Corrigé du brevet de maths 2019 en France à télécharger en PDF

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet de maths en France 2019 : sujet et corrigé à télécharger en PDF : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet (corrigé brevet 2019)

Exercice 1 :

Arithmétique : décomposition en facteurs premiers et partage d’un trésor

1. Enfin, on demande la décomposition en produit de facteurs premiers de 69, 1 150 et 4 140.

\(69 = 3 \times 23\), et 3 et 23 sont deux nombres premiers : \(69 = 3 \times 23\).

\(1\,150 = 2 \times 575\), puis \(575 = 5 \times 115\) et \(115 = 5 \times 23\). Donc \(1\,150 = 2 \times 5^2 \times 23\).

\(4\,140 = 2 \times 2\,070\), \(2\,070 = 2 \times 1\,035\), \(1\,035 = 3 \times 345\), \(345 = 3 \times 115\) et \(115 = 5 \times 23\). Donc \(4\,140 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 23\).

2. De plus, le trésor (69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d’or) est partagé équitablement entre tous les marins, sans reste. De plus, le nombre de marins doit donc être un diviseur commun de 69, 1 150 et 4 140.

Ainsi, les diviseurs de 69 sont 1, 3, 23 et 69. Or 3 ne divise pas 1 150 (1 150 n’a pas le facteur 3 dans sa décomposition), donc 69 non plus. Ensuite, il reste 1 et 23, qui divisent bien les trois nombres : d’après les décompositions, le seul facteur premier commun aux trois nombres est 23.

De même, un seul marin n’a pas de sens pour un partage : il y a 23 marins. Chacun reçoit \(69 : 23 = 3\) diamants, \(1\,150 : 23 = 50\) perles et \(4\,140 : 23 = 180\) pièces d’or.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 2 (corrigé brevet 2019)

Géométrie : trigonométrie, aires et triangles semblables

Également, la plaque est un rectangle ABCD avec \(\text{AB} = 4\) m et \(\text{AD} = 2\) m. Par ailleurs, le point M est sur [AB] avec \(\widehat{\text{ADM}} = 60^{\circ}\), le point N sur [DC] avec AMND rectangle, et P est le pied de la perpendiculaire à (DM) passant par N. Puis on découpe ainsi les triangles AMD, MND, DPN et PMN.

1. Par ailleurs, on demande de calculer AM.

Enfin, ABCD étant un rectangle, le triangle AMD est rectangle en A. Par rapport à l’angle \(\widehat{\text{ADM}}\), on connaît le côté adjacent AD et on cherche le côté opposé AM : on utilise la tangente.

\[\tan \widehat{\text{ADM}} = \frac{\text{AM}}{\text{AD}} \quad \text{donc} \quad \text{AM} = 2 \times \tan 60^{\circ} \approx 3{,}46 \text{ m}.\]

AM ≈ 3,46 m (valeur exacte \(2\sqrt{3}\) m).

2. De plus, on cherche la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée.

Ainsi, la partie non utilisée est le rectangle MBCN, de longueur \(\text{BC} = 2\) m et de largeur \(\text{MB} = \text{AB} – \text{AM} \approx 4 – 3{,}464 = 0{,}536\) m.

Son aire vaut environ \(2 \times 0{,}536 \approx 1{,}07\) m², alors que l’aire de la plaque est \(4 \times 2 = 8\) m². Ensuite, la proportion cherchée est :

\[\frac{2 \times (4 – 2\sqrt{3})}{8} = \frac{4 – 2\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}134.\]

Environ 13 % de la plaque n’est pas utilisée (13,4 % précisément).

Exercice 2 (corrigé brevet 2019) (suite)

3. Il faut justifier que les triangles AMD, MND, DPN et PMN sont semblables, c’est-à-dire qu’ils ont les mêmes angles.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 2 (corrigé brevet 2019) (suite)

• AMD est rectangle en A avec \(\widehat{\text{ADM}} = 60^{\circ}\), donc son troisième angle vaut \(180^{\circ} – 90^{\circ} – 60^{\circ} = 30^{\circ}\) : angles 90°, 60°, 30°.
• MND est rectangle en N. Les droites (AB) et (DC) sont parallèles, donc les angles alternes-internes \(\widehat{\text{NMD}}\) et \(\widehat{\text{ADM}}\) sont égaux : \(\widehat{\text{NMD}} = 60^{\circ}\), et le troisième angle vaut 30°.
• DPN est rectangle en P, et \(\widehat{\text{PDN}} = \widehat{\text{ADC}} – \widehat{\text{ADM}} = 90^{\circ} – 60^{\circ} = 30^{\circ}\) : ses angles sont 90°, 30° et 60°.
• PMN est rectangle en P et \(\widehat{\text{PMN}} = \widehat{\text{DMN}} = 60^{\circ}\) : ses angles sont 90°, 60° et 30°.

Les quatre triangles ont deux à deux les mêmes angles : AMD, MND, DPN et PMN sont semblables.

4. De même, on se demande si le triangle AMD est un agrandissement du triangle DPN de coefficient inférieur à 1,5.

Également, les deux triangles sont semblables et rectangles : leurs hypoténuses se correspondent. Puis l’hypoténuse de DPN est [DN] et celle de AMD est [DM]. De plus, le coefficient d’agrandissement est donc \(k = \dfrac{\text{DM}}{\text{DN}}\).

Par ailleurs, comme AMND est un rectangle, \(\text{DN} = \text{AM} \approx 3{,}46\) m. Ensuite, dans le triangle AMD rectangle en A :

\[\cos \widehat{\text{ADM}} = \frac{\text{AD}}{\text{DM}} \quad \text{donc} \quad \text{DM} = \frac{2}{\cos 60^{\circ}} = \frac{2}{0{,}5} = 4 \text{ m}.\]

Enfin, (Le théorème de Pythagore donne le même résultat : \(\text{DM}^2 = 3{,}46^2 + 2^2 \approx 15{,}97\), soit \(\text{DM} \approx 4\) m.)

\[k = \frac{\text{DM}}{\text{DN}} \approx \frac{4}{3{,}46} \approx 1{,}15.\]

On peut aussi le voir avec le triangle MND rectangle en N : \(\dfrac{\text{DN}}{\text{DM}} = \cos 30^{\circ}\), donc \(k = \dfrac{1}{\cos 30^{\circ}} \approx 1{,}15\).

Le coefficient d’agrandissement vaut environ 1,15 : il est bien inférieur à 1,5.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 3 :

Volume d’un cylindre, durée d’écoulement et statistiques

1. a. On calcule le volume de sable contenu dans le cylindre C2 (diamètre 1,5 cm, hauteur 4,2 cm), rempli aux deux tiers.

De plus, le rayon vaut \(1{,}5 : 2 = 0{,}75\) cm. Par ailleurs, le volume d’un cylindre est \(\pi \times r^2 \times h\) :

\[V = \pi \times 0{,}75^2 \times 4{,}2 = 2{,}362\,5\,\pi \approx 7{,}42 \text{ cm}^3.\]

Ainsi, le volume de sable est \(\dfrac{2}{3} \times 2{,}362\,5\,\pi = 1{,}575\,\pi \approx 4{,}95\) cm³. Il y a environ 4,95 cm³ de sable.

1. b. Le débit d’écoulement est de 1,98 cm³ par minute. Puis on cherche la durée d’écoulement :

\[4{,}95 : 1{,}98 = 2{,}5 \text{ min}.\]

De même, or \(0{,}5 \text{ min} = 30\) s : le sable met environ 2 min 30 s à s’écouler.

Exercice 3 (suite)

2. a. Le nombre de tests est la somme des effectifs du tableau :

\[1 + 1 + 2 + 6 + 3 + 7 + 6 + 3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = 40.\]

40 tests ont été effectués.

2. b. Le sablier est mis en vente si l’étendue est inférieure à 20 s, si la médiane est comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s et si la moyenne est comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.

Temps	2 min 22 s	2 min 24 s	2 min 26 s	2 min 27 s	2 min 28 s	2 min 29 s	2 min 30 s	2 min 31 s	2 min 32 s	2 min 33 s	2 min 34 s	2 min 35 s	2 min 38 s
Effectif	1	1	2	6	3	7	6	3	1	2	3	2	3
Effectif cumulé	1	2	4	10	13	20	26	29	30	32	35	37	40

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 3 : (suite)

• Étendue : 2 min 38 s − 2 min 22 s = 16 s, qui est bien inférieure à 20 s.
• Médiane : il y a 40 valeurs rangées dans l’ordre croissant, la médiane est la moyenne des 20^e et 21^e valeurs. D’après les effectifs cumulés, la 20^e valeur est 2 min 29 s et la 21^e est 2 min 30 s : la médiane vaut 2 min 29,5 s, bien comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s.
• Moyenne : on travaille sur les secondes au-delà de 2 min.
  \[\frac{1 \times 22 + 1 \times 24 + 2 \times 26 + 6 \times 27 + 3 \times 28 + 7 \times 29 + 6 \times 30 + 3 \times 31 + 1 \times 32 + 2 \times 33 + 3 \times 34 + 2 \times 35 + 3 \times 38}{40} = \frac{1\,204}{40} = 30{,}1.\]
  La moyenne vaut donc 2 min 30,1 s (soit \(6\,004 : 40 = 150{,}1\) s), comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.

Les trois critères sont respectés : le sablier testé peut être mis en vente.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 4 (corrigé brevet 2019)

Algorithmique (Scratch) et probabilités

1. Également, on demande de représenter le motif tracé par le bloc « Carré ». Ensuite, en suivant les instructions du bloc avec l’échelle de l’énoncé, on obtient un carré de 5 cm de côté (5 carreaux sur le quadrillage).

2. Par ailleurs, il faut associer chaque script à son dessin.

Enfin, le script 1 alterne systématiquement un carré et un tiret : il produit un dessin régulier « carré, tiret, carré, tiret… », c’est le dessin B. Puis le script 2 choisit au hasard, à chaque tour, entre un carré et un tiret : on peut obtenir plusieurs carrés ou plusieurs tirets consécutifs, comme dans le dessin A.

Script 1 → dessin B ; script 2 → dessin A.

Exercice 4 (corrigé brevet 2019) (suite)

3. a. On cherche la probabilité que le premier motif tracé par le script 2 soit un carré. De plus, le nombre aléatoire vaut 1 ou 2, de façon équiprobable, et le carré est tracé quand il vaut 1 :

\[P(\text{carré}) = \frac{1}{2} = 0{,}5.\]

La probabilité est 0,5, soit 50 %.

3. b. On cherche la probabilité que les deux premiers motifs soient des carrés. Ensuite, on note C pour un carré et T pour un tiret ; les deux tirages sont indépendants et équiprobables :

1er \ 2e	C	T
C	CC	CT
T	TC	TT

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 4 (corrigé brevet 2019) (suite)

Il y a 4 issues équiprobables, dont une seule (CC) convient :

\[P(\text{CC}) = \frac{1}{4} = 0{,}25.\]

La probabilité est 0,25, soit 25 %.

4. On veut modifier le script 2 pour que chaque motif soit, au hasard, rouge ou noir. Avant de tracer chaque motif, on ajoute dans la boucle un second tirage aléatoire qui choisit la couleur du stylo, indépendamment du choix carré/tiret :

quand flèche bas est pressé
aller à x: -230 y: 0
s'orienter à 90
effacer tout
stylo en position d'écriture
répéter 48 fois
    si (nombre aléatoire entre 1 et 2) = 1 alors
        mettre la couleur du stylo à rouge
    sinon
        mettre la couleur du stylo à noir
    si (nombre aléatoire entre 1 et 2) = 1 alors
        Carré
    sinon
        Tiret

De plus, il faut bien deux tirages distincts : avec un seul, tous les carrés seraient d’une couleur et tous les tirets de l’autre, ce qui n’est pas un choix aléatoire de la couleur.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 5 :

Transformations du plan, aires et proportionnalité

1. a. Le rectangle 3 est l’image du rectangle 4 par la translation qui transforme C en E.

1. b. Le rectangle 3 est l’image du rectangle 1 par la rotation de centre F et d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre.

1. c. Le grand rectangle ABCD est un agrandissement de rapport 3 des petits rectangles. Par ailleurs, il est l’image :

• Enfin, du rectangle 2 par l’homothétie de centre D et de rapport 3 ;
• De plus, du rectangle 3 par l’homothétie de centre B et de rapport 3 ;
• Ainsi, du rectangle 4 par l’homothétie de centre C et de rapport 3.

2. Ainsi, l’aire de ABCD vaut 1,215 m² ; on cherche l’aire d’un petit rectangle.

De même, les longueurs des petits rectangles sont 3 fois plus petites que celles de ABCD. Lorsque les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\) : les aires sont donc \(3^2 = 9\) fois plus petites.

\[1{,}215 : 9 = 0{,}135.\]

Un petit rectangle a une aire de 0,135 m² (on retrouve qu’il faut exactement 9 petits rectangles pour paver le grand).

3. Également, la longueur L et la largeur \(\ell\) de ABCD sont dans le ratio 3 : 2 ; on cherche ces dimensions.

Exercice 5 : (suite)

Le ratio signifie que L et \(\ell\) sont proportionnels à 3 et 2 : il existe un nombre \(u\) tel que \(\text{L} = 3u\) et \(\ell = 2u\). Puis l’aire donne :

\[3u \times 2u = 1{,}215 \quad \text{soit} \quad 6u^2 = 1{,}215, \quad u^2 = 0{,}202\,5, \quad u = \sqrt{0{,}202\,5} = 0{,}45 \quad (u \gt 0).\]

Donc \(\text{L} = 3 \times 0{,}45 = 1{,}35\) m et \(\ell = 2 \times 0{,}45 = 0{,}9\) m. Vérification : \(1{,}35 \times 0{,}9 = 1{,}215\) m².

Le rectangle ABCD mesure 1,35 m sur 0,90 m.

Autre méthode : \(\ell = \dfrac{2}{3}\text{L}\), donc \(\text{L} \times \dfrac{2}{3}\text{L} = 1{,}215\), d’où \(\text{L}^2 = 1{,}822\,5\) et \(\text{L} = 1{,}35\) m.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 6 :

Programmes de calcul, développement, factorisation et équation produit nul

Programme 1 : multiplier le nombre choisi par 3 puis ajouter 1. Programme 2 : multiplier la différence du nombre et de 1 par la somme du nombre et de 2.

1. Par ailleurs, on vérifie qu’avec 5 au départ, on obtient 16 et 28.

Programme 1 : \(5 \times 3 = 15\), puis \(15 + 1 = 16\). Programme 2 : \(5 – 1 = 4\) et \(5 + 2 = 7\), puis \(4 \times 7 = 28\). On obtient bien 16 et 28.

2. a. Avec \(x\) au départ, le programme 1 donne \(A(x) = 3x + 1\).

2. b. On cherche le nombre de départ qui donne 0 avec le programme 1 :

\[3x + 1 = 0 \iff 3x = -1 \iff x = -\frac{1}{3}.\]

Enfin, Vérification : \(-\dfrac{1}{3} \times 3 + 1 = -1 + 1 = 0\). Il faut choisir \(-\dfrac{1}{3}\).

3. De plus, le programme 2 donne \(B(x) = (x – 1)(x + 2)\). Ensuite, on développe :

\[B(x) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2.\]

\(B(x) = x^2 + x – 2\).

4. a. On montre que \(B(x) – A(x) = (x + 1)(x – 3)\) en développant les deux membres :

\[B(x) – A(x) = x^2 + x – 2 – (3x + 1) = x^2 – 2x – 3,\]
\[(x + 1)(x – 3) = x^2 – 3x + x – 3 = x^2 – 2x – 3.\]

Ainsi, les deux expressions sont égales : \(B(x) – A(x) = (x + 1)(x – 3)\).

4. b. On cherche les nombres de départ pour lesquels les deux programmes donnent le même résultat, c’est-à-dire \(A(x) = B(x)\), soit \(B(x) – A(x) = 0\) :

\[(x + 1)(x – 3) = 0.\]

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul : \(x + 1 = 0\) ou \(x – 3 = 0\), donc \(x = -1\) ou \(x = 3\).

De même, Vérification : pour \(-1\), \(3 \times (-1) + 1 = -2\) et \((-2) \times 1 = -2\) ; pour 3, \(3 \times 3 + 1 = 10\) et \(2 \times 5 = 10\).

Les deux programmes donnent le même résultat pour \(-1\) et pour 3.

Bien travailler avec corrigé brevet 2019

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, corrigé brevet 2019 demande surtout de la régularité.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2026 en Polynésie.