الأجنحة: دروس الرياضيات في السنة الأولى للتحميل بصيغة PDF.

درس الرياضيات في 1st S.

Sommaire de cette fiche

1 أولا – التعريف
2 ثانيًا. تدوين – المفردات
3 ثالثا. طرق مختلفة لتحديد التسلسل
- 3.1 1. التسلسلات المحددة بواسطة صيغة دالة:
- 3.2 2. التسلسلات المحددة بواسطة صيغة التكرار:
4 رابعا. تمثيلات بيانية للتسلسلات
5 متواليات رتيبة.
- 5.1 1. اتجاه الاختلاف من تسلسل.
6 السادس. التسلسلات المقيدة والمقيدة والمقيدة.
7 سابعا. أجنحة دورية.
8 ثامنا. المتتاليات الحسابية.
9 تاسعا. المتتاليات الهندسية.
10 10. المتتاليات الحسابية والهندسية: ملخص.
11 الحادي عشر. بعض الملاحظات الشيقة.

المتتاليات العددية في الصف الأول حيث سنناقش تعريف التسلسل ثم معنى الاختلاف.
في هذا الدرس أولاً ، سوف ندرس عائلتين من متواليات معينة ، المتتاليات الحسابية والهندسية بالإضافة إلى اتجاه التباين وفقًا لقيمة النسبة ، ثم ننتهي بحساب مجموع أول n من المصطلحات للتسلسل العددي.

أولا – التعريف

تعريف :

جناح رقمي (U_n) هي وظيفة $\mathbb{N}$ في $\mathbb{R}$ : $n\,\mapsto \,U_n$ .

لذلك مجموعة تعريفه $\mathbb{N}$ أو مجموعة فرعية من $\mathbb{N}$ .

ثانيًا. تدوين – المفردات

تدوينات ومفردات المتتاليات:

المتغير n هو عدد صحيح طبيعي ، وهذا العدد الصحيح n يجعل من الممكن ترقيم الصور: بالإضافة إلى الكتابة الوظيفية الكلاسيكية s (n) المستخدمة لتعيين صورة العدد الصحيح الطبيعي n بواسطة الوظيفة s ، يمكن للمرء أيضًا استخدام المفهرسة (أو منخفض) الترميز: s _n . باستخدام هذا الترميز ، يتم كتابة صورة 0: s ₀ .

بهذا الترميز نقول:

s (n) = s _n هو مصطلح الفهرس n أو الرتبة n من التسلسل s.
s هو تسلسل المصطلح العام s _n ونكتب: s = (s _n )
s (0) = s ₀ وهي صورة 0 من s تسمى أيضًا مصطلح الرتبة 0 من التسلسل s.
s (1) = s ₁ وهي صورة 1 by s تسمى أيضًا مصطلح الرتبة 1 من التسلسل s.

إذا بدأ الترقيم من الرتبة 0 ، فإن s (0) = s ₀ هو المصطلح الأول من التسلسل s. s (1) = s ₁ هو الحد الثاني من التسلسل s.

يحدث أحيانًا أن الحد الأول من التسلسل s ليس هو ₀ .

مثال :

$S_n=\frac{1}{n}$ غير موجود لـ n = 0. يبدأ التسلسل من المرتبة 1. سنكتب بعد ذلك: ل $n\in\,\mathbb{N}^*$ .

$t_n=\frac{1}{n(n-1)}$ لا يوجد لـ n = 0 ، ولا لـ n = 1. يبدأ الجناح من المرتبة 2.

في جميع الحالات من هذا النوع ، سنحدد المجموعة الفرعية من $\mathbb{N}$ حيث يتم تحديد التسلسل: هنا لدينا: $n\in\mathbb{N}\setminus\,\,\{\,0;1\,\,\}$ .

ثالثا. طرق مختلفة لتحديد التسلسل

1. التسلسلات المحددة بواسطة صيغة دالة:

تعريف :

لهذا ، في معظم الأحيان ، نقتصر على $\mathbb{N}$ وظيفة محددة على $\mathbb{R}$ أو مجموعة فرعية من $\mathbb{R}$ تحتوي $\mathbb{N}$ .

على سبيل المثال ، التسلسل u _n = n ² ( $n\in\mathbb{N}$ ) ، هو التقييد على n للدالة f المُعرَّفة عليها $\mathbb{R}$ بواسطة f (x) = x ² .

وبالتالي ، فإن الخصائص التي تمت دراستها بالفعل لوظائف المتغير الحقيقي ستكون قابلة للاستخدام في التسلسلات!

ومع ذلك ، سوف ندرس أيضًا بعض الأمثلة على التسلسلات المرتبطة بالوظائف التي لم تدرسها بعد في 1 ^st ؛ على سبيل المثال ، التسلسل الهندسي u _n = 2 ⁿ مرتبط بالدالة الأسية المحددة في $\mathbb{R}$ بواسطة f (x) = 2 ^x والتي سيتم دراستها في العام الأخير.

2. التسلسلات المحددة بواسطة صيغة التكرار:

بالنسبة لأي عدد طبيعي n ، تكون الصورة s (n) = s _n “قابلة للترقيم”.

تعريف :

يمكننا تحديد المصطلح $s(n+1)\,=\,s_{n+1}$ من المرتبة (ن + 1) حسب الفصل السابق $s(n)\,=\,s_n$ من رتبة n بواسطة صيغة تسمى صيغة التكرار.

بتعبير أدق ، سيتم تحديد التسلسل s = (s _n ) عن طريق الاستقراء من خلال:

ولايته الأولى $s(0)\,=\,s_0$ .
مساواة تربط أي فترتين متتاليتين من التسلسل:
$s_{n+1\,}\,=\,f(s_n\,)$ أو هي وظيفة معروفة.

مثال :

التسلسل المحدد بواسطة مصطلحه الأول u ₀ = 4096 وتم التحقق من صيغة التكرار لأي عدد صحيح n: $U_{n+1}=\sqrt{U_n}$ .

نحصل على: u ₁ = $\sqrt{U_0}$ = $\sqrt{4096}$ = 64

ش ₂ = $\sqrt{U_1}$ = $\sqrt{64}$ = 8

ش ₃ = $\sqrt{U_2}$ = $\sqrt{8}$

ش ₄ = $\sqrt{U_3}$ = $\sqrt{\,\sqrt{8}}$ $\simeq\,1,68$

ش ₅ = $\sqrt{U_4}$ $\simeq\,1,3$ …. و هكذا …

هنا يتم تعريف الوظيفة f بواسطة $f(x)=\sqrt{x}$ .

رابعا. تمثيلات بيانية للتسلسلات

تعريف :

عندما يتم تحديد التسلسل من خلال المساواة الوظيفية من النوع

، يمكن استخدام التمثيل التقليدي للرسوم البيانية للوظائف: ثم نحصل على عدد نقاط الإحداثي الصحيحة للرسم البياني لوظيفة المتغير الحقيقي x: $x\,\mapsto \,f(x)$ .

مثال :

الرسم البياني للتسلسل ضبط ل $\mathbb{N}^*$ بواسطة: $S_n=\frac{1}{n}$ ، يتوافق مع نقاط الإحداثي $x\in\mathbb{N}^*$ من الوظيفة المحددة في $\mathbb{R}^*$ بواسطة $f(x)=\frac{1}{x}$ .

عندما يتم تحديد التسلسل بواسطة صيغة تكرار من النوع $U_{n+1}=f(U_n)$ ، لم يعد هذا التمثيل ممكنًا بشكل مباشر.

ثم يتم استخدام تمثيل نوع “شبكة العنكبوت”.

مثال :

على الرسم البياني أعلاه ، خطوط المعادلة المستقيمة $y=\frac{1}{2}x+1$ و y = x.

يتيح هذا الجهاز تصور المصطلحات المتعاقبة للتسلسل ضبط ل $\mathbb{N}$ بواسطة :

u ₀ = 10 وللجميع $n\in\mathbb{N}$ : $U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n+1$

في الواقع : $U_{1}=\frac{1}{2}U_0+1=\frac{1}{2}\,\times \,10+1=5+1=6$

$U_{2}=\frac{1}{2}U_1+1=\frac{1}{2}\,\times \,6+1=3+1=4$

$U_{3}=\frac{1}{2}U_2+1=\frac{1}{2}\,\times \,4+1=2+1=3$

متواليات رتيبة.

1. اتجاه الاختلاف من تسلسل.

إذا كان للجميع $n\in\mathbb{N}$ ، لدينا:	$U_n\leq\,\,U_{n+1}$	$U_n=\,U_{n+1}$	$U_n\,\geq\,\,U_{n+1}$
اتجاه الاختلاف	ينمو	ثابت	تناقص
التغيير المطلق	$U_{n+1}-U_n\,\geq\,\,0$	$U_{n+1}-U_n\,=\,0$	$U_{n+1}-U_n\,\leq\,\,0$
الحاصل (شروط إيجابية بصرامة)	$\frac{U_{n+1}}{U_n\,}\,\geq\,\,1$	$\frac{U_{n+1}}{U_n\,}\,=\,1$	$\frac{U_{n+1}}{U_n\,}\,\leq\,\,1$

السادس. التسلسلات المقيدة والمقيدة والمقيدة.

نفس التعريفات لوظائف المتغير الحقيقي.

مثال :

التسلسل s _n = sin n هو تسلسل محدود. بالفعل: تزداد بمقدار 1 وتنقص بمقدار (-1).

سابعا. أجنحة دورية.

تعريف :

يقال أن التسلسل (U_n) هو دوري من فترة $p\in\mathbb{N}$ ومتى للجميع $n\in\mathbb{N}$ ، لدينا: $U_{n+p}=U_n$ ، p كونها أصغر عدد صحيح طبيعي غير صفري يتحقق من ذلك.

مثال :

التسلسلات الثابتة دورية مع الفترة 1.

الأتى $U_{n}=(-1)^n$ هو دوري مع الفترة 2.

ثامنا. المتتاليات الحسابية.

تعريف :

عندما ننتقل من أي حد في تسلسل إلى الحد التالي ، نضيف دائمًا (أو نطرح) نفس الرقم ، نقول إن المتتالية حسابية.

هذا يعني ، إذا كان هناك $r\in\mathbb{Z}$ ، هذا ، للجميع $n\in\mathbb{N}$ ، نحن :

$S_{n+1}=S_n+r$ ، ثم نقول أن التسلسل $S_{n}$ هو حسابي للقواسم المشتركة ص.

وبالتالي فإن زيادات المتتالية الحسابية ثابتة: هذا الثابت هو نسبة r في التسلسل الحسابي.

أمثلة:

تسلسل الأعداد الطبيعية حسابي مع الحد الأول 0 والنسبة الشائعة 1.
تسلسل الأعداد الصحيحة الطبيعية هو حسابي مع الحد الأول 0 والنسبة المشتركة 2.
تسلسل الأعداد الطبيعية الفردية هو حسابي مع الحد الأول 1 والنسبة المشتركة 2.
التسلسل الثابت مع الحد العام U _n = 2 حسابي مع الحد الأول 2 والنسبة 0.

تاسعا. المتتاليات الهندسية.

تعريف :

عندما ننتقل من أي حد في متتالية إلى الحد التالي ، نضرب (أو نقسم) دائمًا على نفس العدد غير الصفري ، نقول إن المتتابعة هندسية.

هذا يعني ، إذا كان هناك $q\in\mathbb{R}^*$ ، هذا ، للجميع $n\in\mathbb{N}$ ، نحن :

$S_{n+1}=q\times \,S_n$ ، ثم نقول أن التسلسل $(S_{n}\,)$ هو هندسي العقل $q\neq0$ .

لذلك فإن معاملات المضاعف للتسلسل الهندسي ثابتة: هذا الثابت هو النسبة q للتسلسل الهندسي.

معدلات نمو التسلسل الهندسي ثابتة أيضًا. في الواقع :

$\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=\frac{S_n\times \,q-S_n}{S_n}=\frac{(q-1)S_n}{S_n}=q-1$ .

لذلك فإن التسلسل الهندسي للنسبة q له معدل ثابت للزيادة t = q – 1.

مثال :

التسلسل الثابت مع الحد العام U _n = 2 هو هندسي مع الحد الأول 2 والنسبة 1.

تسلسل المصطلح العام U _n = (-1) ⁿ هندسي مع الحد الأول U ₀ = 1 ونسبة -1.

تعليق :

مجموعة $(S_{n}\,)$ التي تكون تغيراتها المطلقة المتعاقبة S _{n + 1} – S _n = r ثابتة ، أي مستقلة عن n ، هي تسلسل حسابي للنسبة r.
مجموعة $(S_{n}\,)$ المتغيرات النسبية المتتالية $\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=t$ هي ثوابت ، أي مستقلة عن n ، هي تسلسل هندسي بنسبة q = 1 + t.

على سبيل المثال ، مع زيادة نسبية قدرها t = 5٪ = 0.05 ، إذن q = 1.05.

في الواقع ، إذا $\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=$ 0.05 ، إذن: S _{n + 1} – S _n = 0.05 S _n .

إذن: S _{n + 1} = S _n + 0.05 S _n = (1 + 0.05) S _n .

هذا يعطي: S _{n + 1} = 1.05 S _n .

لذلك لدينا تسلسل هندسي بنسبة q = 1.05.

وفي الحالة العامة ، إذا $\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=t$ ، ثم : $S_{n+1}\,-\,S_n\,=\,t\,S_n$ .

لذا : $S_{n+1\,}=\,S_n\,+\,t\,S_n\,=\,(1\,+\,t)\,S_n$ .

لذلك لدينا متتابعة هندسية ذات نسبة مشتركة .

10. المتتاليات الحسابية والهندسية: ملخص.

S تسلسل و n أي رقم طبيعي:

	تسلسل حسابي مع نسبة ص	تسلسل هندسي بنسبة q ¹ 0
صيغة التكرار	$S_{n+1\,}=\,S_n\,+\,r$	$S_{n+1}\,=\,q\,S_n$
التوصيفات	$S_{n+1\,}-\,S_n\,=\,r$ (ثابت)	سواء $S_{0}\,\neq0$ و $\frac{S-{n+1}}{S_n}=q$ (ثابت)
مصطلح الرتبة n: صيغة الوظيفة	المصطلح ^الأول + n ضرب النسبة $S_n\,=\,S_0\,+\,n\,r$ $S_n\,=\,S_1\,+\,(n-1)\,r$	الفصل ^الأول $\times$ الأس السبب $S_n\,=\,S_0\,\times \,q^n$ $S_n\,=\,S_1\times \,q^{n-1}$

الحادي عشر. بعض الملاحظات الشيقة.

1. المتتاليات الحسابية.

تعريف :

التسلسل المحدد بالصيغة: (دالة أفيني من ) هو المتتالية الحسابية المصطلح الأول U_0=b والسبب وبالتالي ، فإن التمثيل الرسومي للتسلسل الحسابي يتكون من نقاط محاذية.

2. المتتاليات الهندسية.

تعريف :

تسلسل القوى لعدد حقيقي غير صفري ، للمصطلح العام $U_n\,=\,a^n$ شرق

التسلسل الهندسي ذو المصطلح الأول $U_0\,=\,1$ والسبب .

وبالتالي ، فإن التمثيل البياني لتسلسل هندسي بنسبة مختلفة عن 1 يتكون من نقاط غير محاذية (توجد على منحنى أسي).

3. الرسوم التوضيحية.

4. المتتاليات الحسابية واتجاه الاختلاف.

ملكية :

(ش _ن ) هو تسلسل حسابي للنسبة ص.

إذا كان r> 0 ، إذن (u _n ) يتزايد بشكل صارم.
إذا كان r< 0 ، إذن (u _n ) يتناقص بشكل صارم.
إذا كانت r = 0 ، فإن (u _n ) ثابتة.

5. المتواليات الهندسية واتجاه الاختلاف.

ملكية :

(ش _ن ) هو تسلسل هندسي شائع $q\,\neq\,0$ والفترة الأولى $u_0\,\neq\,0$ .

إذا كان q< 0 ، إذن (u _n ) ليس رتيبًا (المصطلحات موجبة بالتناوب ، ثم سالبة).
إذا كان q> 1 وإذا ش ₀> 0 ، إذن (u _n ) يتزايد بشكل صارم.
إذا كان q> 1 وإذا ش ₀< 0 ، إذن (u _n ) يتناقص بشكل صارم.
إذا كان 0< ف< 1 وإذا ش ₀> 0 ، إذن (u _n ) يتناقص بشكل صارم.
إذا كان 0< ف< 1 وإذا ش ₀< 0 ، إذن (u _n ) يتزايد بشكل صارم.
إذا كان q = 1 ، إذن (u _n ) ثابت.

6- المتتاليات الحسابية ومجموع المصطلحات المتتالية.

ملكية :

سواء (U_n) هو تسلسل حسابي للنسبة r ، إذن ، للجميع $n\in\mathbb{N}$ ، لدينا :

$U_0+U_1+U_2+....+U_n=(n+1)\frac{U_0+U_n}{2}$ المساواة وهي مكتوبة أيضًا: $\sum_{k=0}^{k=n}U_k=(n+1)\,\frac{U_0+U_n}{2}$ .

لاستخدام هذه الصيغة ، قد يكون من المفيد رؤية ما يلي: $(n+1)\,\frac{U_0+U_n}{2}=(n+1)\,(U_0+\frac{nr}{2}\,\,)$ .

بالخصوص :

$1+2+3+4+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

7. المتتاليات الهندسية ومجموع المصطلحات المتتالية.

ملكية :

سواء (U_n) هو تسلسل هندسي بنسبة مشتركة $q\neq\,1$ ، إذن ، للجميع $n\in\mathbb{N}$ ، لدينا :

$U_0+U_1+U_2+...+U_n=\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1}$ المساواة وهي مكتوبة أيضًا:

$\sum_{k=0}^{k=n}U_k=\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1}$ .

لاستخدام هذه الصيغة ، قد يكون من المفيد رؤية ما يلي:

$\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1}=U_0\,(\,\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\,\,)$ .

بالخصوص : $1+q+q^2+q^3+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ .

Cette publication est également disponible en : Français (الفرنسية) English (الإنجليزية) Español (الأسبانية)

قم بتنزيل وطباعة هذا المستند بتنسيق PDF مجانًا

لديك الاحتمال لتنزيل هذا المستند ثم طباعته " الأجنحة العددية: دروس الرياضيات في الصف الأول بتنسيق PDF. » ؛ بتنسيق PDF.

وثائق أخرى في فئة درس الرياضيات في 1st S.

قم بتنزيل تطبيقاتنا المجانية مع جميع الدروس والتمارين المصححة.

أشكال أخرى مشابهة لـ الأجنحة العددية: دروس الرياضيات في الصف الأول بتنسيق PDF..

العلاقات المترية في أي مثلث: فصل الرياضيات في السنة الأولى.
100
المتتاليات العددية في الصف الأول حيث سنناقش تعريف التسلسل ثم معنى الاختلاف. في هذا الدرس أولاً ، سوف ندرس عائلتين من متواليات معينة ، المتتاليات الحسابية والهندسية بالإضافة إلى اتجاه التباين وفقًا لقيمة النسبة ، ثم ننتهي بحساب مجموع أول n من المصطلحات للتسلسل العددي. أولا - التعريف تعريف :…
The barycentre: درس رياضيات في السنة الأولى للتحميل بصيغة PDF.
85
مركز barycenter لـ n من النقاط الموزونة في فصل الرياضيات في الصف الأول حيث سنناقش تعريف متجهات المستوى ومركز barycenter لـ n من النقاط. سنرى ، في هذا الدرس الأول ، خصائص المتجهات ثم موضع مركز الباريزينات وكذلك الارتباط. مركز barycenter هو مفهوم رياضي يتعلق بدراسة موضع نقطة فيما يتعلق…
الحدود والخطوط المقاربة: درس الرياضيات في السنة الأولى للتحميل بصيغة PDF.
84
درس رياضيات أولاً حول حدود الوظائف بالإضافة إلى وجود خط مقارب لممثل المنحنى لهذه الوظيفة. حدود الوظيفة ودراسة الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية والمائلة في فصل الرياضيات للصف الأول حيث سنناقش تعريف الخط المقارب لمنحنى. في درس الصف الأول هذا ، سنرى العمليات المختلفة على الحدود ونظرية المقارنة. تلخص الجداول أدناه…

Les dernières fiches mises à jour.

Voici les dernières ressources similaires à الأجنحة العددية: دروس الرياضيات في الصف الأول بتنسيق PDF. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore هو 3500 درس وتمرين في الرياضيات تم تنزيلها13 703 522 سيق PDF.