Primitive : définition, propriété et exemple

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Au programme de Terminale

Définition

Une primitive d’une fonction \(f\) sur un intervalle est une fonction \(F\) dérivable telle que \(F’ = f\).

Notation : \(F’ = f\).

En clair

C’est l’opération inverse de la dérivation : on remonte de la pente à la fonction.

Si \(F\) est une primitive de \(f\), toutes les primitives sont les \(F + k\), avec \(k\) constante.
Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.
Une seule primitive vérifie une condition initiale donnée, par exemple \(F(0) = 3\).
Primitives usuelles : \(x^n\) a pour primitive \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\), \(\dfrac1x\) a pour primitive \(\ln x\) sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(e^x\) est sa propre primitive.
\(\dfrac{u’}{u}\) a pour primitive \(\ln|u|\), et \(u’e^u\) a pour primitive \(e^u\).

\(f(x) = 3x^2 + 2\) a pour primitives \(F(x) = x^3 + 2x + k\). Celle qui vérifie \(F(0) = 5\) est \(x^3 + 2x + 5\).

Une fonction dont la dérivée est la fonction de départ.

Une infinité : elles diffèrent toutes d’une constante.

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