Équation différentielle : définition et exemple

Sommaire

Au programme de Terminale

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction, et qui relie cette fonction à ses dérivées.

En clair

Au lieu de chercher un nombre, on cherche une fonction dont on connaît la façon de varier.

\(y’ = ay\) a pour solutions les fonctions \(x \mapsto k\,e^{ax}\), avec \(k\) réel.
\(y’ = ay + b\) a pour solutions \(x \mapsto k\,e^{ax} – \dfrac ba\).
Une condition initiale détermine une solution unique parmi toutes les solutions.
Elles modélisent la désintégration radioactive, le refroidissement, la charge d’un condensateur, l’évolution d’une population.

\(y’ = -0{,}2y\) avec \(y(0) = 100\) : la solution est \(y(t) = 100\,e^{-0{,}2t}\), une décroissance exponentielle.

Les fonctions de la forme \(x \mapsto k e^{ax}\), où \(k\) est une constante réelle.

Voter... page