Terminale — chapitre 9 sur 12
Produit scalaire dans l'espace et équations de plans
Un plan est caractérisé par un vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$ : son équation cartésienne est $ax+by+cz+d = 0$.
Repère orthonormé : $\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'+zz'$, $\|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$. Mêmes propriétés que dans le plan (bilinéarité, symétrie).
Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs le sont (elles n'ont pas besoin d'être sécantes). Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan ; elle est alors orthogonale à toute droite du plan.
Un plan de vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$ a une équation $ax+by+cz+d = 0$ ; réciproquement toute équation de ce type avec $(a\,;b\,;c)\ne\vec0$ définit un plan de vecteur normal $\vec n$. Plan passant par $A$ : $M\in\mathcal P\iff\vec{AM}\cdot\vec n = 0$.
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal.
Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal P$ est l'intersection de $\mathcal P$ et de la droite passant par $M$ de vecteur directeur $\vec n$. Distance de $M(x_0\,;y_0\,;z_0)$ au plan : $$d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$
$\vec n(1\,;-2\,;2)$, $A(1\,;0\,;3)$ : plan $(x-1)-2y+2(z-3) = 0\iff x-2y+2z-7 = 0$. Distance de $O$ au plan : $\dfrac{7}{3}$.