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Puissances de 10 : cours de maths en 4ème en PDF.

13 février 2025 par webmaster

Les puissances de 10 dans un cours de maths en 4ème qui fait intervenir les définitions et les différentes propriétés. Utilisation des formules et de l’écriture scientifique d’un nombre relatif dans cette leçon en quatrième et utiliser les règles de calculs sur les puissances.

Introduction :

Point de vue scientifique :

Taille de l’univers (ordre de grandeur) :10 000 000 000 000 000 000 000 000 m.

Taille du noyau atomique (ordre de grandeur) : 0,000 000 000 000 001 m

Peu pratique non ?

1. Définition et vocabulaire :

Définition :

Soit un entier positif $10^n=10\times 10\times ....\times 10\,(n\,\,fois)$

et 10^0=1

Exemples :

$10^3=10\times 10\times 10=1000\,(3\,\,fois)$

$10^4=10\times 10\times 10\times 10=10000$

Ecrire la taille de l’univers sous la forme d’une puissance de 10 .

Cas particuliers :

Si n = 2, on dit que est le « carré » de 10, se lit « dix au carré » .
Si n = 3, on dit que est le « cube » de 10, se lit « dix au cube ».

Remarque :

L’exposant est toujours prioritaire sur les autres opérations.
$2+10^2=2+10\times 10=2+100=102$ .

Définition :

Soit un entier positif.

On définit le nombre $10^{-n}$ de la façon suivante :

$10^{-n}=\frac{1}{10^n}$

Exemple :

$10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}=0,001$ .

2. Règles de calcul sur les puissances de 10 :

a. Propriété n° 1 : produit de puissances.

Propriété n° 1:

Soient et deux entiers relatifs .

$10^m\times 10^n=10^{m+n}$

Exemple :

$10^5\times 10^3=10^{5+3}=10^8$

$10^{-7}\times 10^5=10^{-7+5}=10^{-2}$

b. Propriété n° 2 : puissance de puissance.

Propriété n° 2 :

Soient et deux entiers relatifs .

$(10^m)^n=10^{m\times n}$

Exemple :

$(10^5)^3=10^{5\times 3}=10^{15}$

$(10^{-2})^3=10^{(-2)\times 3}=10^{-6}$

c. Propriété n° 3 : quotient de puissances.

Propriété n° 3:

Soient et deux entiers relatifs .

$\frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}$

Exemple :

$\frac{10^8}{10^3}=10^{8-3}=10^5$

$\frac{10^5}{10^{-2}}=10^{5-(-2)}=10^{5+2}=10^7$

3. Ecriture scientifique :

Propriété :

un nombre décimal admet plusieurs écritures sous la forme de produit d’un décimal par

une puissance de 10.

Exemples :

$36541,25 = 36,54125\times 10^3 = 0,003654125\times 10^7 = 3654125 \times 10^{-2}$

Définition :

Ecrire un nombre sous forme scientifique,

c’est l’écrire sous la forme : $a\times 10^n$ avec $1\leq\, a< 10$

Exemples d’écritures scientifiques :

$36541,25 = 3,654125\times 10^4$ avec 1≤ 3,654125 <10.

$0,0058 = 5,8\times 10^{-3}$ avec $1\leq\, 5,8 < 10 .$

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