Terminale — chapitre 7 sur 12
Calcul intégral
L'intégrale $\int_a^bf(x)\,dx$ est une aire algébrique ; elle se calcule avec une primitive : $F(b)-F(a)$.
Pour $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$, $\int_a^bf(x)\,dx$ est l'aire (en unités d'aire) du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$, $x = b$. Pour $f$ de signe quelconque, c'est une aire algébrique (comptée négativement sous l'axe).
Si $F$ est une primitive de $f$ continue sur $[a\,;b]$ : $$\int_a^bf(x)\,dx = F(b)-F(a) = \big[F(x)\big]_a^b.$$ La fonction $x\mapsto\int_a^xf(t)\,dt$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
- Linéarité : $\int_a^b(\alpha f+\beta g) = \alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg$.
- Chasles : $\int_a^bf+\int_b^cf = \int_a^cf$ ; $\int_b^af = -\int_a^bf$.
- Positivité : si $f\ge0$ sur $[a\,;b]$ ($a\le b$) alors $\int_a^bf\ge0$ ; si $f\le g$ alors $\int_a^bf\le\int_a^bg$.
$\mu = \dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$.
Pour $u$, $v$ dérivables à dérivées continues : $$\int_a^bu'(x)v(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^bu(x)v'(x)\,dx.$$
$\int_0^1xe^x\,dx$ avec $u' = e^x$, $v = x$ : $\big[xe^x\big]_0^1-\int_0^1e^x\,dx = e-(e-1) = 1$.
Si $f\ge g$ sur $[a\,;b]$, l'aire entre les courbes vaut $\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$.