الأجنحة العددية: دروس الرياضيات في الصف الأول بتنسيق PDF.

درس الرياضيات في 1st S. الإبلاغ عن خطأ في صفحة Mathovore هذه.الإبلاغ عن خطأ / ملاحظة؟
المتتاليات العددية في الصف الأول حيث سنناقش تعريف التسلسل ثم معنى الاختلاف.
في هذا الدرس أولاً ، سوف ندرس عائلتين من متواليات معينة ، المتتاليات الحسابية والهندسية بالإضافة إلى اتجاه التباين وفقًا لقيمة النسبة ، ثم ننتهي بحساب مجموع أول n من المصطلحات للتسلسل العددي.

أولا – التعريف

تعريف :

جناح رقمي(U_n) هي وظيفة\mathbb{N} في\mathbb{R} :n\,\mapsto  \,U_n .

لذلك مجموعة تعريفه\mathbb{N} أو مجموعة فرعية من\mathbb{N} .

ثانيًا. تدوين – المفردات

تدوينات ومفردات المتتاليات:

المتغير n هو عدد صحيح طبيعي ، وهذا العدد الصحيح n يجعل من الممكن ترقيم الصور: بالإضافة إلى الكتابة الوظيفية الكلاسيكية s (n) المستخدمة لتعيين صورة العدد الصحيح الطبيعي n بواسطة الوظيفة s ، يمكن للمرء أيضًا استخدام المفهرسة (أو منخفض) الترميز: s n . باستخدام هذا الترميز ، يتم كتابة صورة 0: s 0 .

بهذا الترميز نقول:

  1. s (n) = s n هو مصطلح الفهرس n أو الرتبة n من التسلسل s.
  2. s هو تسلسل المصطلح العام s n ونكتب: s = (s n )
  3. s (0) = s 0 وهي صورة 0 من s تسمى أيضًا مصطلح الرتبة 0 من التسلسل s.
  4. s (1) = s 1 وهي صورة 1 by s تسمى أيضًا مصطلح الرتبة 1 من التسلسل s.

إذا بدأ الترقيم من الرتبة 0 ، فإن s (0) = s 0 هو المصطلح الأول من التسلسل s. s (1) = s 1 هو الحد الثاني من التسلسل s.

يحدث أحيانًا أن الحد الأول من التسلسل s ليس هو 0 .

مثال :

S_n=\frac{1}{n} غير موجود لـ n = 0. يبدأ التسلسل من المرتبة 1. سنكتب بعد ذلك:(S_n) لn\in\,\mathbb{N}^* .

t_n=\frac{1}{n(n-1)} لا يوجد لـ n = 0 ، ولا لـ n = 1. يبدأ الجناح من المرتبة 2.

في جميع الحالات من هذا النوع ، سنحدد المجموعة الفرعية من\mathbb{N} حيث يتم تحديد التسلسل: هنا لدينا:n\in\mathbb{N}\setminus\,\,\{\,0;1\,\,\} .

ثالثا. طرق مختلفة لتحديد التسلسل

1. التسلسلات المحددة بواسطة صيغة دالة:

تعريف :

لهذا ، في معظم الأحيان ، نقتصر على\mathbb{N} وظيفة محددة على\mathbb{R} أو مجموعة فرعية من\mathbb{R} تحتوي\mathbb{N} .

على سبيل المثال ، التسلسل u n = n 2 (n\in\mathbb{N} ) ، هو التقييد على n للدالة f المُعرَّفة عليها\mathbb{R} بواسطة f (x) = x 2 .

وبالتالي ، فإن الخصائص التي تمت دراستها بالفعل لوظائف المتغير الحقيقي ستكون قابلة للاستخدام في التسلسلات!

ومع ذلك ، سوف ندرس أيضًا بعض الأمثلة على التسلسلات المرتبطة بالوظائف التي لم تدرسها بعد في 1 st ؛ على سبيل المثال ، التسلسل الهندسي u n = 2 n مرتبط بالدالة الأسية المحددة في\mathbb{R} بواسطة f (x) = 2 x والتي سيتم دراستها في العام الأخير.

2. التسلسلات المحددة بواسطة صيغة التكرار:

بالنسبة لأي عدد طبيعي n ، تكون الصورة s (n) = s n “قابلة للترقيم”.

تعريف :

يمكننا تحديد المصطلحs(n+1)\,=\,s_{n+1} من المرتبة (ن + 1) حسب الفصل السابقs(n)\,=\,s_n من رتبة n بواسطة صيغة تسمى صيغة التكرار.

بتعبير أدق ، سيتم تحديد التسلسل s = (s n ) عن طريق الاستقراء من خلال:

  1. ولايته الأولىs(0)\,=\,s_0 .
  2. مساواة تربط أي فترتين متتاليتين من التسلسل:
  3. s_{n+1\,}\,=\,f(s_n\,) أوf هي وظيفة معروفة.

مثال :

التسلسل المحدد بواسطة مصطلحه الأول u 0 = 4096 وتم التحقق من صيغة التكرار لأي عدد صحيح n:U_{n+1}=\sqrt{U_n} .

نحصل على: u 1 =\sqrt{U_0} =\sqrt{4096} = 64

ش 2 =\sqrt{U_1} =\sqrt{64} = 8

ش 3 =\sqrt{U_2} = \sqrt{8}

ش 4 =\sqrt{U_3} = \sqrt{\,\sqrt{8}}\simeq\,1,68

ش 5 =\sqrt{U_4}\simeq\,1,3 …. و هكذا …

هنا يتم تعريف الوظيفة f بواسطةf(x)=\sqrt{x} .

رابعا. تمثيلات بيانية للتسلسلات

تعريف :
عندما يتم تحديد التسلسل من خلال المساواة الوظيفية من النوعU_n=f(n) ، يمكن استخدام التمثيل التقليدي للرسوم البيانية للوظائف: ثم نحصل على عدد نقاط الإحداثي الصحيحة للرسم البياني لوظيفة المتغير الحقيقي x:x\,\mapsto  \,f(x) .

مثال :

الرسم البياني للتسلسل (S_n)ضبط ل \mathbb{N}^*بواسطة: S_n=\frac{1}{n}، يتوافق مع نقاط الإحداثي x\in\mathbb{N}^* من الوظيفة المحددة في \mathbb{R}^* بواسطة f(x)=\frac{1}{x}.

متواليات بيانية و عددية

عندما يتم تحديد التسلسل بواسطة صيغة تكرار من النوعU_{n+1}=f(U_n) ، لم يعد هذا التمثيل ممكنًا بشكل مباشر.

ثم يتم استخدام تمثيل نوع “شبكة العنكبوت”.

مثال :

تمثيل شروط التسلسل.

على الرسم البياني أعلاه ، خطوط المعادلة المستقيمةy=\frac{1}{2}x+1 و y = x.

يتيح هذا الجهاز تصور المصطلحات المتعاقبة للتسلسل(U_n) ضبط ل\mathbb{N} بواسطة :

u 0 = 10 وللجميعn\in\mathbb{N} : U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n+1

في الواقع : U_{1}=\frac{1}{2}U_0+1=\frac{1}{2}\,\times  \,10+1=5+1=6

U_{2}=\frac{1}{2}U_1+1=\frac{1}{2}\,\times  \,6+1=3+1=4

U_{3}=\frac{1}{2}U_2+1=\frac{1}{2}\,\times  \,4+1=2+1=3

متواليات رتيبة.

1. اتجاه الاختلاف من تسلسل.

إذا كان للجميعn\in\mathbb{N} ، لدينا:

U_n\leq\,\,U_{n+1}

U_n=\,U_{n+1}

U_n\,\geq\,\,U_{n+1}

اتجاه الاختلاف (U_n)

(U_n) ينمو

(U_n) ثابت

(U_n)تناقص

التغيير المطلق

U_{n+1}-U_n\,\geq\,\,0

U_{n+1}-U_n\,=\,0

U_{n+1}-U_n\,\leq\,\,0

الحاصل (شروط إيجابية بصرامة)

\frac{U_{n+1}}{U_n\,}\,\geq\,\,1

\frac{U_{n+1}}{U_n\,}\,=\,1

\frac{U_{n+1}}{U_n\,}\,\leq\,\,1

السادس. التسلسلات المقيدة والمقيدة والمقيدة.

نفس التعريفات لوظائف المتغير الحقيقي.

مثال :

التسلسل s n = sin n هو تسلسل محدود. بالفعل: تزداد بمقدار 1 وتنقص بمقدار (-1).

سابعا. أجنحة دورية.

تعريف :

يقال أن التسلسل(U_n) هو دوري من فترةp\in\mathbb{N} ومتى للجميعn\in\mathbb{N} ، لدينا:U_{n+p}=U_n ، p كونها أصغر عدد صحيح طبيعي غير صفري يتحقق من ذلك.

مثال :

التسلسلات الثابتة دورية مع الفترة 1.

الأتىU_{n}=(-1)^n هو دوري مع الفترة 2.

ثامنا. المتتاليات الحسابية.

تعريف :

عندما ننتقل من أي حد في تسلسل إلى الحد التالي ، نضيف دائمًا (أو نطرح) نفس الرقم ، نقول إن المتتالية حسابية.

هذا يعني ، إذا كان هناكr\in\mathbb{Z} ، هذا ، للجميعn\in\mathbb{N} ، نحن :

S_{n+1}=S_n+r، ثم نقول أن التسلسلS_{n} هو حسابي للقواسم المشتركة ص.

وبالتالي فإن زيادات المتتالية الحسابية ثابتة: هذا الثابت هو نسبة r في التسلسل الحسابي.

أمثلة:

  1. تسلسل الأعداد الطبيعية حسابي مع الحد الأول 0 والنسبة الشائعة 1.
  2. تسلسل الأعداد الصحيحة الطبيعية هو حسابي مع الحد الأول 0 والنسبة المشتركة 2.
  3. تسلسل الأعداد الطبيعية الفردية هو حسابي مع الحد الأول 1 والنسبة المشتركة 2.
  4. التسلسل الثابت مع الحد العام U n = 2 حسابي مع الحد الأول 2 والنسبة 0.

تاسعا. المتتاليات الهندسية.

تعريف :

عندما ننتقل من أي حد في متتالية إلى الحد التالي ، نضرب (أو نقسم) دائمًا على نفس العدد غير الصفري ، نقول إن المتتابعة هندسية.

هذا يعني ، إذا كان هناكq\in\mathbb{R}^* ، هذا ، للجميعn\in\mathbb{N} ، نحن :

S_{n+1}=q\times  \,S_n، ثم نقول أن التسلسل(S_{n}\,) هو هندسي العقلq\neq0 .

لذلك فإن معاملات المضاعف للتسلسل الهندسي ثابتة: هذا الثابت هو النسبة q للتسلسل الهندسي.

معدلات نمو التسلسل الهندسي ثابتة أيضًا. في الواقع :

\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=\frac{S_n\times  \,q-S_n}{S_n}=\frac{(q-1)S_n}{S_n}=q-1 .

لذلك فإن التسلسل الهندسي للنسبة q له معدل ثابت للزيادة t = q – 1.

مثال :

التسلسل الثابت مع الحد العام U n = 2 هو هندسي مع الحد الأول 2 والنسبة 1.

تسلسل المصطلح العام U n = (-1) n هندسي مع الحد الأول U 0 = 1 ونسبة -1.

تعليق :

  1. مجموعة(S_{n}\,) التي تكون تغيراتها المطلقة المتعاقبة S n + 1 – S n = r ثابتة ، أي مستقلة عن n ، هي تسلسل حسابي للنسبة r.
  2. مجموعة(S_{n}\,) المتغيرات النسبية المتتالية\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=t هي ثوابت ، أي مستقلة عن n ، هي تسلسل هندسي بنسبة q = 1 + t.

على سبيل المثال ، مع زيادة نسبية قدرها t = 5٪ = 0.05 ، إذن q = 1.05.

في الواقع ، إذا\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}= 0.05 ، إذن: S n + 1 – S n = 0.05 S n .

إذن: S n + 1 = S n + 0.05 S n = (1 + 0.05) S n .

هذا يعطي: S n + 1 = 1.05 S n .

لذلك لدينا تسلسل هندسي بنسبة q = 1.05.

وفي الحالة العامة ، إذا\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=t ، ثم :S_{n+1}\,-\,S_n\,=\,t\,S_n .

لذا :S_{n+1\,}=\,S_n\,+\,t\,S_n\,=\,(1\,+\,t)\,S_n .

لذلك لدينا متتابعة هندسية ذات نسبة مشتركةq=1+t .

10. المتتاليات الحسابية والهندسية: ملخص.

S تسلسل و n أي رقم طبيعي:

تسلسل حسابي مع نسبة ص

تسلسل هندسي بنسبة q ¹ 0

صيغة التكرار

S_{n+1\,}=\,S_n\,+\,r

S_{n+1}\,=\,q\,S_n

التوصيفات

S_{n+1\,}-\,S_n\,=\,r (ثابت)

سواءS_{0}\,\neq0 و\frac{S-{n+1}}{S_n}=q (ثابت)

مصطلح الرتبة n: صيغة الوظيفة

المصطلح الأول + n ضرب النسبة

S_n\,=\,S_0\,+\,n\,r

S_n\,=\,S_1\,+\,(n-1)\,r

الفصل الأول\times  الأس السبب

S_n\,=\,S_0\,\times  \,q^n

S_n\,=\,S_1\times  \,q^{n-1}

الحادي عشر. بعض الملاحظات الشيقة.

1. المتتاليات الحسابية.

تعريف :

التسلسل المحدد بالصيغة:U_n=an+b (دالة أفيني منn ) هو المتتالية الحسابية المصطلح الأولU_0=b والسببa وبالتالي ، فإن التمثيل الرسومي للتسلسل الحسابي يتكون من نقاط محاذية.

2. المتتاليات الهندسية.

تعريف :

تسلسل القوى لعدد حقيقي غير صفري ، للمصطلح العامU_n\,=\,a^n شرق

التسلسل الهندسي ذو المصطلح الأولU_0\,=\,1 والسببa .

وبالتالي ، فإن التمثيل البياني لتسلسل هندسي بنسبة مختلفة عن 1 يتكون من نقاط غير محاذية (توجد على منحنى أسي).

3. الرسوم التوضيحية.

رسم توضيحي للجناح

4. المتتاليات الحسابية واتجاه الاختلاف.

ملكية :

ن ) هو تسلسل حسابي للنسبة ص.

  1. إذا كان r> 0 ، إذن (u n ) يتزايد بشكل صارم.
  2. إذا كان r< 0 ، إذن (u n ) يتناقص بشكل صارم.
  3. إذا كانت r = 0 ، فإن (u n ) ثابتة.

5. المتواليات الهندسية واتجاه الاختلاف.

ملكية :

ن ) هو تسلسل هندسي شائعq\,\neq\,0 والفترة الأولىu_0\,\neq\,0 .

  1. إذا كان q< 0 ، إذن (u n ) ليس رتيبًا (المصطلحات موجبة بالتناوب ، ثم سالبة).
  2. إذا كان q> 1 وإذا ش 0> 0 ، إذن (u n ) يتزايد بشكل صارم.
  3. إذا كان q> 1 وإذا ش 0< 0 ، إذن (u n ) يتناقص بشكل صارم.
  4. إذا كان 0< ف< 1 وإذا ش 0> 0 ، إذن (u n ) يتناقص بشكل صارم.
  5. إذا كان 0< ف< 1 وإذا ش 0< 0 ، إذن (u n ) يتزايد بشكل صارم.
  6. إذا كان q = 1 ، إذن (u n ) ثابت.

6- المتتاليات الحسابية ومجموع المصطلحات المتتالية.

ملكية :

سواء(U_n) هو تسلسل حسابي للنسبة r ، إذن ، للجميعn\in\mathbb{N} ، لدينا :

U_0+U_1+U_2+....+U_n=(n+1)\frac{U_0+U_n}{2} المساواة وهي مكتوبة أيضًا:\sum_{k=0}^{k=n}U_k=(n+1)\,\frac{U_0+U_n}{2} .

لاستخدام هذه الصيغة ، قد يكون من المفيد رؤية ما يلي:(n+1)\,\frac{U_0+U_n}{2}=(n+1)\,(U_0+\frac{nr}{2}\,\,) .

بالخصوص :

1+2+3+4+....+n=\frac{n(n+1)}{2}

7. المتتاليات الهندسية ومجموع المصطلحات المتتالية.

ملكية :

سواء(U_n) هو تسلسل هندسي بنسبة مشتركةq\neq\,1 ، إذن ، للجميعn\in\mathbb{N} ، لدينا :

U_0+U_1+U_2+...+U_n=\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1} المساواة وهي مكتوبة أيضًا:

\sum_{k=0}^{k=n}U_k=\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1} .

لاستخدام هذه الصيغة ، قد يكون من المفيد رؤية ما يلي:

\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1}=U_0\,(\,\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\,\,).

بالخصوص :1+q+q^2+q^3+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} .

Cette publication est également disponible en : Français (الفرنسية) English (الإنجليزية) Español (الأسبانية)


قم بتنزيل وطباعة هذا المستند بتنسيق PDF مجانًا

لديك الاحتمال لتنزيل هذا المستند ثم طباعته " الأجنحة العددية: دروس الرياضيات في الصف الأول بتنسيق PDF. » ؛ بتنسيق PDF.



وثائق أخرى في فئة درس الرياضيات في 1st S.


قم بتنزيل تطبيقاتنا المجانية مع جميع الدروس والتمارين المصححة.

Application Mathovore sur Google Play Store.    Application Mathovore sur Apple Store.     Suivez-nous sur YouTube.

أشكال أخرى مشابهة لـ الأجنحة العددية: دروس الرياضيات في الصف الأول بتنسيق PDF..


  • 100
    العلاقات المترية في أي مثلث: فصل الرياضيات في السنة الأولى.المتتاليات العددية في الصف الأول حيث سنناقش تعريف التسلسل ثم معنى الاختلاف. في هذا الدرس أولاً ، سوف ندرس عائلتين من متواليات معينة ، المتتاليات الحسابية والهندسية بالإضافة إلى اتجاه التباين وفقًا لقيمة النسبة ، ثم ننتهي بحساب مجموع أول n من المصطلحات للتسلسل العددي. أولا - التعريف تعريف :…
  • 85
    The barycentre: درس رياضيات في السنة الأولى للتحميل بصيغة PDF.مركز barycenter لـ n من النقاط الموزونة في فصل الرياضيات في الصف الأول حيث سنناقش تعريف متجهات المستوى ومركز barycenter لـ n من النقاط. سنرى ، في هذا الدرس الأول ، خصائص المتجهات ثم موضع مركز الباريزينات وكذلك الارتباط. مركز barycenter هو مفهوم رياضي يتعلق بدراسة موضع نقطة فيما يتعلق…
  • 84
    الحدود والخطوط المقاربة: درس الرياضيات في السنة الأولى للتحميل بصيغة PDF.درس رياضيات أولاً حول حدود الوظائف بالإضافة إلى وجود خط مقارب لممثل المنحنى لهذه الوظيفة. حدود الوظيفة ودراسة الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية والمائلة في فصل الرياضيات للصف الأول حيث سنناقش تعريف الخط المقارب لمنحنى. في درس الصف الأول هذا ، سنرى العمليات المختلفة على الحدود ونظرية المقارنة. تلخص الجداول أدناه…


Les dernières fiches mises à jour.

Voici les dernières ressources similaires à الأجنحة العددية: دروس الرياضيات في الصف الأول بتنسيق PDF. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

  1. Abonnements
  2. Maths : cours et exercices corrigés à télécharger en PDF.
  3. Subscriptions
  4. Suscripciones
  5. الاشتراكات

تسجيل مجاني في ؛ ماثوفور.  Mathovore هو 3500 درس وتمرين في الرياضيات تم تنزيلها13 703 522 سيق PDF.

Mathovore

مجانى
عرض