Corrigé du sujet
Partie 1 — Automatismes :
Question 1. Prendre le tiers, c’est diviser par 3 : \(18 : 3 = 6\). Le tiers de 18 est 6.
Question 2. Une heure dure 60 minutes, donc on cherche combien de fois 60 min sont contenues dans 240 min : \(240 : 60 = 4\). Le film dure 4 heures.
Question 3. On range les 5 notes dans l’ordre croissant : 6 ; 8 ; 12 ; 15 ; 19. Comme il y a un nombre impair de notes, la médiane est celle du milieu, la 3e : la médiane vaut 12.
Question 4. Entre 0 et 1, il y a 4 grands carreaux : un grand carreau représente donc \(\dfrac{1}{4}\). Le point E est situé 3 grands carreaux après le point d’abscisse 1, soit 7 grands carreaux après 0. Son abscisse vaut \(\dfrac{7}{4}\) : réponse C.
Question 5. La somme des angles d’un triangle vaut \(180^{\circ}\) et l’angle en B est droit. Donc \(\widehat{\text{C}} = 180 – 90 – 35 = 55\) : \(\widehat{\text{C}} = 55^{\circ}\). (Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.)
Question 6. Le triangle est rectangle en A, son hypoténuse est donc [BC]. Pour l’angle de sommet B, le côté adjacent est [BA]. On effectue le calcul \(\cos(\widehat{\text{ABC}}) = \dfrac{\text{BA}}{\text{BC}}\) (côté adjacent divisé par l’hypoténuse).
Question 7. Les points A, C, D sont alignés, les points A, B, E aussi, et les droites (CB) et (DE) sont parallèles : c’est une configuration de Thalès. Les longueurs du petit triangle ACB sont proportionnelles à celles du grand triangle ADE :
\[\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{DE}} \quad \text{donc} \quad \dfrac{4}{\text{AD}} = \dfrac{2}{7}\]
Le côté CB est multiplié par \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\) pour donner DE, donc \(\text{AD} = 4 \times 3{,}5 = 14\). AD = 14 cm.
Question 8. 25 %, c’est le quart : \(300 : 4 = 75\) élèves participent. Ceux qui ne participent pas sont \(300 – 75 = 225\). On peut aussi dire directement que 75 % des élèves ne participent pas : \(0{,}75 \times 300 = 225\). 225 élèves ne participent pas à l’olympiade.
Question 9. Un carré a 4 côtés de même longueur et 4 angles droits : le lutin doit avancer puis tourner d’un quart de tour, quatre fois de suite. Ligne 3 : répéter 4 fois ; ligne 5 : tourner de 90 degrés.
Exercice 1 :
1. On calcule la moyenne hebdomadaire : on additionne les sept masses puis on divise par 7.
\[\dfrac{62 + 59 + 74 + 68 + 55 + 61 + 71}{7} = \dfrac{450}{7} \approx 64{,}3\]
Les déchets représentent en moyenne environ 64,3 kg par semaine, ce qui ne dépasse pas 65 kg (on peut aussi remarquer que \(7 \times 65 = 455\) et que 450 est inférieur à 455). Le collège a donc atteint son objectif.
2. a. L’effectif total est la somme des hauteurs de tous les bâtons, sans oublier les élèves qui parcourent 0 km :
\[33 + 32 + 42 + 31 + 36 + 28 + 24 + 22 + 14 = 262\]
Le collège compte 262 élèves.
b. Les élèves qui parcourent au moins 5 km sont ceux des bâtons 5, 6, 7 et 8 km : \(28 + 24 + 22 + 14 = 88\) élèves. Leur proportion dans le collège vaut :
\[\dfrac{88}{262} \times 100 \approx 33{,}6\ \%\]
Autre manière de conclure : 30 % de 262 élèves font \(0{,}3 \times 262 = 78{,}6\) élèves, et 88 est plus grand que 78,6. Environ 33,6 % des élèves parcourent au moins 5 km, ce qui dépasse 30 % : l’affirmation est vraie.
Exercice 2 :
1. On applique le programme au nombre 4, étape par étape :
- on choisit 4 ;
- on le multiplie par 2 : \(4 \times 2 = 8\) ;
- on élève au carré : \(8^2 = 64\) ;
- on retranche 9 : \(64 – 9 = 55\).
Le programme affiche bien 55.
2. a. Avec \(x\) au départ : la multiplication par 2 donne \(2x\), le carré donne \((2x)^2 = 4x^2\), et en retranchant 9 on obtient \((2x)^2 – 9 = 4x^2 – 9\).
b. On reconnaît une différence de deux carrés : \(4x^2 – 9 = (2x)^2 – 3^2\). D’après l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), on obtient \(4x^2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3)\). Vérification en développant : \((2x – 3)(2x + 3) = 4x^2 + 6x – 6x – 9 = 4x^2 – 9\). Les autres expressions ne conviennent pas : \(A\) est un nombre fixe, et les carrés \(B\) et \(D\) donnent \(4x^2 + 12x + 9\) et \(4x^2 – 12x + 9\). C’est l’expression \(C\).
Exercice 3 :
1. Une situation de proportionnalité est représentée par une fonction linéaire, de la forme \(x \longmapsto ax\). C’est le cas de \(g(x) = 6x\), mais pas de \(f(x) = 4x + 3\) à cause du terme constant 3. C’est la fonction \(g\) qui représente une situation de proportionnalité (coefficient 6).
2. \(g(0) = 6 \times 0 = 0\). L’image de 0 par \(g\) est 0.
3. On cherche le nombre \(x\) tel que \(f(x) = 0\) :
\[4x + 3 = 0 \iff 4x = -3 \iff x = -\dfrac{3}{4} = -0{,}75\]
L’antécédent de 0 par \(f\) est \(-0{,}75\). On le retrouve sur le graphique : la droite rouge coupe l’axe des abscisses en \(-0{,}75\).
4. La droite \((d_1)\) passe par l’origine du repère, comme la représentation de toute fonction linéaire (on a vu que \(g(0) = 0\)). La droite \((d_2)\) coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 3, ce qui correspond à \(f(0) = 3\). On peut le confirmer avec un point : \((d_1)\) passe par \((3 ; 18)\) et \(g(3) = 18\). La droite \((d_1)\) représente la fonction \(g\) et la droite \((d_2)\) représente la fonction \(f\).
5. Les deux droites se croisent au point d’abscisse 1,5 et d’ordonnée 9. Contrôle par le calcul : \(f(1{,}5) = 4 \times 1{,}5 + 3 = 9\) et \(g(1{,}5) = 6 \times 1{,}5 = 9\) (c’est aussi la solution de l’équation \(4x + 3 = 6x\)). Le point d’intersection a pour coordonnées \((1{,}5 ; 9)\).
Exercice 4 :
1. a. D’après le codage, chaque côté du carré est partagé en trois segments de même longueur : \(9 : 3 = 3\) cm. Les côtés IJ, KL, MN et OP mesurent donc 3 cm. Le côté [IP], lui, est l’hypoténuse du triangle AIP, rectangle en A avec AI = AP = 3 cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{IP}^2 = \text{AI}^2 + \text{AP}^2 = 3^2 + 3^2 = 18 \quad \text{donc} \quad \text{IP} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\ \text{cm}\]
Les quatre côtés « en biais » (IP, JK, LM, NO) mesurent environ 4,24 cm, alors que les quatre autres mesurent 3 cm. Les côtés n’ont pas tous la même longueur : l’octogone IJKLMNOP n’est pas régulier.
b. La surface grisée s’obtient en retirant au carré ABCD les quatre triangles rectangles des coins. L’aire du carré vaut \(9^2 = 81\) cm². Chaque triangle a deux côtés de l’angle droit de 3 cm, donc une aire de \(\dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5\) cm² ; les quatre triangles font \(4 \times 4{,}5 = 18\) cm². L’aire grisée vaut \(81 – 18 = 63\) : l’octogone IJKLMNOP a bien une aire de 63 cm².
2. a. Le disque a pour diamètre 9 cm, donc pour rayon 4,5 cm. Son aire est :
\[\pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\pi \approx 63{,}62\ \text{cm}^2\]
L’aire du disque est \(20{,}25\pi\) cm², soit environ 63,62 cm².
b. Le disque a une aire un peu plus grande que l’octogone. La différence vaut \(20{,}25\pi – 63 \approx 0{,}62\) cm². On la compare à l’aire du disque :
\[\dfrac{20{,}25\pi – 63}{20{,}25\pi} \times 100 \approx 0{,}97\]
La différence représente environ 0,97 % de l’aire du disque (on peut aussi comparer 0,62 cm² à 1 % de l’aire du disque, qui vaut environ 0,64 cm²). L’écart est donc bien inférieur à 1 % de l’aire du disque : l’octogone donne une très bonne approximation de l’aire du disque.
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