Corrigé du contrôle de maths L3 : groupes quotients et actions de groupes

Exercice 1 : Question de cours : premier théorème d’isomorphisme (3 points)

1. Un sous-groupe \(H\) de \(G\) est distingué lorsque \(g\,h\,g^{-1} \in H\) pour tous \(g \in G\) et \(h \in H\).

   D’abord, \(\operatorname{Ker} f\) est un sous-groupe : \(f(e) = e^{\prime}\), et si \(f(a) = f(b) = e^{\prime}\), alors \(f(a\,b^{-1}) = f(a)\,f(b)^{-1} = e^{\prime}\). Ensuite, pour \(g \in G\) et \(h \in \operatorname{Ker} f\), on a \(f(g\,h\,g^{-1}) = f(g)\,e^{\prime}\,f(g)^{-1} = e^{\prime}\). Donc \(\operatorname{Ker} f\) est distingué dans \(G\).

2. Premier théorème d’isomorphisme. Le morphisme \(f\) induit un isomorphisme \(\,\overline{f} : G / \operatorname{Ker} f \to \operatorname{Im} f\), défini par \(\,\overline{f}(g \operatorname{Ker} f) = f(g)\).

   Démonstration. Posons \(N = \operatorname{Ker} f\). Le quotient \(G/N\) est un groupe car \(N\) est distingué.

   Bonne définition : si \(g\,N = g^{\prime} N\), alors \(g^{-1} g^{\prime} \in N\), donc \(f(g)^{-1} f(g^{\prime}) = e^{\prime}\), c’est-à-dire \(f(g) = f(g^{\prime})\). La valeur ne dépend donc pas du représentant choisi.

   Morphisme : \(\,\overline{f}(g\,N \cdot h\,N) = \,\overline{f}(g\,h\,N) = f(g\,h) = f(g)\,f(h)\). Surjectivité sur \(\operatorname{Im} f\) : évidente par construction. Injectivité : si \(\,\overline{f}(g\,N) = e^{\prime}\), alors \(g \in N\), donc \(g\,N = N\) est le neutre du quotient.

   Ainsi \(G / \operatorname{Ker} f \simeq \operatorname{Im} f\).

Barème : a) 0,5 point pour la définition, 0,5 point pour la preuve ; b) 0,5 point pour l’énoncé, 0,5 point pour la bonne définition, 1 point pour morphisme, injectivité et surjectivité.

Exercice 2 : Sous-groupes distingués de S3 et du groupe diédral D4 (5 points)

1. Par le théorème de Lagrange, l’ordre d’un sous-groupe de \(\mathfrak{S}_3\) divise 6. On obtient donc :

   – l’ordre 1 : \(\{\operatorname{id}\}\) ;

   – l’ordre 2 : les trois sous-groupes \(\langle (1\,2) \rangle\), \(\langle (1\,3) \rangle\), \(\langle (2\,3) \rangle\) ;

   – l’ordre 3 : un tel sous-groupe est cyclique, engendré par un 3-cycle. Or les deux 3-cycles sont inverses l’un de l’autre, donc le seul sous-groupe d’ordre 3 est \(\mathfrak{A}_3 = \{\operatorname{id}, (1\,2\,3), (1\,3\,2)\}\) ;

   – l’ordre 6 : \(\mathfrak{S}_3\) lui-même.

   Le conjugué d’une transposition est donné par \(\sigma\,(a\,b)\,\sigma^{-1} = (\sigma(a)\;\sigma(b))\). Par exemple, \((1\,3)(1\,2)(1\,3)^{-1} = (3\,2)\), qui n’appartient pas à \(\langle (1\,2) \rangle\). Les sous-groupes d’ordre 2 ne sont donc pas distingués. En revanche, \(\mathfrak{A}_3\) est d’indice 2, donc distingué. Les sous-groupes distingués de \(\mathfrak{S}_3\) sont \(\{\operatorname{id}\}\), \(\mathfrak{A}_3\) et \(\mathfrak{S}_3\).

2. La signature \(\varepsilon : \mathfrak{S}_3 \to \{-1, 1\}\) est un morphisme de groupes. Il est surjectif, car \(\varepsilon((1\,2)) = -1\). Son noyau est \(\mathfrak{A}_3\) par définition. Par le premier théorème d’isomorphisme, \(\mathfrak{S}_3 / \mathfrak{A}_3 \simeq \{-1, 1\}\). Or \(\{-1, 1\}\) est cyclique d’ordre 2. Donc \(\mathfrak{S}_3 / \mathfrak{A}_3 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
3. Une rotation \(r^k\) commute toujours avec \(r\). Elle commute avec \(s\) si et seulement si \(s\,r^k\,s = r^k\), soit \(r^{-k} = r^k\), soit \(r^{2k} = e\). Cela donne \(k \in \{0, 2\}\).

   Une symétrie \(s\,r^k\) ne commute pas avec \(r\). En effet, \(r\,(s\,r^k) = s\,r^{-1}\,r^k = s\,r^{k-1}\), alors que \((s\,r^k)\,r = s\,r^{k+1}\). L’égalité imposerait \(r^2 = e\), ce qui est faux.

   Donc \(Z(D_4) = \{e, r^2\}\).

4. D’abord, \(H\) est stable : \(r^2\,s = s\,r^{-2} = s\,r^2\), puis \(s \cdot s\,r^2 = r^2\) et \((s\,r^2)^2 = e\). Il contient \(e\) et chaque élément est son propre inverse, donc \(H\) est un sous-groupe. Il est d’indice \(8/4 = 2\) : ses classes à gauche et à droite coïncident (\(H\) et son complémentaire). Donc \(H\) est distingué.

   En revanche, \(r\,s\,r^{-1} = s\,r^{-1}\,r^{-1} = s\,r^{-2} = s\,r^2\), qui n’appartient pas à \(K\). Donc \(K\) n’est pas distingué. On remarque ainsi que « distingué dans distingué » n’implique pas « distingué » : \(K\) est distingué dans \(H\), qui est abélien.

   Enfin, \(D_4 / Z(D_4)\) est d’ordre \(8/2 = 4\). Pour tout \(g\), on a \(g^2 \in Z(D_4)\) : \((r^k)^2 = r^{2k}\) et \((s\,r^k)^2 = s\,r^k\,s\,r^k = r^{-k}\,r^k = e\). Tout élément du quotient vérifie donc \(\,\overline{g}^2 = \,\overline{e}\). Un groupe d’ordre 4 dont tous les éléments sont d’ordre au plus 2 est abélien et n’est pas cyclique. Par conséquent \(D_4 / Z(D_4) \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\).

Barème : a) 0,5 point pour la liste, 1 point pour l’étude de la distinction ; b) 1 point (morphisme surjectif, noyau, théorème cité) ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour H, 0,5 point pour K, 0,5 point pour le quotient.

Erreur fréquente : oublier de vérifier que la symétrie \(s\,r^2\) ne commute pas avec \(r\), et placer à tort des symétries dans le centre.

Exercice 3 : Action par conjugaison et formule des classes (4 points)

1. On a \(e \cdot x = x\). De plus, \(g \cdot (h \cdot x) = g\,h\,x\,h^{-1}\,g^{-1} = (g\,h) \cdot x\). Il s’agit donc d’une action.

   L’orbite de \(x\) est sa classe de conjugaison \(\{g\,x\,g^{-1} \;:\; g \in G\}\). Le stabilisateur de \(x\) est le centralisateur \(C(x) = \{g \in G \;:\; g\,x = x\,g\}\). L’orbite de \(x\) est réduite à \(\{x\}\) si et seulement si \(x \in Z(G)\).

   Les orbites forment une partition de \(G\). Par la relation orbite-stabilisateur, l’orbite de \(x\) a \([G : C(x)]\) éléments. Notons \(x_1, \ldots, x_k\) des représentants des classes non réduites à un élément. On obtient :

   \[|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{k} [G : C(x_i)].\]

   C’est la formule des classes.

2. Chaque indice \([G : C(x_i)]\) divise \(|G| = p^n\) par le théorème de Lagrange. Il est de plus strictement supérieur à 1, car \(x_i \notin Z(G)\). Il est donc divisible par \(p\).

   Dans la formule des classes, \(|G|\) et la somme sont divisibles par \(p\). Par conséquent \(p\) divise \(|Z(G)|\). Comme \(e \in Z(G)\), on a \(|Z(G)| \geq\, 1\), donc \(|Z(G)| \geq\, p\). Le centre d’un \(p\)-groupe non trivial n’est pas réduit à \(\{e\}\).

3. Supposons \(G/Z(G) = \langle g\,Z(G) \rangle\). Tout \(x \in G\) s’écrit alors \(x = g^a\,z\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(z \in Z(G)\). Pour \(y = g^b\,z^{\prime}\), on obtient \(x\,y = g^{a+b}\,z\,z^{\prime} = y\,x\), car \(z\) et \(z^{\prime}\) sont centraux. Donc \(G\) est abélien.

   Soit maintenant \(|G| = p^2\). D’après b), \(|Z(G)| \in \{p, p^2\}\). Si \(|Z(G)| = p\), alors \(G/Z(G)\) est d’ordre \(p\) premier, donc cyclique. Alors \(G\) serait abélien, soit \(Z(G) = G\), ce qui contredit \(|Z(G)| = p\). Donc \(Z(G) = G\) : tout groupe d’ordre \(p^2\) est abélien.

Barème : a) 0,5 point pour l’action, 0,5 point pour orbites et stabilisateurs, 0,5 point pour la formule ; b) 1 point pour la divisibilité des indices, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour le lemme, 0,5 point pour l’ordre p².

Exercice 4 : Dénombrement de colliers par les orbites (4 points)

1. Soit \(E = \{(g, x) \in G \times X \;:\; g \cdot x = x\}\). En comptant par \(g\), on obtient \(|E| = \sum_{g} |\operatorname{Fix}(g)|\). En comptant par \(x\), on obtient \(|E| = \sum_{x} |\operatorname{Stab}(x)|\).

   Or la relation orbite-stabilisateur donne \(|\operatorname{Stab}(x)| = \dfrac{|G|}{|\omega(x)|}\), où \(\omega(x)\) désigne l’orbite de \(x\). Pour une orbite \(\omega\), la somme des \(\dfrac{1}{|\omega|}\) sur ses éléments vaut 1. Ainsi \(\sum_{x} |\operatorname{Stab}(x)| = |G| \times k\), où \(k\) est le nombre d’orbites.

   Le nombre d’orbites vaut donc \(\dfrac{1}{|G|} \displaystyle\sum_{g \in G} |\operatorname{Fix}(g)|\).

2. L’ensemble \(X\) des coloriages des sommets compte \(3^4 = 81\) éléments. Un coloriage est fixé par \(g\) si et seulement s’il est constant sur chaque cycle de la permutation des sommets induite par \(g\). Donc \(|\operatorname{Fix}(g)| = 3^{c(g)}\), où \(c(g)\) est le nombre de cycles.
   

   Élément	Permutation des sommets	Nombre de cycles	Points fixes
   \(e\)	identité	4	81
   \(r\), \(r^3\)	\((1\,2\,3\,4)\), \((1\,4\,3\,2)\)	1	3 chacun
   \(r^2\)	\((1\,3)(2\,4)\)	2	9
   \(s\), \(s\,r^2\) (diagonales)	\((2\,4)\), \((1\,3)\)	3	27 chacun
   \(s\,r\), \(s\,r^3\) (médianes)	\((1\,4)(2\,3)\), \((1\,2)(3\,4)\)	2	9 chacun

   La somme vaut \(81 + 3 + 3 + 9 + 27 + 27 + 9 + 9 = 168\). D’après la formule de Burnside, le nombre d’orbites est \(\dfrac{168}{8} = 21\). On peut former 21 colliers différents.

Barème : a) 0,5 point pour le double comptage, 1 point pour l’utilisation de la relation orbite-stabilisateur ; b) 1,5 point pour le tableau (dont 0,5 point pour distinguer diagonales et médianes), 1 point pour le résultat.

Erreur fréquente : attribuer 9 points fixes à toutes les symétries, alors qu’une symétrie d’axe diagonal fixe deux sommets.

Exercice 5 : Problème : les groupes d’ordre 15 (4 points)

1. Soit \(G\) un groupe fini d’ordre \(p^a\,m\), avec \(p\) premier et \(p\) ne divisant pas \(m\).

   1. Il existe des sous-groupes d’ordre \(p^a\), appelés \(p\)-Sylow.

   2. Tout \(p\)-sous-groupe de \(G\) est contenu dans un \(p\)-Sylow, et les \(p\)-Sylow sont conjugués entre eux.

   3. Leur nombre \(n_p\) vérifie \(n_p \mid m\) et \(n_p \equiv 1 \pmod{p}\).

2. On a \(15 = 3 \times 5\). Le nombre \(n_3\) divise 5 et vérifie \(n_3 \equiv 1 \pmod{3}\). Comme \(5 \equiv 2 \pmod{3}\), on obtient \(n_3 = 1\). De même, \(n_5\) divise 3 et \(n_5 \equiv 1 \pmod{5}\), donc \(n_5 = 1\).

   Un conjugué d’un Sylow est encore un Sylow. L’unique 3-Sylow \(P\) vérifie donc \(g\,P\,g^{-1} = P\) pour tout \(g\). Ainsi \(P\) et \(Q\) sont distingués.

3. L’ordre de \(P \cap Q\) divise 3 et 5 par le théorème de Lagrange, donc vaut 1. Ainsi \(P \cap Q = \{e\}\).

   Soit \(x \in P\) et \(y \in Q\). D’une part, \((x\,y\,x^{-1})\,y^{-1} \in Q\), car \(Q\) est distingué. D’autre part, \(x\,(y\,x^{-1}\,y^{-1}) \in P\), car \(P\) est distingué. Le commutateur appartient donc à \(P \cap Q = \{e\}\). Par conséquent \(x\,y = y\,x\).

4. L’application \(\varphi : P \times Q \to G\), \((x, y) \mapsto x\,y\), est un morphisme. En effet, \(x\,y\,x^{\prime}\,y^{\prime} = x\,x^{\prime}\,y\,y^{\prime}\) d’après c).

   Son noyau est trivial : si \(x\,y = e\), alors \(x = y^{-1} \in P \cap Q\), d’où \(x = y = e\). Les deux groupes ont 15 éléments, donc \(\varphi\) est un isomorphisme.

   Un groupe d’ordre premier est cyclique : \(P \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) et \(Q \simeq \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\). Comme 3 et 5 sont premiers entre eux, le théorème chinois donne \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\). Donc \(G \simeq \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\) : tout groupe d’ordre 15 est cyclique.

Barème : a) 1 point (0,5 pour l’existence et la conjugaison, 0,5 pour les conditions sur n_p) ; b) 0,5 point pour les calculs de n_3 et n_5, 0,5 point pour la distinction ; c) 0,5 point pour l’intersection, 0,5 point pour le commutateur ; d) 0,5 point pour l’isomorphisme, 0,5 point pour le théorème chinois.

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