التمرين 1 :
التقسيمات الإقليدية الثلاثة أدناه دقيقة.
1- 23 فقط هو قاسم العدد 368 لأن الباقي يساوي صفرًا.
2- أصغر مضاعف للعدد 15 أكبر من 368 هو 25 × 15 = 375.
3. أكبر مضاعف لـ 14 أقل من 368 هو 26 × 14 = 364.
تمرين 2:
التقسيمات الإقليدية المقابلة هي:
- 475 = 16 × 29 +11 ؛
- 9957 = 23 × 432 + 21 ؛
- 456 = 41 × 11 +5 ؛
- 781 = 27 × 28 + 25 ؛
- 935 = 17 × 55 + 0
التمرين 3:
مركز خارجي يستقبل 131 طفلاً وينظم يوم “الرياضة” مع كرة السلة وكرة اليد وكرة القدم والرجبي.
ما هو عدد الفرق التي يمكن تشكيلها لكل رياضة؟
كم عدد الأطفال الذين سيكونون بدون فريق؟
131 = 32 × 4 + 3.
يمكننا بناء 32 فريقًا وسيكون 3 أطفال بدون فريق.
التمرين 4:
اكتب قائمة القواسم على الأرقام التالية: 16 ؛ 20 ؛ 36 ؛ 90 ؛ 59 ؛ 33.
قواسم 16: 1،2،4،8،16.
قواسم 20: 1،2،4،5،10،20.
قواسم 59: 1.59.
التمرين 5:
ملء الجدول أدناه.
التمرين 6:
1- أثبت أن مجموع عددين صحيحين موجبين متتاليين هو مضاعف 4.
لنفترض أن n = 2k + 1 (مع k عدد صحيح موجب) يكون عددًا فرديًا موجبًا ، ثم يكون العدد الصحيح الموجب الفردي المتتالي n = 2k + 3.
n + n ‘= 2k + 1 + 2k + 3 = 4k + 4 = 4 (k + 1) = 4K مع K = k + 1 لذا فإن مجموع عددين صحيحين متتاليين وفرديين هو مضاعف 4.
2- أثبت أن مضاعف العدد 8 هو أيضًا مضاعف للعدد 4.
لنفترض أن n = 8k (مع k عدد صحيح موجب) مضاعف 8 ثم n = 4x (2k) = 4K مع K = 2k لذا فإن n هي أيضًا مضاعف 4.
التمرين 7:
تريد نوري أن تصنع رزمًا من الكرات تقسم كل كراتها الحمراء التسعين و 150 قطعة من الرخام الأسود ، ويجب أن تكون محتويات كل علبة متطابقة.
كم عدد العبوات التي يمكنه صنعها؟
ابحث عن الاحتمالات المختلفة.
هل يمكن أن يكون هناك 9 حزم؟ 30 علبة؟
لا يمكن أن يكون هناك 9 حزم لأن 150 غير قابلة للقسمة على 9.
يمكن أن يكون هناك 30 حزمة لأن 150 و 90 قابلة للقسمة على 30.
اكتب قائمة المقسومات على 90 ثم على 150.
قواسم 90: 1،2،3،5،6،9،10،15،18،30،45،90
قواسم 150: 1،2،3،5،6،10،15،25،30،50،75،150
ما هي الاحتمالات المختلفة لعدد الحزم؟
الاحتمالات هي 1،2،3،5،6،10،15،30.
التمرين 8:
اكتب قائمة بجميع الأعداد الأولية الأقل من 50.
القائمة هي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47
التمرين 9:
استخدم المساواة أدناه لكتابة العوامل الأولية
الأرقام المعطاة.
التمرين 10:
اكتب التحليل إلى عوامل أولية للأعداد الصحيحة التالية:
التمرين 11:
ابحث عن الرقم المطلوب.
الحلول هي 101 ؛ 113 ؛ 137 و 149.
التمرين 12:
استخدم العوامل الأولية لجعل هذه الكسور غير قابلة للاختزال.
اجعل الكسور التالية غير قابلة للاختزال: .
التمرين 13:
اجعل الكسور التالية غير قابلة للاختزال: .
التمرين 14:
لدي أكثر من 400 قرص مضغوط ولكن أقل من 450. سواء قمت بتجميعهم في 2 أو 3 أو 4 أو 5 ، فالأمر نفسه دائمًا: لم يتبق سوى واحد.
كم عدد الأقراص المدمجة التي يمتلكها نوري؟
نبحث عن رقم فردي ينتهي بالرقم 1.
يوجد 421 قرص مضغوط.
التمرين 15:
1. احسب GCD للعددين 110 و 88.
GCD (110 ؛ 88) = 22
2. عامل لديه صفائح معدنية بطول 110 سم وعرض 88 سم.
تلقى التعليمات التالية:
” قطع مربعات في هذه اللوحات ، كلها متطابقة ، كبيرة بقدر الإمكان ،
حتى لا يكون هناك خسارة . »
كم سيكون طول ضلع المربع؟
طول ضلع المربع سيكون ٢٢ سم
3. كم عدد المربعات التي سنحصل عليها لكل لوحة؟
110: 22 = 5 و 88: 22 = 4
5 × 4 = 20
سيكون هناك 20 مربعا.
التمرين 16:
1. احسب GCD لـ 114،400 و 60،775.
GCD (114400 ؛ 60775) = 3575
2. > اشرح كيف ، بدون استخدام مفتاح “الكسر” في الآلة الحاسبة ، لجعل الكسر غير قابل للاختزال
القسمة على gcd (114،400؛ 60،775)
3. اكتب الكتابة المبسطة لـ
.
التمرين 17:
دع الأرقام A = و ب = –
.
1. اشرح سبب عدم إمكانية اختزال الجزء “أ”.
117 و 63 قابلان للقسمة على 3 ، لذا فإن gcd لهما يختلف عن 1 ، لذا فإن الكسر قابل للاختزال.
2. بسّط هذا الكسر لجعله غير قابل للاختزال.
GCD (117 ؛ 63) = 9
3. وضح ، بالإشارة إلى خطوات الحساب ، أن أ – ب عدد صحيح.
لذا فإن AB هو بالفعل عدد صحيح.
التمرين 18:
1. إثبات أن الرقمين 65 و 42 يمثلان جريمة مشتركة.
GCD (65 ؛ 42) = 1 لذا فإن هذين العددين الصحيحين هما جريمة مشتركة لبعضهما البعض.
2. إثبات ذلك =
.
GCD (520 ؛ 336) = 8
التمرين 19:
1. حدد GCD لـ 108 و 135.
GCD (135 ؛ 108) = 27
2. يحتوي مارك على 108 كرة حمراء و 135 كرة سوداء.
يريد أن يصنع حزمًا بحيث:
- تحتوي جميع الحزم على نفس عدد الكرات الحمراء ؛
- تحتوي جميع العبوات على نفس العدد من الرخام الأسود ؛
- تم استخدام جميع الكرات الحمراء والكرات السوداء.
الى. ما هو الحد الأقصى لعدد الحزم التي يمكن أن يصنعها؟
يمكنه عمل 27 حزمة كحد أقصى.
ب. كم عدد الكرات الحمراء والرخام الأسود في كل علبة؟
108: 27 = 4 كرات حمراء
135: 27 = 5 كرات سوداء.
التمرين 20:
1. احسب GCD لـ 1756 و 1317 (سنقوم بتفصيل الحسابات اللازمة).
GCD (1756 ؛ 1317) = 439
2. تلقى بائع الزهور 1756 وردة بيضاء و 1317 وردة حمراء.
يريد أن يصنع باقات متطابقة
(أي تشتمل على نفس عدد الورود ونفس الشيء
التوزيع بين الورود البيضاء والحمراء) باستخدام جميع الزهور.
الى. ما هو الحد الأقصى لعدد الباقات المتطابقة؟ تبرر الإجابة بوضوح.
يمكنه إنشاء 439 باقة متطابقة كحد أقصى.
ب. ماذا سيكون تكوين كل باقة بعد ذلك؟
1756: 439 = 4 وردات بيضاء.
1317: 439 = 3 وردات سوداء.
التمرين 21:
1) أظهر أن GCD (578 ؛ 408) = 34
أظهر أن GCD (2499 ؛ 1911) = 147
2) أظهر أن GCD (252 ؛ 144) = 36.
الى. يمكن أن يشكل هذا الاتحاد 36 فريقًا كحد أقصى.
ب. 144: 36 = 4 و 252: 36 = 7
هناك 4 فتيات و 7 فتيان لكل فريق.
التمرين 23:
1. هل العددين 682 و 352 أوليين نسبيًا؟ يبرر.
إنهما عددان صحيحان زوجي لذا لا يمكن أن يكونا مشتركين لأن gcd الخاص بهما سيكون أكبر من أو يساوي 2.
2. احسب القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لـ 682 و 352.
دعنا نستخدم خوارزمية إقليدس.
682 = 1 × 352 + 330
352 = 1×330 + 22
330 = 15 × 22 + 0
إذن gcd (352 ؛ 682) = 22
3. اجعل الكسر غير قابل للاختزال
تشير بوضوح إلى الطريقة المستخدمة.
بقسمة البسط والمقام على gcd ، نحصل على كسر غير قابل للاختزال.
التمرين 24:
احسب وأعطي النتيجة ككسر غير قابل للاختزال:
.
التمرين 25:
احسب وأدخل النتيجة في شكل علمي:
التمرين 26:
1.
احسب أ واكتب النتيجة في صورة كسر.
2. اكتب B في النموذج أين ب هو عدد صحيح.
3.
احسب C وأدخل الترميز العلمي للنتيجة.
التمرين 27:
1. تحديد GCD من 288 و 224.
دعنا نستخدم خوارزمية إقليدس.
كون GCD هو الباقي الأخير غير الصفري ، فإننا نستنتج ذلك
2 . اكتب الكسر في شكل غير قابل للاختزال.
هو جزء غير قابل للاختزال.
3 . يجب على المصور إقامة معرض من خلال تقديم أعماله على لوحات تحتوي كل منها على نفس عدد صور المناظر الطبيعية ونفس عدد الصور.
لديها 224 صورة للمناظر الطبيعية و 288 صورة.
أ) كم عدد اللوحات التي يمكنه صنعها باستخدام جميع الصور؟
يمكنه عمل 32 لوحة كحد أقصى.
ب) كم عدد صور المناظر الطبيعية والصور الشخصية التي تحتويها كل لوحة؟
ستحتوي كل لوحة على 7 صور أفقية و 9 صور شخصية.
التمرين 29:
الى. هل 255 و 154 عدد أولي نسبيًا؟
GCD (255 ؛ 154)
نحن نستخدم خوارزمية إقليدس
ونجمع النتائج في جدول.
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
---|---|---|
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
255 | 154 | 101 |
154 | 101 | 53 |
101 | 53 | 48 |
53 | 48 | 5 |
48 | 5 | 3 |
5 | 3 | 2 |
3 | 2 | 1 |
2 | 1 | 0 |
الآن ، في خوارزمية إقليدس ، فإن GCD هو آخر الباقي غير الصفري.
PGCD (255 ؛ 154) = 1 لذا فإن هذين الرقمين هما جريمة جماعية.
ب. هل 609 و 465 رئيسيان نسبيًا؟
GCD (609 ؛ 465)
نحن نستخدم خوارزمية إقليدس
ونجمع النتائج في جدول.
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
---|---|---|
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
609 | 465 | 144 |
465 | 144 | 33 |
144 | 33 | 12 |
33 | 12 | 9 |
12 | 9 | 3 |
9 | 3 | 0 |
الآن ، في خوارزمية إقليدس ، فإن GCD هو آخر الباقي غير الصفري.
PGCD (609 ؛ 465) = 3 لذلك هذان الرقمان ليسا أوليين نسبيًا.
ضد. هل 11913 و 7259 رئيسيان نسبيًا؟
GCD (11913 ؛ 7259)
نحن نستخدم خوارزمية إقليدس
ونجمع النتائج في جدول.
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
---|---|---|
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
11913 | 7259 | 4654 |
7259 | 4654 | 2605 |
4654 | 2605 | 2049 |
2605 | 2049 | 556 |
2049 | 556 | 381 |
556 | 381 | 175 |
381 | 175 | 31 |
175 | 31 | 20 |
31 | 20 | 11 |
20 | 11 | 9 |
11 | 9 | 2 |
9 | 2 | 1 |
2 | 1 | 0 |
الآن ، في خوارزمية إقليدس ، فإن GCD هو آخر الباقي غير الصفري.
PGCD (11913 ؛ 7259) = 1 لذا فإن هذين الرقمين أوليان نسبيًا.
التمرين 30:
1. بطريقة إقليدس:
481 = 2×234 + 13
234 = 18 × 13 + 0
كون gcd هو الباقي الأخير غير الصفري ، نستنتج أن gcd (481 ، 234) = 13.
التمرين 31:
1. بطريقة خوارزمية إقليدس:
137 = 3 × 41 + 14
41 = 2 × 14 + 13
14 = 1 × 13 + 1
13 = 1 × 13 + 0
كون gcd هو الباقي الأخير غير الصفري ، نستنتج أن gcd (137 ، 41) = 1.
2. هذان العددان الصحيحان هما coprime لأن gcd (137 ، 41) = 1.
لاحظ أن خوارزمية إقليدس أسرع.
التمرين 32:
1. يجب إذن أن نحسب gcd (2622.2.530).
دعنا نستخدم خوارزمية إقليدس.
2622 = 1 × 2530 + 92
2530 = 27 × 92 + 46
92 = 2 × 46 + 0
كون gcd هو الباقي الأخير غير الصفري ، نستنتج أن gcd (137 ، 41) = 46.
لذلك سيكون هناك 46 بيضة و 46 سمكة في كل عبوة.
2. في الحزمة هناك 2 × 46 = 92 عنصرًا وفي المجموع لدينا 2622 + 2530 = 5152 عنصرًا.
إذن سيكون هناك 56 رزمة (5152: 92 = 56).
التمرين 33:
1. 1. لذلك من الضروري حساب gcd (161،133).
دعنا نستخدم خوارزمية إقليدس.
161 = 1×133 + 28
133 = 4×28 + 21
28 = 1 × 21 + 7
21 = 3 × 7 + 0
كون gcd هو الباقي الأخير غير الصفري ، نستنتج أن gcd (161 ، 133) = 7.
لذلك سيكون هناك 7 أقلام رصاص في كل عبوة.
2. يوجد في العبوة 14 قلم رصاص من كل لون ليصبح المجموع 294 قلم رصاص.
لذلك يوجد إجمالي 21 حزمة (294: 14 = 21).
التمرين 34:
لكي:
احسب gcd (945.595)
945 = 1×595 + 350
595 = 1 × 350 + 245
350 = 1 × 245 + 105
245 = 2 × 105 + 35
105 = 2 × 35 + 35
35 = 1 × 35 + 0
لذا gcd (945،595) = 35
هكذا
بالنسبة لـ B:
احسب gcd (1،771.736)
1771 = 2 × 736 + 299
736 = 2 × 299 + 138
299 = 2 × 138 + 23
138 = 6 × 23 + 0
لذا gcd (1،771.736) = 23
هكذا
التمرين 35:
التمرين 36:
1. نستخدم خوارزمية إقليدس
ونجمع النتائج في جدول.
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
---|---|---|
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
135 | 108 | 27 |
108 | 27 | 0 |
الآن ، في خوارزمية إقليدس ، فإن GCD هو آخر الباقي غير الصفري.
GCD (135 ؛ 108) = 27
2-أ. ما هو الحد الأقصى لعدد الحزم التي يمكن أن يصنعها؟
يمكنها عمل 27 حزمة كحد أقصى.
ب. كم عدد الكرات الحمراء والرخام الأسود في كل علبة؟
108: 27 = 4 كرات حمراء.
135: 27 = 5 كرات سوداء.
خاتمة :
سيكون هناك ، في كل عبوة ، 4 كرات حمراء و 5 كرات سوداء.
التمرين 37:
عدد الأقراص المضغوطة غير قابل للقسمة على 2 و 5 لذا فإن عدد الأقراص المضغوطة لا ينتهي بـ 0،2،4،5،6،8.
لذلك ينتهي بـ 1،3،7،9
الرقم المطلوب هو 421 من خلال عمليات الحذف المتتالية.
التمرين 38:
أ) على السؤال: ” كم عدد قواسم 48؟” يجيب جان بأن هناك 9 ، بينما يجد سيدريك 10.
من على حق ؟
كيف يمكنك إيجاد كل المقسومات على رقم؟
قواسم 48 هي 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ 6 ؛ 8 ؛ 12 ؛ 16 ؛ 24 ؛ 48.
هناك 10 ، سيدريك على حق.
ب) الفنان لديه لوحة قماشية 60 سم في 48 سم.
يريد أن يرسم رصيفًا مؤلفًا من مربعات متطابقة ولكن بألوان مختلفة. طول ضلع هذه المربعات هو عدد صحيح.
ما هو أطول طول ممكن لهذه المربعات (بالسنتيمتر)؟
أطول طول يتوافق مع gcd (60.48)
GCD (60 ؛ 48)
نحن نستخدم خوارزمية إقليدس
ونجمع النتائج في جدول.
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
---|---|---|
توزيعات ارباح | قاسم | يقضي |
60 | 48 | 12 |
48 | 12 | 0 |
الآن ، في خوارزمية إقليدس ، فإن GCD هو آخر الباقي غير الصفري.
GCD (60 ؛ 48) = 12
الخلاصة: أكبر طول هو 12 سم.
التمرين 39:
هل الجمل التالية صحيحة أم خاطئة؟ برر الإجابات.
أ) 3 هو عامل 43. خطأ ز) 24 هو مضاعف 240. صحيح
ب) 132 يقبل القسمة على 11. TRUE h) 5 يقسم 450. TRUE
ج) 7 هو قاسم العدد 21. FALSE i) 8 مقسوم على 0. TRUE
د) 222 هو قاسمه 31024. FALSE ) 1 هو مضاعف 67. FALSE
ه) 31024 هو مضاعف 113. خطأ ك) 1 يقسم 0. صحيح
و) 45 أ للمقسوم عليه 5. صحيح ل) 0 يقسم 15. خطأ
التمرين 40:
إذا كان الرقم يحتوي على قسومتين فقط ، فهو رقم أولي.
ما عليك سوى إنشاء جدول باستخدام برنامج Excel.
نلاحظ أن n = 11 ، نحصل على 121.
لكن 121 قابلة للقسمة على 121 و 11 و 1 ، لذا فإن لها 3 قواسم.
التأكيد خاطئ.
التمرين 41:
1. احسب عدد الفطائر.
احسب gcd (411.685)
685 = 1 × 411 +274
411 = 1 × 274 + 137
274 = 2×137 + 0
لذا gcd (411،685) = 137
2. احسب عدد حبات التوت والفراولة في كل تارتليت.
411: 137 = 3
لذلك سيكون هناك 3 حبات من التوت لكل تارتليت.
685: 137 = 5
سيكون هناك 5 حبات فراولة لكل قطعة تارتليت.
التمرين 42:
1. كم باقة يمكن أن يجمعها بائع الزهور؟
بيّن أن gcd (1105.935) = 85
2. ماذا سيكون تكوين كل باقة؟
1105: 85 = 13 و 935: 85 = 11
تتكون كل باقة من 13 قرنفل و 11 قزحية.
التمرين 43:
1) هل الأعداد 3120 و 2760 أولية نسبيًا؟ يبرر
هذان الرقمان قابلان للقسمة على 10 لذا فهما ليسا جريمة مشتركة لأن gcd لهما يختلف عن 1.
2) احسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 3120 و 2760.
3120 = 1 × 2760 + 360
2760 = 7 × 360 + 240
360 = 1 × 240 + 120
240 = 2 × 120 + 0
يمثل gcd آخر باقي الأجزاء غير الصفرية ، gcd (3120،2760) = 120
3) اجعل الكسر غير قابل للاختزال .
4) صانع الحلويات لديه 3120 دراج وردي و 2760 دراج أبيض ، إنه يريد صنع عبوات متطابقة من السراج الوردي والأبيض.
من أجل تحقيق أقصى ربح من هذه المبيعات ، يجب أن يكون عدد الحزم كبيرًا بقدر الإمكان ويجب أن يستخدم جميع سداداته.
أ) كم عدد الحزم التي يصنعها الحلواني؟
يجب أن تحتوي كل عبوة على أقصى عدد من السروال لكل لون
لذلك فهو يرقى إلى البحث عن gcd (3120،2760) أو 120 حزمة.
ب) ما هو الرقم الموجود في كل علبة من دراج وردية؟
3120: 120 = 26.
تحتوي كل عبوة على 26 ذراعاً زهرية اللون.
ج) ما هو الرقم الموجود في كل علبة من اللوز الأبيض المحلى؟
تحتوي كل عبوة على 26 ذرة بيضاء.
تمارين الرياضيات المصححة على الحساب والتحلل إلى عوامل أولية بالصف الثالث.
بعد الرجوع إلى المصحح لهذه التمارين الرياضية على الحساب والتحلل في العوامل الأولية ، يمكنك العودة إلى التمارين في المركز الثالث .