Corrigé du brevet de maths 2019 en France

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Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Arithmétique : décomposition en facteurs premiers et partage d’un trésor

1. On demande la décomposition en produit de facteurs premiers de 69, 1 150 et 4 140.

\(69 = 3 \times 23\), et 3 et 23 sont deux nombres premiers : \(69 = 3 \times 23\).

\(1\,150 = 2 \times 575\), puis \(575 = 5 \times 115\) et \(115 = 5 \times 23\). Donc \(1\,150 = 2 \times 5^2 \times 23\).

\(4\,140 = 2 \times 2\,070\), \(2\,070 = 2 \times 1\,035\), \(1\,035 = 3 \times 345\), \(345 = 3 \times 115\) et \(115 = 5 \times 23\). Donc \(4\,140 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 23\).

2. Le trésor (69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d’or) est partagé équitablement entre tous les marins, sans reste. Le nombre de marins doit donc être un diviseur commun de 69, 1 150 et 4 140.

Les diviseurs de 69 sont 1, 3, 23 et 69. Or 3 ne divise pas 1 150 (1 150 n’a pas le facteur 3 dans sa décomposition), donc 69 non plus. Il reste 1 et 23, qui divisent bien les trois nombres : d’après les décompositions, le seul facteur premier commun aux trois nombres est 23.

Un seul marin n’a pas de sens pour un partage : il y a 23 marins. Chacun reçoit \(69 : 23 = 3\) diamants, \(1\,150 : 23 = 50\) perles et \(4\,140 : 23 = 180\) pièces d’or.

Exercice 2 :

Géométrie : trigonométrie, aires et triangles semblables

La plaque est un rectangle ABCD avec \(\text{AB} = 4\) m et \(\text{AD} = 2\) m. Le point M est sur [AB] avec \(\widehat{\text{ADM}} = 60^{\circ}\), le point N sur [DC] avec AMND rectangle, et P est le pied de la perpendiculaire à (DM) passant par N. On découpe ainsi les triangles AMD, MND, DPN et PMN.

1. On demande de calculer AM.

ABCD étant un rectangle, le triangle AMD est rectangle en A. Par rapport à l’angle \(\widehat{\text{ADM}}\), on connaît le côté adjacent AD et on cherche le côté opposé AM : on utilise la tangente.

\[\tan \widehat{\text{ADM}} = \frac{\text{AM}}{\text{AD}} \quad \text{donc} \quad \text{AM} = 2 \times \tan 60^{\circ} \approx 3{,}46 \text{ m}.\]

AM ≈ 3,46 m (valeur exacte \(2\sqrt{3}\) m).

2. On cherche la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée.

La partie non utilisée est le rectangle MBCN, de longueur \(\text{BC} = 2\) m et de largeur \(\text{MB} = \text{AB} – \text{AM} \approx 4 – 3{,}464 = 0{,}536\) m.

Son aire vaut environ \(2 \times 0{,}536 \approx 1{,}07\) m², alors que l’aire de la plaque est \(4 \times 2 = 8\) m². La proportion cherchée est :

\[\frac{2 \times (4 – 2\sqrt{3})}{8} = \frac{4 – 2\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}134.\]

Environ 13 % de la plaque n’est pas utilisée (13,4 % précisément).

3. Il faut justifier que les triangles AMD, MND, DPN et PMN sont semblables, c’est-à-dire qu’ils ont les mêmes angles.

• AMD est rectangle en A avec \(\widehat{\text{ADM}} = 60^{\circ}\), donc son troisième angle vaut \(180^{\circ} – 90^{\circ} – 60^{\circ} = 30^{\circ}\) : angles 90°, 60°, 30°.
• MND est rectangle en N. Les droites (AB) et (DC) sont parallèles, donc les angles alternes-internes \(\widehat{\text{NMD}}\) et \(\widehat{\text{ADM}}\) sont égaux : \(\widehat{\text{NMD}} = 60^{\circ}\), et le troisième angle vaut 30°.
• DPN est rectangle en P, et \(\widehat{\text{PDN}} = \widehat{\text{ADC}} – \widehat{\text{ADM}} = 90^{\circ} – 60^{\circ} = 30^{\circ}\) : ses angles sont 90°, 30° et 60°.
• PMN est rectangle en P et \(\widehat{\text{PMN}} = \widehat{\text{DMN}} = 60^{\circ}\) : ses angles sont 90°, 60° et 30°.

Les quatre triangles ont deux à deux les mêmes angles : AMD, MND, DPN et PMN sont semblables.

4. On se demande si le triangle AMD est un agrandissement du triangle DPN de coefficient inférieur à 1,5.

Les deux triangles sont semblables et rectangles : leurs hypoténuses se correspondent. L’hypoténuse de DPN est [DN] et celle de AMD est [DM]. Le coefficient d’agrandissement est donc \(k = \dfrac{\text{DM}}{\text{DN}}\).

Comme AMND est un rectangle, \(\text{DN} = \text{AM} \approx 3{,}46\) m. Dans le triangle AMD rectangle en A :

\[\cos \widehat{\text{ADM}} = \frac{\text{AD}}{\text{DM}} \quad \text{donc} \quad \text{DM} = \frac{2}{\cos 60^{\circ}} = \frac{2}{0{,}5} = 4 \text{ m}.\]

(Le théorème de Pythagore donne le même résultat : \(\text{DM}^2 = 3{,}46^2 + 2^2 \approx 15{,}97\), soit \(\text{DM} \approx 4\) m.)

\[k = \frac{\text{DM}}{\text{DN}} \approx \frac{4}{3{,}46} \approx 1{,}15.\]

On peut aussi le voir avec le triangle MND rectangle en N : \(\dfrac{\text{DN}}{\text{DM}} = \cos 30^{\circ}\), donc \(k = \dfrac{1}{\cos 30^{\circ}} \approx 1{,}15\).

Le coefficient d’agrandissement vaut environ 1,15 : il est bien inférieur à 1,5.

Exercice 3 :

Volume d’un cylindre, durée d’écoulement et statistiques

1. a. On calcule le volume de sable contenu dans le cylindre C2 (diamètre 1,5 cm, hauteur 4,2 cm), rempli aux deux tiers.

Le rayon vaut \(1{,}5 : 2 = 0{,}75\) cm. Le volume d’un cylindre est \(\pi \times r^2 \times h\) :

\[V = \pi \times 0{,}75^2 \times 4{,}2 = 2{,}362\,5\,\pi \approx 7{,}42 \text{ cm}^3.\]

Le volume de sable est \(\dfrac{2}{3} \times 2{,}362\,5\,\pi = 1{,}575\,\pi \approx 4{,}95\) cm³. Il y a environ 4,95 cm³ de sable.

1. b. Le débit d’écoulement est de 1,98 cm³ par minute. On cherche la durée d’écoulement :

\[4{,}95 : 1{,}98 = 2{,}5 \text{ min}.\]

Or \(0{,}5 \text{ min} = 30\) s : le sable met environ 2 min 30 s à s’écouler.

2. a. Le nombre de tests est la somme des effectifs du tableau :

\[1 + 1 + 2 + 6 + 3 + 7 + 6 + 3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = 40.\]

40 tests ont été effectués.

2. b. Le sablier est mis en vente si l’étendue est inférieure à 20 s, si la médiane est comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s et si la moyenne est comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.

Temps	2 min 22 s	2 min 24 s	2 min 26 s	2 min 27 s	2 min 28 s	2 min 29 s	2 min 30 s	2 min 31 s	2 min 32 s	2 min 33 s	2 min 34 s	2 min 35 s	2 min 38 s
Effectif	1	1	2	6	3	7	6	3	1	2	3	2	3
Effectif cumulé	1	2	4	10	13	20	26	29	30	32	35	37	40

• Étendue : 2 min 38 s − 2 min 22 s = 16 s, qui est bien inférieure à 20 s.
• Médiane : il y a 40 valeurs rangées dans l’ordre croissant, la médiane est la moyenne des 20^e et 21^e valeurs. D’après les effectifs cumulés, la 20^e valeur est 2 min 29 s et la 21^e est 2 min 30 s : la médiane vaut 2 min 29,5 s, bien comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s.
• Moyenne : on travaille sur les secondes au-delà de 2 min.
  \[\frac{1 \times 22 + 1 \times 24 + 2 \times 26 + 6 \times 27 + 3 \times 28 + 7 \times 29 + 6 \times 30 + 3 \times 31 + 1 \times 32 + 2 \times 33 + 3 \times 34 + 2 \times 35 + 3 \times 38}{40} = \frac{1\,204}{40} = 30{,}1.\]
  La moyenne vaut donc 2 min 30,1 s (soit \(6\,004 : 40 = 150{,}1\) s), comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.

Les trois critères sont respectés : le sablier testé peut être mis en vente.

Exercice 4 :

Algorithmique (Scratch) et probabilités

1. On demande de représenter le motif tracé par le bloc « Carré ». En suivant les instructions du bloc avec l’échelle de l’énoncé, on obtient un carré de 5 cm de côté (5 carreaux sur le quadrillage).

2. Il faut associer chaque script à son dessin.

Le script 1 alterne systématiquement un carré et un tiret : il produit un dessin régulier « carré, tiret, carré, tiret… », c’est le dessin B. Le script 2 choisit au hasard, à chaque tour, entre un carré et un tiret : on peut obtenir plusieurs carrés ou plusieurs tirets consécutifs, comme dans le dessin A.

Script 1 → dessin B ; script 2 → dessin A.

3. a. On cherche la probabilité que le premier motif tracé par le script 2 soit un carré. Le nombre aléatoire vaut 1 ou 2, de façon équiprobable, et le carré est tracé quand il vaut 1 :

\[P(\text{carré}) = \frac{1}{2} = 0{,}5.\]

La probabilité est 0,5, soit 50 %.

3. b. On cherche la probabilité que les deux premiers motifs soient des carrés. On note C pour un carré et T pour un tiret ; les deux tirages sont indépendants et équiprobables :

1er \ 2e	C	T
C	CC	CT
T	TC	TT

Il y a 4 issues équiprobables, dont une seule (CC) convient :

\[P(\text{CC}) = \frac{1}{4} = 0{,}25.\]

La probabilité est 0,25, soit 25 %.

4. On veut modifier le script 2 pour que chaque motif soit, au hasard, rouge ou noir. Avant de tracer chaque motif, on ajoute dans la boucle un second tirage aléatoire qui choisit la couleur du stylo, indépendamment du choix carré/tiret :

quand flèche bas est pressé
aller à x: -230 y: 0
s'orienter à 90
effacer tout
stylo en position d'écriture
répéter 48 fois
    si (nombre aléatoire entre 1 et 2) = 1 alors
        mettre la couleur du stylo à rouge
    sinon
        mettre la couleur du stylo à noir
    si (nombre aléatoire entre 1 et 2) = 1 alors
        Carré
    sinon
        Tiret

Il faut bien deux tirages distincts : avec un seul, tous les carrés seraient d’une couleur et tous les tirets de l’autre, ce qui n’est pas un choix aléatoire de la couleur.

Exercice 5 :

Transformations du plan, aires et proportionnalité

1. a. Le rectangle 3 est l’image du rectangle 4 par la translation qui transforme C en E.

1. b. Le rectangle 3 est l’image du rectangle 1 par la rotation de centre F et d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre.

1. c. Le grand rectangle ABCD est un agrandissement de rapport 3 des petits rectangles. Il est l’image :

• du rectangle 2 par l’homothétie de centre D et de rapport 3 ;
• du rectangle 3 par l’homothétie de centre B et de rapport 3 ;
• du rectangle 4 par l’homothétie de centre C et de rapport 3.

2. L’aire de ABCD vaut 1,215 m² ; on cherche l’aire d’un petit rectangle.

Les longueurs des petits rectangles sont 3 fois plus petites que celles de ABCD. Lorsque les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\) : les aires sont donc \(3^2 = 9\) fois plus petites.

\[1{,}215 : 9 = 0{,}135.\]

Un petit rectangle a une aire de 0,135 m² (on retrouve qu’il faut exactement 9 petits rectangles pour paver le grand).

3. La longueur L et la largeur \(\ell\) de ABCD sont dans le ratio 3 : 2 ; on cherche ces dimensions.

Le ratio signifie que L et \(\ell\) sont proportionnels à 3 et 2 : il existe un nombre \(u\) tel que \(\text{L} = 3u\) et \(\ell = 2u\). L’aire donne :

\[3u \times 2u = 1{,}215 \quad \text{soit} \quad 6u^2 = 1{,}215, \quad u^2 = 0{,}202\,5, \quad u = \sqrt{0{,}202\,5} = 0{,}45 \quad (u \gt 0).\]

Donc \(\text{L} = 3 \times 0{,}45 = 1{,}35\) m et \(\ell = 2 \times 0{,}45 = 0{,}9\) m. Vérification : \(1{,}35 \times 0{,}9 = 1{,}215\) m².

Le rectangle ABCD mesure 1,35 m sur 0,90 m.

Autre méthode : \(\ell = \dfrac{2}{3}\text{L}\), donc \(\text{L} \times \dfrac{2}{3}\text{L} = 1{,}215\), d’où \(\text{L}^2 = 1{,}822\,5\) et \(\text{L} = 1{,}35\) m.

Exercice 6 :

Programmes de calcul, développement, factorisation et équation produit nul

Programme 1 : multiplier le nombre choisi par 3 puis ajouter 1. Programme 2 : multiplier la différence du nombre et de 1 par la somme du nombre et de 2.

1. On vérifie qu’avec 5 au départ, on obtient 16 et 28.

Programme 1 : \(5 \times 3 = 15\), puis \(15 + 1 = 16\). Programme 2 : \(5 – 1 = 4\) et \(5 + 2 = 7\), puis \(4 \times 7 = 28\). On obtient bien 16 et 28.

2. a. Avec \(x\) au départ, le programme 1 donne \(A(x) = 3x + 1\).

2. b. On cherche le nombre de départ qui donne 0 avec le programme 1 :

\[3x + 1 = 0 \iff 3x = -1 \iff x = -\frac{1}{3}.\]

Vérification : \(-\dfrac{1}{3} \times 3 + 1 = -1 + 1 = 0\). Il faut choisir \(-\dfrac{1}{3}\).

3. Le programme 2 donne \(B(x) = (x – 1)(x + 2)\). On développe :

\[B(x) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2.\]

\(B(x) = x^2 + x – 2\).

4. a. On montre que \(B(x) – A(x) = (x + 1)(x – 3)\) en développant les deux membres :

\[B(x) – A(x) = x^2 + x – 2 – (3x + 1) = x^2 – 2x – 3,\]
\[(x + 1)(x – 3) = x^2 – 3x + x – 3 = x^2 – 2x – 3.\]

Les deux expressions sont égales : \(B(x) – A(x) = (x + 1)(x – 3)\).

4. b. On cherche les nombres de départ pour lesquels les deux programmes donnent le même résultat, c’est-à-dire \(A(x) = B(x)\), soit \(B(x) – A(x) = 0\) :

\[(x + 1)(x – 3) = 0.\]

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul : \(x + 1 = 0\) ou \(x – 3 = 0\), donc \(x = -1\) ou \(x = 3\).

Vérification : pour \(-1\), \(3 \times (-1) + 1 = -2\) et \((-2) \times 1 = -2\) ; pour 3, \(3 \times 3 + 1 = 10\) et \(2 \times 5 = 10\).

Les deux programmes donnent le même résultat pour \(-1\) et pour 3.