Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

bac maths 2024 sujet

De nombreux exercices type du bac de maths 2024 classés par chapitres.

Ces exercices type vous permettent de réviser le baccalauréat des lycées afin de vous préparer dans les meilleurs conditions.

En complément de tous les sujets du baccalauréat de mathématiques des sessions antérieures, Mathovore met à votre disposition des extraits de sujet qui ciblent chaque chapitre du programme de terminale.

Les fonctions numériques

On considère l’application f de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. dans mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. définie par :

si mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. ;

et pour tout mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

1. Etudier la restriction mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. de f à l’intervalle [0;2] et construire la courbe représentative de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n;2n+2] où n est élément de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

2. Démontrer que :

Si mimetex.cgi? x\in [2n;2n+2]\,,\, f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x) Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

3. Est-ce que f est continue sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. ?

4. Est-ce que f est dérivable sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. ?

Les suites numériques

Soient mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. les suites définies pour tout entier naturel n par :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

1.a. Montrer que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est une suite géométrique à termes positifs .

b. Calculer la somme mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. en fonction de n et en déduire la somme mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. en fonction de n .

c. déterminer mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

2. On définit la suite mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. par mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. pour tout entier n .

Montrer que la suite mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est une suite arithmétique .

Calculer mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. en fonction de n et déterminer mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

3. Calculer le produit mimetex.cgi? P_n=V_0\times   V_1 \times   ... Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. en fonction de n.

En déduire mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

Probabilités :

Un joueur débute un jeu au cours duquel est amené à faire successivement plusieurs parties.

La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2.

Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :

S’il gagne une partie, alors il perd la suivante avec une probabilité de 0,05 ;

S’il perd une partie, alors il perd la suivante avec une probabilité de 0,1.

1) On appelle :

E1 l’événement « le joueur perd la première partie » ;

E2 l’événement « le joueur perd la deuxième partie » ;

E3 l’événement « le joueur perd la troisième partie ».

On appelle la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.

On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
a)      Quelles sont les valeurs prises par X ?
b)      Montrer que la probabilité de l’événement (X = 2) est égale à 0,031 et que celle de l’événement (X = 3) est égale à 0,002.
c)      Déterminer la loi de probabilité de X.
d)      Calculer l’espérance de X.
2) Pour tout entier naturel n non nul, on note En l’événement : « le joueur perd la n-ième partie », mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.  l’événement contraire, et on note pn la probabilité de l’événement En.
a)      Exprimer pour tout entier naturel n non nul, les probabilités des événements
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.  en fonction de pn.
b)      En déduire que pn+1 = 0,05 pn + 0,05 pour tout entier naturel n non nul.
3) On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
a)      Montrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b)      En déduire, pour tout entier naturel n non nul, un puis pn en fonction de n.
c)      Calculer la limite de pn quand n tend versmimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

Les nombres complexes

Rechercher tous les couples mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. de nombres complexes satisfaisant aux conditions :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

Donner la forme trigonométrique de chacun des nombres ainsi obtenus .

Les nombres complexes et la trigonométrie

Soient les nombres complexes mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

1. Mettre sous forme trigonométrique mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

En déduire que :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

3. On considere l’équation d’inconnue réelle x :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

a. Résoudre cette équation dans mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

b. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique .

Les équations différentielles

On considère  l’équation différentielle mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

1. Démontrer que la fonction u définie sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. par mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est une solution de (E) .

2. Résoudre l’équation différentielle mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

3. Démontrer qu’une fonction v définie sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est solution de (E) si et seulement si v-u est solution de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

4. En déduire toutes les solutions de l’équation (E) .

5. Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0 .

6. Le plan est muni d’un repère orthonormé mimetex.cgi? (O,\vec{i},\vec{j}) Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

Soit la fonction f définie sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. par mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

On note C la courbe représentative de f dans le repère mimetex.cgi? (O,\vec{i},\vec{j}) Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

a. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation .

b. Tracer C .

Le barycentre de points pondérés

On considère un triangle ABC du plan .

1.a. Déterminer et construire le point G, barycentre du système de points pondérés :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

b. Déterminer et construire le point G’, barycentre du système de points pondérés :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

2.a. Soit J le milieu de [AB].

Exprimer mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. en fonction de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et en déduire l’intersection des droites (GG’) et (AB) .

b. Montrer que le barycentre I du système de points pondérés :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. appartient à (GG’) .

3. Soit D un point quelconque du plan et O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA] .

a. Déterminer trois réels a, b, c tels que K soit le barycentre du système de points pondérés :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

b. Soit X le point d’intersection de (DK) et (AC).

Déterminer les réels a’ et c’ tels que X soit barycentre du système de points pondérés :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

La géométrie dans l’espace

On se propose d’étudier une modélisation d’une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l’espace .

L’espace est rapporté à un repère orthonormal mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. d’unité 1 km .

Le plan mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. représente le sol .

les deux routes aériennes à contrôler sont représentées par deux droites mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. , dont on connait des représentations paramétriques :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

1.a. Indiquer les coordonnées d’un vecteur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. directeur de la droite mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et d’un vecteur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. directeur de la droite mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

b. Prouver que les droites mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. ne sont pas coplanaires .

2. On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de coordonnées S(3;4;0,1), n appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite notée (R).

Soit mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. le plan contenant S et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et soit mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. le plan contenant S et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

a. Montre que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est sécante à mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

b. Montre que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est sécante à mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

c. Un technicien affirme qu’il est possible de choisir la direction de (R) pour que cette droite coupe chacune des droites mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

Cette affirmation est-elle vraie? (justifier la réponse)

Problème sur les équations différentielles

Partie A

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat., vérifient, pour tout x réel :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

a. Montrer que g est solution de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. si et seulement si, pour tout x réel :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat., sachant que f(0)=0.

Quelle est alors la fonction g?

2. Soit mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. une fonction dérivable sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

a. Montrer que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est solution de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. si et seulement si mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est solution de l’équation :

(F) y’+y=0

b. Résoudre (F) .

c. déterminer la solution générale mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. de l’équation mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

d. Déterminer la solution f de l’équation mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.vérifiant f(0)=0 .

Partie B

Le but de cette partie est de montrer que :
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
1. On pose, pour tout x réel,

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

a. vérifier que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est solution de l’équation différentielle : y’+y=mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. comme la solution de l’équation différentielle y’+y=mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. vérifiant mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

2. Pour tout entier naturel n, on pose :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0;1], l’encadrement :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

En déduire que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat., puis déterminer la limite de la suite mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

c. Calculer mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et déduire de ce qui précède que :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

d. En déduire finalement :
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
Les similitudes planes et enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

On désigne par s l’application qui à tout point M de P de coordonnées (x,y) associe le point M’ de coordonnées (x’, y’) tel que :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

1. Déterminer l’affixe z’ de M’ en fonction de l’affixe z de M .

2. Démontrer que s est une similitude plane directe.

Préciser son angle, son rapport et son centre I .

3. Soit g l’application qui à tout point M de P associe l’isobarycentre G des points M,M’=s(M) et M »=s(M’) .

a. Calculer , en fonction de l’affixe z de M, les affixes des points M » et G.

b. Démontrer que g est une similitude plane directe.

Quel est son centre ?

c. Déterminer l’affixe du point Mo tel que g(Mo) soit le point O .

Reporter sur une figure les points Mo, M’o, M »o correspondants, ainsi que le point I, centre de la similitude s .

Extraits du baccalauréat S sur l’arithmétique

Soit n un entier naturel .

1. trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. par 13 .

2. En déduire que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est divisible par 13.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est divisible par 13 .

Les similitudes planes en spécialité

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O.

Soit P un point du segment [BC] distinct de B .

On note Q l’intersection de (AP) avec (CD) .

La perpendiculaire mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. à (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S .

1. Faire une figure .

2. Soit r la rotation de centre A et d’angle mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

a. Préciser, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rotation r .

b. Déterminer les images de R et de P par r .

c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS ?

3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR] .

Soit s la similitude de centre A, d’angle mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et de rapport mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

a. Déterminer les images respectives de R et de P par s .

b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ?

c. Démontrer que les points M, B, N et D sont alignés .

Exponentielle au bac S en Amérique du Nord
L’objet de cette question est de démontrer que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

On supposera connus les résultats suivants :
·        La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée ;
·        mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. ;
·        pour tout réel x, on a mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. ;
·        soient deux fonctionsmimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.  définies sur l’intervallemimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. où A est un réel positif.
Si pour tout x de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.   et si mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.  alors mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
a)      on considère la fonction g définie sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. par mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
Montrer que pour tout x de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
b)      En déduire que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
Similitudes au bac S à Pondichéry en spécialité

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

On considère l’application mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. qui au point M  d’affixe z fait correspondre le point M’ d’affixe mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.  tel que :
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

  1. On note x et x ‘, y et y ‘ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ‘ .

Démontrer que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
2. a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
b. Quelle est la nature de l’application f ?
3. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que z ‘  soit réel.

4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.

Donner une solution particulière (x0, y0) appartenant a Z2 de l’équation 4x – 3y = 2.

Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à Z2 de l’équation 4x – 3y = 2.

5. On considère les points M d’affixe z = x + iy tels que x= 1 et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.. Le point M’ = f(M) a pour affixe z ‘ .

Déterminer les entiers y tels que Re(z ‘ ) et lm(z ‘ ) soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).

Géométrie dans l’espace au bac S en France :

Soient mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :

–  OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O,

–  OA = OB = OC = mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l’espace défini par :
tetraedre-29-10 Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
1.      Quelle est la nature du triangle ABC ?
2.      Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’orthocentre du triangle ABC.
3.      Calcul de OH
a.       Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l’aire S du triangle ABC.
b.      Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
4.      Étude du tétraèdre ABCD.

L’espace est rapporté au repère orthonormal mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
(a)   Démontrer que le point H a pour coordonnées : mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
(b)  Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c’est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).
(c)  Soit mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.
Démontrer que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.
Bactéries et équations différentielles

Soit mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l’instant mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.  (mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. étant un réel strictement positif, exprimé en millions d’individus).

Ce problème a pour objet l’étude de deux modèles d’évolution de cette population de bactéries :

– un premier modèle pour les instants qui suivent l’ensemencement (partie A),

– un second modèle pouvant s’appliquer sur une longue période (partie B).

Partie A

Dans les instants qui suivent l’ensemencement du milieu de culture,

on considère que la vitesse d’accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.

Dans ce premier modèle, on notemimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. le nombre de bactéries à l’instant mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. (exprimé en millions d’individus).

La fonctionmimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est donc solution de l’équation différentielle :mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.. (où mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales).
1.      Résoudre cette équation différentielle, sachant que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .
2.      On note mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. le temps de doublement de la population bactérienne.
Démontrer que, pour tout réel t positif : mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

Partie B

Le milieu étant limité (en volume, en éléments nutritifs, …), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s’appliquer sur une longue période.

Pour tenir compte de ces observations, on représente l’évolution de la population de bactéries de la façon suivante :

Soit mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est le nombre de bactéries à l’instant t (exprimé en millions d’individus) ;

la fonction mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est une fonction strictement positive et dérivable sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. qui vérifie pour tout mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. la relation :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

où M est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. le réel défini dans la partie A.1.     (a)   Démontrer que si mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est une fonction strictement positive vérifiant la relation (E),
alors la fonction mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.  est solution de l’équation différentielle
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

(b)  Résoudre (E ’ ).
(c)  Démontrer que si mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est une solution strictement positive de (E ’ ), alors mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. vérifie (E).
2.      On suppose désormais que, pour tout réel positif mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
où mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est une constante strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expérimentales.
(a)             Déterminer la limite de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. en mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et démontrer, pour tout réel mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. positif ou nul, la double inégalité :mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
(b)             Étudier le sens de variation de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. (on pourra utiliser la relation (E)).
Démontrer qu’il existe un réel unique mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. positif tel que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
(c)  Démontrer que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
Étudier le signe de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
En déduire que la vitesse d’accroissement du nombre de bactéries est décroissante à partir de l’instant mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. défini ci-dessus.
Exprimer mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.  en fonction de mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
(d)  Sachant que le nombre de bactéries à l’instant mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. est mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat., calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants 0 et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat., en fonction de M et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
Probabilités au bac S en Nouvelle Calédonie :

Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d’une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 € ;

si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 €

et si une seule est rouge il gagne 4 €.

Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.

Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d’un jeu.

1°) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

2°) Pour un jeu, la mise est de 10 €. Le jeu est-il favorable au joueur, c’est-à-dire l’espérance mathématiques est-elle strictement supérieure à 10 ?

3°) Pour l’organisateur, le jeu ne s’avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions:

_ soit augmenter la mise de 1 €, donc passer à 11 €,

_ soit diminuer chaque gain de 1 €, c’est-à-dire ne gagner que 99 €, 14 e ou  3€.
Quelle est la solution la plus rentable pour l’organisateur ?

Arithmétique en spécialité

On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.

On pose S= x + y et P = xy.

1°)       a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.

b) En déduire que S = x+y et P =xy sont premiers entre eux.

c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes ( l’un pair, l’autre impair).
2°) Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.

3°) Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que : SP = 84.

4°) Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes:
mimetex.cgi? \{ a+b=84\\ab=d^3  Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. avec d = pgcd(a;b)
(On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux).

Nombres complexes

1°) On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par:
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
a)      Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équation P(z) = 0.
b)      Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z,
on ait mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
c)      Résoudre dans l’ensemble mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. des nombres complexes, l’équation P(z) = 0.
2°) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

On prendra 1 cm pour unité graphique.
a)      Placer les points A, B et I d’affixes respectives zA = -7 + 5 i ; zB = -7 – 5 i et mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
b)      Déterminer l’affixe de l’image du point I par la rotation de centre O et d’angle mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
c)      Placer le point C d’affixe zC = 1 + i. Déterminer l’affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme.
d)      Placer le point D d’affixe zA = 1 + 11 i.
Calculer mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.
Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Probabilités

Une salle informatique d’un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux.

Tous les ordinateurs ont la même probabilité d’être choisis.

On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle.

Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0.

Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie inférieure à t années, notée p(X t), est donnée par :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
1.   Déterminer λ sachant que p(X > 5) = 0,4.
2.     Dans cette question, on prendra λ = 0,18.
Sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10−3 près, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?
3.     Dans cette question, on admet que la durée de vie d’un ordinateur est indépendante de celle des autres et que p(X > 5) = 0,4.

a.         On considère un lot de 10 ordinateurs.
Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?

On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.

b.         Quel nombre minimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l’évènement « l’un au moins d’entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ?

Géométrie dans l’espace

On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n’est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.

L’espace est rapporté au repère orthonormal mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
1.     Démontrer que le vecteur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. de coordonnées (1 ; 0 ; 1) est un vecteur normal au plan (BCE).
2.            Déterminer une équation du plan (BCE).
3.     On note (Δ) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ).
4.     Démontrer que la droite (Δ) est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A.
5. a. Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs 1, −1 et 2.
b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (S) des points M
de l’espace tels que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
c. Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l’ensemble (S).
d. Démontrer que l’intersection du plan (BCE) et de l’ensemble (S) est un cercle dont on précisera le rayon.
cube-29-10 Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

Arithmétique (spécialité)

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat:

« Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p, alors mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.».

On considère la suite mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. définie pour tout entier naturel n non nul par :
un = 2n +3n +6n −1.
1.                Calculer les six premiers termes de la suite.
2.       Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair.
3.                Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.

On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un).
4.                Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ?
5.                Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.
a.   Montrer que: 6×2p−2 ≡ 3 (modulo p) et 6×3p−2 ≡ 2 (modulo p).
b.     En déduire que 6up−2 ≡ 0 (modulo p).
c.    Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ?

Problème sur l’exponentielle

Partie A

On considère la fonction mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. définie sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.par
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

1.                Étudier les variations de la fonction g.
2.                Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
3.       En déduire que pour tout x de [0 ; +∞ [, ex x > 0.
Partie B

On considère la fonction f définie sur [0; 1] par
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
La courbe (C) représentative de la fonction mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.dans le plan muni d’un repère orthonormal est donnée en annexe.

Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

On admet que f est strictement croissante sur [0; 1].

1. Montrer que pour tout x de [0; 1], f (x) Î [0 ; 1].

2. Soit (D) la droite d’équation y = x.
Montrer que pour tout x de [0; 1], mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0; 1].

3. a. Déterminer une primitive de f sur [0; 1].

b. Calculer l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Partie C

On considère la suite (un) définie par:
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat., pour tout entier naturel n.
1. Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.

2. Montrer que pour tout entier naturel nmimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. un un+1 ≤ 1.

3. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

exponentielle-29-10 Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

Probabilités

Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante.

Il se demande si trois personnes au moins accepteront de répondre.
1. Dans cette question, on suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1.
L’employé interroge 50 personnes de manière indépendante.
On considère les évènements :

A: « au moins une personne accepte de répondre »

B: « moins de trois personnes acceptent de répondre »

C: « trois personnes ou plus acceptent de répondre ».

Calculer les probabilités des évènements A, B et C. On arrondira au millième.

2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Dans cette question, on suppose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par :
mimetex.cgi? \{ Pour\,tout\,entier\,k\,tel\,que\,0\leq\, k\leq\, n-1,\,P(X=k)=e^{-a}\frac{a^k}{k!} \\P(X=n)=\sum_{k=1}^{n-1}e^{-a}\frac{a^k}{k!}\\Formules\,pour\,lesquelles\,a=\frac{n}{10} Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
a. Montrer que la probabilité qu’au moins trois personnes répondent est donnée par :
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.
b. Calculermimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

En donner l’arrondi au millième.

Cette modélisation donne-t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1?

3. On conserve le modèle de la question 2.

On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d’entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95.

a. Étudier les variations de la fonction f définie sur R+  par mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

ainsi que sa limite en mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..

Dresser son tableau de variations.

b. Montrer que l’équation f(x) = 0, 95 admet une solution unique sur R+, et que cette solution est comprise entre 6,29 et 6,3.

c. En déduire le nombre minimum de personnes à interroger.

Géométrie et barycentre

L’espace est rapporté au repère orthonormal mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
On considère le plan P d’équation 2x +y – 2z + 4 =0 et les points A de coordonnées (3; 2; 6),
B de coordonnées (1; 2; 4), et C de coordonnées (4 ; -2 ; 5).

1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.

b. Vérifier que ce plan est le plan P.

2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
b. Écrire un système d’équations paramétriques de la droite Δ passant par O et perpendiculaire au plan P.
c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK.
d. Calculer le volume du tétraèdre OABC.
3. On considère, dans cette question, le système de points pondérés S ={(O, 3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}
a. Vérifier que ce système admet un barycentre, qu’on notera G.
b. On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI).
c. Déterminer la distance de G au plan P.
4. Soit Γ l’ensemble des points M de l’espace vérifiant :
mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat..
Déterminer Γ.

Quelle est la nature de l’ensemble des points communs à P et Γ ?

Les intégrales

1. Déterminer trois réels a, b, c tels que , pour tout mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. :

mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

2. Soit mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

a. Calculer mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. .

b. Soit f la fonction définie sur mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat. par mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.

En intégrant par parties, calculer f(X) en fonction de X .

c. Montrer que mimetex Annales du bac de maths 2024 avec des extraits du baccalauréat.


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