Identité remarquable : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de 3ème

Formule

Les identités remarquables sont trois égalités qui permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions.

Notation : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ; \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) ; \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\).

En clair

Ce sont trois formules à connaître par cœur, qui font gagner beaucoup de temps.

Le carré d’une somme comporte un double produit : ne pas l’oublier.
La troisième identité, \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\), sert surtout à factoriser.
Une somme de deux carrés, \(a^2 + b^2\), ne se factorise pas dans les réels.
Lues de gauche à droite, elles développent ; de droite à gauche, elles factorisent.
Elles servent aussi au calcul mental : \(101^2 = (100+1)^2 = 10\,000 + 200 + 1\).

\((3x+4)^2 = 9x^2 + 24x + 16\), et \(49x^2 – 16 = (7x-4)(7x+4)\).

Carré d'un nombre — l’identité porte sur le carré d’une somme, pas sur le carré d’un nombre isolé.

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) et \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\).

Non, pas dans les nombres réels : seule la différence de deux carrés se factorise.

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