathrm{d}t = \frac{1}{n+1}, \qquad N_2(f_n) = (\int_0^1 t^{2n}\,\mathrm{d}t)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.\]
   La fonction \(f_n\) est croissante sur \([0,1]\), donc \(N_1(f_n) = \frac{1}{n+1}\), \(N_2(f_n) = \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\) et \(N_\infty(f_n) = f_n(1) = 1\).
3. On a \(\frac{N_\infty(f_n)}{N_2(f_n)} = \sqrt{2n+1}\) et \(\frac{N_2(f_n)}{N_1(f_n)} = \frac{n+1}{\sqrt{2n+1}} \geq\, \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{2}}\), qui tendent vers \(+\infty\). Il n’existe donc aucune constante \(C\) telle que \(N_\infty \leq\, C N_2\), ni telle que \(N_2 \leq\, C N_1\), et a fortiori aucune telle que \(N_\infty \leq\, C N_1\) (sinon \(N_\infty \leq\, C N_1 \leq\, C N_2\)). Deux normes équivalentes se majorent mutuellement à constante près : aucun couple parmi \(N_1\), \(N_2\), \(N_\infty\) n’est formé de normes équivalentes.
4. \(N_1(f_n) = \frac{1}{n+1} \to 0\) et \(N_2(f_n) = \frac{1}{\sqrt{2n+1}} \to 0\) : \((f_n)\) tend vers \(0\) pour \(N_1\) et pour \(N_2\). Supposons que \(f_n \to h\) pour \(N_\infty\). Comme \(N_1(f_n – h) \leq\, N_\infty(f_n – h)\), on aurait aussi \(f_n \to h\) pour \(N_1\), donc \(h = 0\) par unicité de la limite dans \((E, N_1)\). Mais \(N_\infty(f_n – 0) = 1\) ne tend pas vers \(0\) : contradiction. La suite \((f_n)\) ne converge pas pour \(N_\infty\). (Sa limite simple, nulle sur \([0,1[\) et égale à 1 en 1, n’est d’ailleurs pas continue.)

Barème : a) 1 point (0,5 par inégalité, Cauchy-Schwarz cité) ; b) 1 point ; c) 1 point : 0,5 pour les quotients, 0,5 pour la conclusion ; d) 1 point : 0,25 pour \(N_1\) et \(N_2\), 0,75 pour l’argument d’unicité.

Erreur fréquente : conclure que les normes sont équivalentes parce qu’on a \(N_1 \leq\, N_2 \leq\, N_\infty\) : une seule inégalité ne suffit pas, et le théorème d’équivalence des normes ne s’applique pas ici car \(E\) est de dimension infinie.

Exercice 3 : Calculs de normes subordonnées (4 points)

1. La forme \(\varphi_g\) est linéaire par linéarité de l’intégrale et
   \[|\varphi_g(f)| \leq\, \int_0^1 |f(t)|\,|g(t)|\,\mathrm{d}t \leq\, N_\infty(f)\,N_1(g).\]
   D’après l’exercice 1, \(\varphi_g\) est continue et \(|||\varphi_g||| \leq\, N_1(g)\). Si \(g = 0\), il y a égalité. Sinon, soit \(\varepsilon > 0\). La fonction \(f_\varepsilon\) est continue (le dénominateur est minoré par \(\varepsilon\)), vérifie \(|f_\varepsilon| \leq\, 1\), donc \(N_\infty(f_\varepsilon) \leq\, 1\), et \(f_\varepsilon \neq 0\). De plus
   \[\frac{g^2}{|g| + \varepsilon} = |g| – \frac{\varepsilon |g|}{|g| + \varepsilon} \geq\, |g| – \varepsilon, \quad \text{donc} \quad \varphi_g(f_\varepsilon) \geq\, N_1(g) – \varepsilon.\]
   Par suite \(|||\varphi_g||| \geq\, \frac{\varphi_g(f_\varepsilon)}{N_\infty(f_\varepsilon)} \geq\, \varphi_g(f_\varepsilon) \geq\, N_1(g) – \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\). Donc \(|||\varphi_g||| = N_1(g)\).

   

2. Ici \(N_1(g) = \int_0^1 |t – \frac{1}{2}|\mathrm{d}t = 2\int_0^{1/2} s\,\mathrm{d}s = \frac{1}{4}\) : \(|||\varphi_g||| = \frac{1}{4}\). Supposons \(N_\infty(f) \leq\, 1\) et \(\varphi_g(f) = \frac{1}{4}\). Alors \(\int_0^1 (|g| – fg) = 0\), avec \(|g| – fg \geq\, |g|(1 – |f|) \geq\, 0\) continue : elle est donc identiquement nulle, donc \(fg = |g|\). Ainsi \(f(t) = 1\) pour \(t > \frac{1}{2}\) et \(f(t) = -1\) pour \(t < \frac{1}{2}\), ce qui contredit la continuité de \(f\) en \(\frac{1}{2}\). La borne supérieure n’est pas atteinte.
3. Pour \(x \in \ell^1\), \(|a_n x_n| \leq\, \|a\|_\infty |x_n|\), donc la série \(\sum |a_n x_n|\) converge par comparaison : \(M_a(x) \in \ell^1\) et \(\|M_a(x)\|_1 \leq\, \|a\|_\infty \|x\|_1\). L’application \(M_a\) est évidemment linéaire ; elle est donc continue avec \(|||M_a||| \leq\, \|a\|_\infty\). Pour la minoration, soit \(e_k\) la suite dont seul le terme d’indice \(k\) vaut 1, les autres étant nuls : \(\|e_k\|_1 = 1\) et \(\|M_a(e_k)\|_1 = |a_k|\). Donc \(|||M_a||| \geq\, |a_k|\) pour tout \(k\), puis \(|||M_a||| \geq\, \sup_k |a_k|\). Finalement \(|||M_a||| = \|a\|_\infty\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour la majoration, 1 point pour la minoration par \(f_\varepsilon\) ; b) 1 point : 0,25 pour la valeur, 0,75 pour la non-atteinte ; c) 1,5 point : 0,5 pour \(M_a(x) \in \ell^1\), 0,5 pour la majoration, 0,5 pour les suites \(e_k\).

Exercice 4 : Formes linéaires sur les polynômes (3 points)

1. Pour \(P = \sum a_k X^k\), \(|\varphi(P)| = |\sum a_k| \leq\, \sum |a_k| = \|P\|_1\) : \(\varphi\) est continue et \(|||\varphi||| \leq\, 1\). Pour \(P = 1\), \(\varphi(P) = 1 = \|P\|_1\). Donc \(|||\varphi||| = 1\).
2. Pour \(n \geq\, 1\), \(\|X^n\|_1 = 1\) et \(\psi(X^n) = n\). Si \(\psi\) était continue, il existerait \(C\) tel que \(n \leq\, C\) pour tout \(n\) (exercice 1, propriété (iii)) : c’est absurde. \(\psi\) n’est pas continue sur \((\mathbb{R}[X], \|\cdot\|_1)\).
3. L’espace \(\mathbb{R}_n[X]\) est de dimension finie \(n + 1\), donc toutes ses normes sont équivalentes : si \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}_n[X]\), il existe \(C\) tel que \(\|P\|_1 \leq\, C\,N(P)\). Or \(|\psi(P)| = |\sum_{k=1}^{n} k a_k| \leq\, n\|P\|_1 \leq\, nC\,N(P)\) : la restriction de \(\psi\) est continue pour toute norme. Pour \(\|\cdot\|_1\), la majoration donne une norme au plus \(n\), et \(P = X^n\) donne \(\psi(X^n) = n = n\|X^n\|_1\). La norme subordonnée vaut \(n\) (pour \(n \geq\, 1\) ; elle est nulle si \(n = 0\)). Elle tend vers \(+\infty\) avec \(n\), ce qui explique la non-continuité sur \(\mathbb{R}[X]\) tout entier.

Barème : a) 1 point : 0,5 pour la majoration, 0,5 pour l’égalité ; b) 1 point ; c) 1 point : 0,5 pour l’argument de dimension finie, 0,5 pour le calcul de la norme.

Exercice 5 : Problème, l’opérateur de Volterra (5 points)

1. Pour \(f\) continue, \(V(f)\) est la primitive de \(f\) nulle en \(0\) (théorème fondamental de l’analyse) : elle est de classe \(C^1\), donc \(V(f) \in E\), et \(V\) est linéaire. Pour \(x \in [0,1]\), \(|V(f)(x)| \leq\, \int_0^x |f| \leq\, x\,N_\infty(f) \leq\, N_\infty(f)\), donc \(V\) est continue et \(|||V|||_\infty \leq\, 1\). Pour \(f = 1\), \(V(f)(x) = x\) et \(N_\infty(V(f)) = 1 = N_\infty(f)\). Donc \(|||V|||_\infty = 1\).
2. Pour \(n = 1\), c’est l’inégalité \(|V(f)(x)| \leq\, x\,N_\infty(f)\) vue en a). Si l’inégalité est vraie au rang \(n\), alors
   \[|V^{n+1}(f)(x)| = |\int_0^x V^n(f)(t)\,\mathrm{d}t| \leq\, \int_0^x \frac{t^n}{n!}N_\infty(f)\,\mathrm{d}t = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}N_\infty(f),\]
   ce qui achève la récurrence. En prenant le sup sur \(x \in [0,1]\), \(N_\infty(V^n(f)) \leq\, \frac{1}{n!}N_\infty(f)\). Pour \(f = 1\), on vérifie par récurrence que \(V^n(1)(x) = \frac{x^n}{n!}\), de norme \(\frac{1}{n!}\). Donc \(|||V^n|||_\infty = \frac{1}{n!}\). On remarque que \(|||V^n||| < |||V|||^n = 1\) dès que \(n \geq\, 2\).
3. Pour tout \(x\), \(|V(f)(x)| \leq\, \int_0^x |f| = V(|f|)(x)\). On intègre par parties sur \([0,1]\) avec \(U = V(|f|)\), de dérivée \(|f|\), et \(x \mapsto x – 1\), toutes deux de classe \(C^1\) :
   \[\int_0^1 V(|f|)(x)\,\mathrm{d}x = \Big[(x – 1)V(|f|)(x)\Big]_0^1 – \int_0^1 (x – 1)|f(x)|\,\mathrm{d}x = \int_0^1 (1 – t)|f(t)|\,\mathrm{d}t,\]
   le crochet étant nul aux deux bornes. D’où \(N_1(V(f)) \leq\, \int_0^1 (1 – t)|f(t)|\,\mathrm{d}t \leq\, N_1(f)\) : \(V\) est continue pour \(N_1\) et \(|||V|||_1 \leq\, 1\).
   La fonction \(h_k\) est continue, positive, nulle sur \([\frac{1}{k}, 1]\), et \(N_1(h_k) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{k} \times 2k = 1\) (aire d’un triangle). Comme \(h_k \geq\, 0\), \(V(h_k) \geq\, 0\) et l’inégalité précédente est une égalité :
   \[N_1(V(h_k)) = \int_0^{1/k} (1 – t)\,2k(1 – kt)\,\mathrm{d}t = 1 – 2k\int_0^{1/k}(t – kt^2)\mathrm{d}t = 1 – 2k(\frac{1}{2k^2} – \frac{1}{3k^2}) = 1 – \frac{1}{3k}.\]
   Ainsi \(|||V|||_1 \geq\, 1 – \frac{1}{3k}\) pour tout \(k\). Donc \(|||V|||_1 = 1\), borne qui n’est pas atteinte car \(\int_0^1 t|f(t)|\,\mathrm{d}t > 0\) dès que \(f \neq 0\).
4. Pour \(n \geq\, 1\), \(f_n(t) = t^n\) vérifie \(N_\infty(f_n) = 1\) et \(N_\infty(D(f_n)) = N_\infty(n t^{n-1}) = n\). Aucune constante \(C\) ne vérifie \(n \leq\, C\) pour tout \(n\) : d’après l’exercice 1, \(D\) n’est pas continue. Intégrer « régularise » (\(V\) est continue) tandis que dériver ne l’est pas pour la norme uniforme.

Barème : a) 1 point : 0,25 pour \(V(f) \in E\), 0,5 pour la majoration, 0,25 pour l’égalité ; b) 1,5 point : 1 point pour la récurrence, 0,5 pour la norme ; c) 1,5 point : 0,75 pour l’intégration par parties et la majoration, 0,75 pour le calcul avec \(h_k\) ; d) 1 point.

Revenir à l’énoncé du contrôle

Après le corrigé du contrôle : normes équivalentes et norme subordonnée

Pour consolider ce que le corrigé vous a appris, relisez le cours « Espaces vectoriels normés » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces vectoriels normés.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L3 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.

Autres contrôles de maths de L3 sur ce thème

• Contrôle de maths L3 : partiel de topologie des espaces normés