Produit scalaire : définition, propriété et exemple

Sommaire

Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre (et non un vecteur) qui mesure « combien » les deux vecteurs pointent dans la même direction.

Notation : \(\vec u \cdot \vec v\).

En clair

C’est l’outil qui traduit l’orthogonalité et les angles en calculs : il vaut zéro exactement quand les deux vecteurs sont perpendiculaires.

Avec les coordonnées : \(\vec u(x\,;\,y)\) et \(\vec v(x’\,;\,y’)\) donnent \(\vec u \cdot \vec v = xx’ + yy’\).
Avec les normes et l’angle : \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos(\vec u\,;\,\vec v)\).
\(\vec u \cdot \vec v = 0\) si et seulement si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux.
\(\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2\).
Le produit scalaire est commutatif et distributif sur l’addition de vecteurs.

\(\vec u(3\,;\,2)\) et \(\vec v(-2\,;\,3)\) : \(\vec u \cdot \vec v = 3\times (-2) + 2\times 3 = -6 + 6 = 0\). Les vecteurs sont orthogonaux.

Déterminant de deux vecteurs — le déterminant teste la colinéarité, le produit scalaire l’orthogonalité.

Avec les coordonnées : \(xx’ + yy’\). Ou avec les normes et l’angle : \(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\).

À démontrer une orthogonalité, à calculer un angle, à trouver une équation de droite ou de plan, à établir des relations métriques dans un triangle.

Voter... page