Première · Fiche méthode 9 sur 12 · Produit scalaire
Comment calculer un produit scalaire ?
Trois formules, selon les données : avec les coordonnées, $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'$ ; avec les normes et l'angle, $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta$ ; avec une projection quand les vecteurs sont colinéaires à un axe.
La méthode en 5 étapes
1Regarder les données
Coordonnées connues : première formule. Longueurs et angle : deuxième. Configuration géométrique simple : projection.
2Formule des coordonnées
$\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'$ : on multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, et on additionne.
3Formule avec l'angle
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ où $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs, pris avec la même origine.
4Interpréter le signe
Produit scalaire positif : angle aigu. Négatif : angle obtus. Nul : vecteurs orthogonaux.
5Vérifier le résultat
Le produit scalaire est un nombre, jamais un vecteur : une réponse avec une flèche est fausse.
Un exemple entièrement résolu
$\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 5\end{pmatrix}$. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$, puis l'angle entre les deux vecteurs.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times 4+(-2)\times 5 = 12-10 = 2$.
$\|\vec{u}\| = \sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{16+25}=\sqrt{41}$.
$\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\dfrac{2}{\sqrt{13}\times\sqrt{41}}=\dfrac{2}{\sqrt{533}}\approx 0{,}0866$.
$\theta = \cos^{-1}(0{,}0866)\approx 85{,}0°$.
Conclusion. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 2$ et l'angle vaut environ $85°$ : il est aigu, ce que confirmait déjà le signe positif du produit scalaire.
Les erreurs à ne pas faire
- Multiplier les coordonnées en croix : c'est $xx'+yy'$, pas $xy'-yx'$ (cette dernière expression est le déterminant).
- Donner un vecteur en réponse : le produit scalaire est un nombre réel.
- Prendre un angle qui n'est pas celui entre les deux vecteurs : ils doivent être ramenés à la même origine.
- Oublier le carré dans $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
$\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 7\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 1\end{pmatrix}$. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ et en déduire la nature de l'angle.
Voir le corrigé
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times(-3)+7\times 1 = -6+7 = 1$.
Le produit scalaire est positif : l'angle est aigu.
- Exercice 2
Deux vecteurs ont pour normes $5$ et $8$, et l'angle entre eux vaut $60°$. Calculer leur produit scalaire.
Voir le corrigé
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 5\times 8\times\cos(60°) = 40\times 0{,}5 = 20$.
- Exercice 3
$A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$, $C(2\,;6)$. Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et en déduire si l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu ou obtus.
Voir le corrigé
$\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}$ et $\vec{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix}$.
$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 3\times 1+1\times 4 = 7>0$ : l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu.
Questions fréquentes
À quoi sert le produit scalaire ?
À traiter des questions d'angles et d'orthogonalité par le calcul : montrer que deux droites sont perpendiculaires, calculer un angle dans un triangle quelconque, trouver une équation de cercle. C'est l'outil qui relie la géométrie et le calcul algébrique.
Quelle différence avec le déterminant ?
Le produit scalaire $xx'+yy'$ teste l'orthogonalité (il s'annule pour des vecteurs perpendiculaires) ; le déterminant $xy'-yx'$ teste la colinéarité (il s'annule pour des vecteurs de même direction). Une addition dans un cas, une soustraction dans l'autre.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Produit scalaire en Première, voici le reste des ressources du site :