Terminale · Fiche méthode 6 sur 12 · Primitives
Comment trouver une primitive ?
Chercher une primitive, c'est remonter une dérivation : on cherche $F$ telle que $F' = f$. On s'appuie sur les primitives de référence et sur les formes reconnaissables $u'u^n$, $\dfrac{u'}{u}$ et $u'\mathrm{e}^u$. Toutes les primitives diffèrent d'une constante.
La méthode en 5 étapes
1Reconnaître une forme de référence
$x^n$ a pour primitive $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x}$ a pour primitive $\ln|x|$ ; $\mathrm{e}^x$ est sa propre primitive.
2Chercher une forme en u
$u'u^n$ donne $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{u'}{u}$ donne $\ln|u|$ ; $u'\mathrm{e}^u$ donne $\mathrm{e}^u$. On repère d'abord $u$, puis on vérifie que $u'$ est bien présent en facteur.
3Ajuster le coefficient
Si le facteur $u'$ manque d'une constante, on la compense : pour $x\mathrm{e}^{x^2}$, avec $u = x^2$ et $u' = 2x$, la primitive est $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$.
4Ajouter la constante
On écrit $+\,C$ : il existe une infinité de primitives, toutes égales à une constante près.
5Vérifier en dérivant
On dérive la primitive trouvée : on doit retomber exactement sur $f$. C'est une vérification rapide et sans risque.
Un exemple entièrement résolu
Déterminer une primitive de $f(x) = 3x^2-\dfrac{4}{x}+\mathrm{e}^{2x}$ sur $]0\,;+\infty[$, puis de $g(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
$3x^2$ a pour primitive $x^3$ ; $-\dfrac{4}{x}$ a pour primitive $-4\ln x$ (sur $]0\,;+\infty[$).
$\mathrm{e}^{2x}$ : on pense à $u'\mathrm{e}^u$ avec $u = 2x$ et $u' = 2$. Il manque le facteur $2$, donc la primitive est $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}$.
$F(x) = x^3-4\ln x+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+C$
Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2+1$ et $u' = 2x$, et $u>0$ : $G(x) = \ln(x^2+1)+C$.
Conclusion. $F(x) = x^3-4\ln x+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+C$ et $G(x) = \ln(x^2+1)+C$. On peut vérifier les deux en dérivant.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier le coefficient d'ajustement : la primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}$, pas $\mathrm{e}^{2x}$.
- Croire que la primitive d'un produit est le produit des primitives : c'est faux, il faut reconnaître une forme ou intégrer par parties.
- Oublier la constante $C$, notamment quand une condition initiale doit servir à la déterminer.
- Écrire $\ln u$ sans valeur absolue sur un intervalle où $u$ est négative.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Déterminer une primitive de $f(x) = 4x^3-2x+5$.
Voir le corrigé
Terme à terme : $F(x) = x^4-x^2+5x+C$.
Vérification : $F'(x) = 4x^3-2x+5$.
- Exercice 2
Déterminer une primitive de $f(x) = \dfrac{3x^2}{x^3+2}$ sur un intervalle où $x^3+2>0$.
Voir le corrigé
Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^3+2$ et $u' = 3x^2$.
$F(x) = \ln(x^3+2)+C$.
- Exercice 3
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 2x+1$ telle que $F(1) = 5$.
Voir le corrigé
$F(x) = x^2+x+C$. La condition donne $1+1+C = 5$, donc $C = 3$.
$F(x) = x^2+x+3$.
Questions fréquentes
Toute fonction admet-elle une primitive ?
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle : c'est un théorème du programme de terminale. En revanche, on ne sait pas toujours les écrire avec les fonctions usuelles : $\mathrm{e}^{-x^2}$ en est l'exemple le plus célèbre.
Pourquoi une constante apparaît-elle ?
Parce que la dérivée d'une constante est nulle : si $F$ convient, $F+7$ convient aussi. Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent toujours d'une constante, qu'une condition du type $F(1) = 5$ permet de fixer.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Primitives en Terminale, voici le reste des ressources du site :