Voici le corrigé du brevet de maths 2021 en Asie-Pacifique, épreuve passée le 21 juin 2021 et notée sur 100 points. Le sujet comporte cinq exercices indépendants. Le premier est un QCM qui balaie le programme : multiples et diviseurs, images par une fonction, tableur, équation \(x^2=16\), puissances de 2 et format d’écran 16 : 9. Le deuxième étudie une suite de carrés emboîtés : diagonale calculée avec le théorème de Pythagore, coefficient d’agrandissement, homothétie et angle obtenu par la tangente. Le troisième porte sur un algorithme avec condition et sa programmation en Scratch, jusqu’à un calcul de probabilité sur les nombres premiers. Le quatrième exploite les VMA d’une classe (vitesse, étendue, pourcentage, classement), et le dernier travaille la vision dans l’espace avec des empilements de cubes, une vue de dessus et le volume d’un cube. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Maths 2021 – Asie Pacifique – Sujet et corrigé en PDF : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM, 24 points
1. On cherche une propriété du nombre 126 (multiple, diviseur).
La division de 126 par 6 tombe juste : \(126 = 6 \times 21\). Donc 126 est un multiple de 6 (autrement dit 6 divise 126). Réponse C.
2. On considère la fonction \(f : x \mapsto x^2-2\) et on calcule des images pour trouver l’affirmation exacte.
- \(f(2) = 2^2-2 = 4-2 = 2\) ;
- \(f(-2) = (-2)^2-2 = 4-2 = 2\) ;
- \(f(0) = 0^2-2 = -2\).
Ces calculs permettent d’éliminer les propositions fausses : réponse C.
3. Un tableur calcule \(-5x^2+2x-14\) pour différentes valeurs de \(x\) ; on cherche la valeur obtenue pour \(x=-3\).
Pour \(x=-4\), on retrouve bien la valeur de la feuille : \(-5\times (-4)^2+2\times (-4)-14 = -80-8-14 = -102\). Pour \(x=-3\) :
\[-5\times (-3)^2+2\times (-3)-14 = -5\times 9-6-14 = -45-6-14 = -65.\]
Réponse A : \(-65\).
4. On cherche les solutions de l’équation \(x^2=16\).
\[x^2=16 \iff x^2-16=0 \iff x^2-4^2=0 \iff (x+4)(x-4)=0.\]
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : \(x+4=0\) ou \(x-4=0\), c’est-à-dire \(x=-4\) ou \(x=4\). L’équation a deux solutions : \(-4\) et \(4\). Réponse B.
5. On cherche une autre écriture de \(2\times 2^{400}\).
\[2\times 2^{400} = 2^{1}\times 2^{400} = 2^{1+400} = 2^{401}.\]
Réponse A : \(2^{401}\).
6. Un écran au format 16 : 9 mesure 54 cm de hauteur ; on cherche sa longueur.
Le format 16 : 9 signifie que la longueur \(L\) et la hauteur \(h\) sont proportionnelles à 16 et 9 : \(\dfrac{L}{h}=\dfrac{16}{9}\). Avec \(h=54\) cm :
\[\frac{L}{54}=\frac{16}{9} \iff L=\frac{16\times 54}{9}=16\times 6=96.\]
La longueur de l’écran est 96 cm. Réponse B.
Exercice 2 :
Suite de carrés, Pythagore, homothétie, trigonométrie, 21 points
ABCD est un carré de côté 1 cm (carré ①). Les points A, B, E, H sont alignés, ainsi que A, D, G, J. Chaque carré suivant (AEFG, puis AHIJ) s’obtient en doublant la longueur du côté.
1. Calculer la longueur AC.
Le triangle ABC est rectangle (et isocèle) en B, puisque ABCD est un carré. D’après le théorème de Pythagore :
\[AC^2 = AB^2+BC^2 = 1^2+1^2 = 2, \quad \text{donc} \quad AC=\sqrt{2}.\]
\(AC=\sqrt{2}\) cm \(\approx 1{,}41\) cm.
2. a. Quel coefficient d’agrandissement des longueurs fait passer d’un carré au suivant ?
On double la longueur du côté : le coefficient d’agrandissement est 2.
2. b. Quelle transformation fait passer d’un carré au suivant ?
Tous les carrés ont le sommet A en commun et leurs côtés portés par les mêmes demi-droites [AB) et [AD) : on passe d’un carré au suivant par l’homothétie de centre A et de rapport 2.
2. c. La diagonale du carré ③ est-elle trois fois plus longue que celle du carré ① ?
Dans un agrandissement de rapport 2, toutes les longueurs sont multipliées par 2, y compris les diagonales :
- \(AF = 2\times AC = 2\sqrt{2}\) cm ;
- \(AI = 2\times AF = 4\sqrt{2}\) cm.
Ainsi \(AI = 4\times AC\) (on a agrandi deux fois de suite, \(2\times 2=4\)), et non \(3\times AC\). L’affirmation est fausse.
3. Donner une valeur approchée au degré près de l’angle \(\widehat{AJB}\).
Le triangle AJB est rectangle en A (les droites (AB) et (AJ) sont les côtés du carré). On a \(AB = 1\) cm et \(AJ = 4\) cm (côté du carré ③). Par rapport à l’angle \(\widehat{AJB}\), [AB] est le côté opposé et [AJ] le côté adjacent, donc :
\[\tan\widehat{AJB} = \frac{AB}{AJ} = \frac{1}{4} = 0{,}25.\]
À la calculatrice, \(\widehat{AJB} = \arctan(0{,}25) \approx 14{,}04^\circ\), soit \(\widehat{AJB}\approx 14^\circ\) au degré près.
Exercice 3 :
Algorithme, Scratch et probabilités, 23 points
L’algorithme est le suivant : on choisit un nombre \(N\). Si \(N \gt 15\), on calcule \(100-N\times 4\) ; sinon, on calcule \(2\times (N+10)\).
1. Montrer qu’avec \(N=18\) le résultat est 28.
Comme \(18 \gt 15\), l’algorithme calcule \(100-4\times 18 = 100-72 = 28\). Le résultat est bien 28.
2. Quel résultat obtient-on avec \(N=14\) ?
La condition \(14 \gt 15\) est fausse, donc l’algorithme calcule \(2\times (14+10)=2\times 24=48\). Le résultat est 48.
3. Deux nombres de départ différents donnent 32 : lesquels ?
- Cas \(N \gt 15\) : \(100-4N=32 \iff -4N=-68 \iff N=\dfrac{-68}{-4}=17\). On a bien \(17 \gt 15\), la solution convient.
- Cas \(N \leq\, 15\) : \(2(N+10)=32 \iff N+10=16 \iff N=6\). On a bien \(6 \leq\, 15\), la solution convient.
Les deux nombres de départ qui donnent 32 sont 6 et 17.
4. L’algorithme est programmé en Scratch ; il faut compléter les lignes 3 et 6. Dans Scratch, le nombre choisi est stocké dans la variable « réponse ».
4. a. Ligne 3 :
si réponse > 15 alors
4. b. Ligne 6 (bloc « sinon ») :
dire 2 * (réponse + 10) pendant 2 secondes
5. On choisit au hasard un nombre premier entre 10 et 25. Quelle est la probabilité que le résultat soit un multiple de 4 ?
Les nombres premiers compris entre 10 et 25 sont 11, 13, 17, 19 et 23 : il y a 5 issues équiprobables.
| \(N\) | Calcul | Résultat | Multiple de 4 ? |
|---|---|---|---|
| 11 | \(2\times (11+10)\) | 42 | non (\(42=4\times 10+2\)) |
| 13 | \(2\times (13+10)\) | 46 | non (\(46=4\times 11+2\)) |
| 17 | \(100-4\times 17\) | 32 | oui (\(32=4\times 8\)) |
| 19 | \(100-4\times 19\) | 24 | oui (\(24=4\times 6\)) |
| 23 | \(100-4\times 23\) | 8 | oui (\(8=4\times 2\)) |
3 issues sur 5 sont favorables, donc la probabilité cherchée est \(\dfrac{3}{5}=0{,}6\), soit 60 %.
Exercice 4 :
Vitesse et statistiques (VMA), 16 points
Les 24 élèves d’une classe de troisième font le test de demi-Cooper : parcourir la plus grande distance possible en 6 minutes. Leur vitesse moyenne sur ce test est leur VMA.
1. Chloé parcourt 1 000 m en 6 minutes. Montrer que sa VMA est 10 km/h.
1 000 m = 1 km et 6 min = \(\dfrac{6}{60}\) h = 0,1 h. La vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée :
\[v = \frac{d}{t} = \frac{1\ \text{km}}{0{,}1\ \text{h}} = 10\ \text{km/h}.\]
On peut aussi raisonner par proportionnalité : en 60 minutes, soit 10 fois plus de temps, elle parcourrait 10 fois plus, c’est-à-dire 10 km. La VMA de Chloé est bien 10 km/h.
2. Les résultats de la classe sont donnés par deux documents.
| Document 2 : VMA (en km/h) des 13 garçons | ||||
|---|---|---|---|---|
| Nathan : 12 | Lucas : 11 | Jules : 14 | Abdel : 13,5 | Nicolas : 14 |
| Thomas : 14,5 | Martin : 11 | Youssef : 14 | Mathis : 12 | Léo : 15 |
| Simon : 12 | José : 14 | Ilan : 14 | ||
2. a. Affirmation 1 : l’étendue des VMA des filles est plus élevée que celle des garçons.
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
- Filles : \(13{,}5-9=4{,}5\) km/h ;
- Garçons : \(15-11=4\) km/h.
Comme \(4{,}5 \gt 4\), l’affirmation 1 est vraie.
2. b. Affirmation 2 : plus de 25 % des élèves ont une VMA inférieure ou égale à 11,5 km/h.
On compte les VMA inférieures ou égales à 11,5 km/h :
- filles : Laura (10), Énora (11,5), Chloé (10), Jeanne (9), Fatima (11) et Léonie (11), soit 6 filles ;
- garçons : Lucas (11) et Martin (11), soit 2 garçons.
Cela fait 8 élèves sur 24, soit \(\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}\approx 33\ \%\). Comme \(33\ \% \gt 25\ \%\) (25 % de 24 élèves ne représentent que 6 élèves), l’affirmation 2 est vraie.
2. c. L’enseignante retient les 12 élèves ayant les VMA les plus élevées. Affirmation 3 : Lisa participe à la compétition.
Lisa a une VMA de 12,5 km/h. Comptons les élèves qui ont une VMA strictement supérieure :
- filles à 13,5 km/h : Claire, Inès, Lou et Alexandra, soit 4 ;
- garçons : Léo (15), Thomas (14,5), Jules, Nicolas, Youssef, José, Ilan (14) et Abdel (13,5), soit 8.
Cela fait 12 élèves plus rapides que Lisa : elle n’arrive qu’en 13e position et ne fait pas partie des douze sélectionnés. L’affirmation 3 est fausse.
Exercice 5 :
Vision dans l’espace et volumes, 16 points
Première partie
Un solide en escalier est formé de cubes unités. Combien de cubes faut-il ajouter, au minimum, pour obtenir un pavé droit ?
Le plus petit pavé droit qui contient le solide mesure 3 cubes de large, 3 cubes de profondeur et 5 cubes de haut (hauteur du cube le plus haut) : il contient \(3\times 3\times 5=45\) cubes. On découpe le solide en trois tranches verticales, de l’arrière vers l’avant ; dans chaque tranche, les trois colonnes ont les hauteurs suivantes :
| Tranche | Hauteurs des colonnes | Cubes présents | Cubes manquants (sur 15) |
|---|---|---|---|
| arrière | 5, 4, 3 | 12 | 3 |
| milieu | 4, 3, 2 | 9 | 6 |
| avant | 3, 2, 1 | 6 | 9 |
Il manque donc \(3+6+9=18\) cubes (on vérifie : \(45-27=18\)). Il faut ajouter au minimum 18 cubes unités.
Deuxième partie
Un jeu contient sept pièces formées de cubes de 1 dm d’arête : la pièce n° 1 compte 3 cubes, les pièces n° 2 à 7 en comptent 4 chacune.
1. Dessiner la vue de dessus de la pièce n° 4, à l’échelle 2 cm pour 1 dm.
La pièce n° 4 est formée d’une colonne de deux cubes, d’un cube posé au sol à côté d’elle et d’un cube placé devant ce dernier. Vue de dessus, on voit trois carrés disposés en L : deux carrés côte à côte à l’arrière, puis un carré devant celui de droite. À l’échelle demandée, chaque carré mesure 2 cm de côté.
2. a. Avec les sept pièces, on forme un grand cube plein. Quel est son volume en dm³ ?
Le grand cube est formé de \(3+6\times 4=3+24=27\) petits cubes. Chaque petit cube a un volume de \(1^3=1\) dm³, donc le volume du grand cube est \(27\times 1=27\) dm³.
2. b. Quelle est la longueur d’une arête du grand cube ?
Le volume d’un cube d’arête \(a\) est \(V=a^3\). Or \(27=3\times 3\times 3=3^3\), donc \(a=3\). L’arête du grand cube mesure 3 dm.
